線彈性斷裂力學問題的擴展自然單元法

陳莘莘，刁呈巖，肖樹聰

(華東交通大學土木建筑學院，江西，南昌 330013)

無網格法[1-3]可以克服傳統的數值模擬方法對于單元或者網格的依賴性，不僅可以保證計算的精度，而且可以減小計算的難度。經過諸多學者的研究，目前發展的無網格方法主要有無單元Galerkin 法[4-5]、無網格局部Petrov-Galerkin 法[6-7]、邊界無單元法[8]、重構核粒子法[9-10]、二階一致無網格法[11-12]和自然單元法[13-14]等。其中，自然單元法在眾多無網格法中展示了其突出的優點。自然單元法的近似函數滿足插值性，可以方便地施加本質邊界條件，并且形函數的計算不涉及矩陣求逆以及人為參數的選擇問題。因此，自然單元法具有良好的發展前景，并且已經在許多領域得到了廣泛的應用[15-19]。

雖然無網格法在處理裂紋問題上具有有限元等傳統數值方法不可比擬的優越性，但仍然存在一些問題。為了較好地模擬裂紋尖端的應力奇異性，無網格法主要采用了修正裂紋附近的權函數、內部增強、外部增強以及單位分解增強等技術手段[20]。其中，單位分解增強法[21-22]的附加變量不多，并且計算精度較高。基于單位分解法思想，美國西北大學Mones 等[23]在有限元框架內提出了擴展有限元法(XFEM)，用以求解強和弱不連續問題。受XFEM 的啟發，Ventura 等[24]基于單位分解法思想提出了擴展無網格法(XEFG)。Shi等[25]應用XEFG 法對不同長度和傾角的裂紋共存時的相互影響進行了研究。Rabczuk 和Zi[26]采用XEFG 法對準靜態和動態粘性裂紋擴展問題進行了分析。針對XEFG 法處理本質邊界條件比較困難的缺點，馬文濤等[27]提出了擴展徑向點插值無網格法(XRPIM)。此外，王峰等[28]將滑動Kriging插值法引入XEFG 法中，并將其用于含夾雜復合材料問題的求解。

鑒于自然單元法的優越性，本文在單位分解框架下提出了擴展自然單元法(extended natural element method, XNEM)，試圖為線彈性斷裂力學問題提供更為適用的數值分析方法。該方法在自然單元法的位移模式中加入階躍函數和裂尖漸進位移場函數，并通過水平集方法(level set method, LSM)確定裂紋面和裂尖區域。典型的數值算例驗證了本文方法的正確性和有效性。

1 擴展自然單元法不連續位移模式

1.1 自然鄰接點插值

1.2 擴展自然單元法的位移模式

2 離散方程的導出

3 互作用積分法求解應力強度因子

4 數值算例

4.1 單邊裂紋板受拉伸作用

4.2 單邊裂紋矩形板受剪切作用

4.3 中心斜裂紋矩形板受拉力

5 結論

自然單元法采用計算點的自然鄰接點、Voronoi結構和無網格的方式構造整體求解的近似位移函數，不僅保證了計算精度而且簡化了數值計算的前處理過程。需要特別指出的是，自然單元法的形函數不僅滿足插值性，而且形函數的計算不涉及矩陣求逆，更沒有人為參數的選擇問題。基于單位分解思想，在自然單元法的位移模式中加入擴展項表征不連續位移場和裂紋尖端奇異場的基礎上，本文首次提出了擴展自然單元法。算例分析表明，擴展自然單元法能夠較好地求解線彈性斷裂問題，具有較高的計算精度。由于近似函數滿足插值性，擴展自然單元法較XEFG 可以更方便地施加本質邊界條件。