一種實現截止頻率變換的數字濾波器*

陳紹榮，張振宇，朱行濤，徐 舜

（陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035）

0 引言

從廣義上講，數字信號處理的過程，就是數字信號濾波的過程，因此，數字濾波器的設計就成為關鍵問題。數字濾波器分為兩類[1-2]，一是無限沖激響應（IIR）數字濾波器，二是有限沖激響應(FIR)數字濾波器。目前IIR 數字濾波器設計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法，即首先按要求設計相應的模擬濾波器，再利用時域模仿的方法或雙線性變換來設計數字濾波器，其中，時域模仿的方法有兩種，一是單位沖激響應不變法，二是單位階躍響應不變法。模擬濾波器的設計已有一套相當成熟的方法，它不僅有一套完整的設計公式，而且還有較完整的圖表供查詢。充分利用這些已有的資源，將會給IIR 數字濾波器設計帶來很大的方便；FIR 數字濾波器設計方法有窗函數法，頻率抽樣設計法和切比雪夫逼近法。本文基于著作[3-4]，揭示了插值、抽取及重排序列的z變換與頻譜之間相互計算的方法；提出了一種數字濾波器前置插值器和后置重排器的級聯結構，從時域和頻域分析了該結構實現數字濾波器截止頻率變換的原理，并給出了利用該結構來實現數字帶通濾波器的截止頻率變換，通過數字信號的濾波來選擇所需數字信號的實例。

1 序列的插值、抽取及重排

設周期為N的周期沖激序列為：

式中，N為正整數。

1.1 插值序列

利用周期沖激序列δN(n)，可以定義插值序列。一個序列f(n)的插值序列y(n)定義為：

式（2）表明，插值序列y(n)是在序列f(n)中相鄰兩位之間插入N-1 個零值位的結果。

1.2 抽取序列

利用周期沖激序列δN(n)，可以定義抽取序列。一個序列f(n)的抽取序列y(n)定義為：

式（3）表明，抽取序列y(n)是抽取出序列f(n)中n=rN(r=0,±1,±2,…)位的結果。

1.3 重排序列

若N為正整數，則一個序列f(n)的重排序列y(n)定義為：

式（4）表明，重排序列y(n)是抽取出序列f(r)中的r=Nn位，再按序號n依次重新排列的結果。

2 插值、抽取及重排序列的z 變換

下面介紹插值序列、抽取序列及重排序列的z變換。

2.1 插值序列的z 變換

若ZT[f(n)]=F(z),Ra＜|z|＜Rb，則有：

證明：由雙邊ZT 的定義，可得：

由式（6）可知，式（5）成立。

2.2 抽取序列的z 變換

若ZT[f(n)]=F(z),Ra＜|z|＜Rb，則有：

證明：由于：

由雙邊ZT 的定義，并注意到式（8），則有：

由式（9）可知，式（7）成立。

2.3 重排序列的z 變換

若ZT[f(n)]=F(z),Ra＜|z|＜Rb，則有：

證明：由雙邊ZT 的定義，并注意到式（8），則有：

由式（11）可知，式（10）成立。

3 插值、抽取及重排序列的頻譜

序列f(n)的頻譜，即DTFT，就是單位圓周上的z變換，若序列f(n)的頻譜不存在，可以證明其插值序列、抽取序列及重排序列的頻譜也不存在。因此，研究f(n)的插值序列、抽取序列及重排序列的頻譜，意味著序列f(n)自身的頻譜F(ejω)存在，即序列f(n)的z變換F(z)的收斂域包含z平面上的單位圓周，并且，序列f(n)的頻譜F(ejω)可利用其z變換F(z)進行計算，即：

3.1 插值序列的頻譜

若DTFT[f(n)]=F(ejω)，則有：

證明：

因為序列f(n)的z變換F(z)的收斂域包含z平面上的單位圓周，即滿足Ra＜1＜Rb，由式（5）可知，插值序列的z變換F(zN)的收斂域為，并且滿足，即其z變換F(zN)的收斂域也包含z平面上的單位圓周，于是，有：

由式（14）可知，式（13）成立。

3.2 抽取序列的頻譜

若DTFT[f(n)]=F(ejω)，則有：

證明：

因為序列f(n)的z變換F(z)的收斂域包含z 平面上的單位圓周，即滿足Ra＜1＜Rb，由式（7）可知，抽取序列f(n)δN(n)的z變換的收斂域為Ra＜|z|＜Rb，并且滿足Ra＜1＜Rb，即的收斂域也包含z平面上的單位圓周，于是，有：

由式（16）可知，式（15）成立。

3.3 重排序列的頻譜

若DTFT[f(n)]=F(ejω)，則有：

證明：

因為序列f(n)的z變換F(z)的收斂域包含z平面上的單位圓周，即滿足Ra＜1＜Rb，由式（10）可知，重排序列f(Nn)的z變換的收斂域為，并且滿足，即的收斂域也包含z平面上的單位圓，于是，有：

由式（18）可知，式（17）成立。

若插值序列的頻譜在z平面上的單位圓周上解析，則其z變換可利用其頻譜進行計算，即：

若抽取序列的頻譜在z平面上的單位圓周上解析，則其z變換可利用其頻譜進行計算，即：

若重排序列的頻譜在z平面上的單位圓周上解析，則其z變換可利用其頻譜進行計算，即：

例1：設理想數字低通濾波器的單位沖激響應為h1(n)，其頻率特性為：

式中，G2ωc(ω)=ε(ω+ωc)-ε(ω-ωc)，ε(ω)為單位階躍函數，ωc為截止角頻率，并且0＜ωc＜π。現對h1(n)做插值，得到，試證明單位沖激響應為h(n)的數字濾波器是數字帶阻濾波器。

證明：考慮到：

對式（23）兩邊取DTFT，并注意到式（13），則有：

考慮到式（22），并注意到線性卷積的標尺性質及單位沖激函數的標尺性質，則式（24）可寫成

式（25）表明，頻率特性H(ejω)是寬度為ωc的單位對稱門函數Gωc(ω)按周期π延拓而得的結果。因此，在區間[0,π]上，頻率特性H(ejω)的零值區間為[ωc/2,π-ωc/2]。由于單位沖激響應為h(n)的數字濾波器的頻率特性H(ejω)在區間[0,π]上的零值區間為[ωc/2,π-ωc/2]，因此，該數字濾波器是數字帶阻濾波器。

4 實現截止頻率變換的數字濾波器

插值器和重排器在數字信號處理領域得到了廣泛的應用，一種數字濾波器前置插值器和后置重排器的級聯結構，如圖1 所示。其中，插值器的輸出與輸入的關系為，數字濾波器的單位沖激響應為h1(n)，重排器的輸出與輸入的關系為y(n)=f2(Nn)。

圖1 實現截止頻率變換的數字濾波器

4.1 時域分析

考慮到y(n)=f2(Nn)，則有：

由式（27）可知，圖1 所示的數字濾波器的單位沖激響應為：

式（28）表明，h(n)是抽取出序列h1(r)中的r=Nn位，再按序號n依次重新排列的結果。也就是說，在時域上，通過對單位沖激響應為h1(n)的數字濾波器進行重排，實現了截止頻率的變換，得到了單位沖激響應為h(n)的數字濾波器。

4.2 頻域分析

考慮到：

對式（29）兩邊取DTFT，并注意到式（13），可得：

考慮到：

對式（31）兩邊取DTFT，并注意到式（30）可得：

考慮到：

對式（33）兩邊取DTFT，并注意到式（17）及式（32），可得：

考慮到系統頻率特性的定義，由式（34）可得：

對式（35）兩邊取IDTFT，并注意到式（17），則可以得到與式（28）相同的結果，即：

考慮到式（35），則有：

式（37）表明，H(ejω)仍然是周期為2π的周期函數。H(ejω) 在一周期2π內的頻譜是由N個疊加再除以N構成的。也就是說，在頻域上，通過對頻率特性為H1(ejω)數字濾波器，首先作N的擴展，然后將ω軸上每隔2π的N個頻移疊加，這兩種運算的結果，實現了截止頻率的變換，最后再除以N，就得到了頻率特性為H(ejω)的數字濾波器。

圖2 實現截止頻率變換的數字濾波器

（1）試求子數字帶通濾波器h1(n)的頻率特性H1(ejω)。

（2）試求整個系統的頻率特性H(ejω)，并與頻率特性H1(ejω)進行比較。

（3）若激勵f(n)=6(3-|n|)R7(n+3)*δ12(n)，試求數字帶通濾波器的零狀態響應yf(n)。

解：（1）假設

式中，0＜ωc＜π。

由式（38）可得：

考慮到式（38）及式（39），則有：

式中：

由式（40）可得：

考慮到：

對式（43）兩邊取DTFT，并注意到DTFT的頻移性質及式（42），則有：

（2）由題意可知：

對式（45）兩邊取DTFT，并注意到式（40），可得：

顯然，ωL=2ωL1，ω0=2ω01，ωH=2ωH1。

（3）考慮到：

對式（47）兩邊取DTFT，則有：

考慮到式（46）及式（48），則圖2 所示的數字帶通濾波器的零狀態響應的頻譜為：

對式（49）兩邊取IDTFT，可得圖2 所示的數字帶通濾波器的零狀態響應，即：

分析表明，周期為N=12 的三角波序列通過該數字帶通濾波器時，輸出為其二次諧波分量。

5 結語

本文揭示了插值、抽取及重排序列的z 變換與其頻譜之間相互計算的方法。提出了一種數字濾波器前置插值器和后置重排器的級聯結構，從時域和頻域分析了該結構實現數字濾波器截止頻率變換的原理，并給出了利用該結構來實現數字帶通濾波器的截止頻率變換，通過數字信號的濾波來選擇所需數字信號的實例。