基于進化算法的一維多相聲子晶體拓撲優(yōu)化設計

郭凱紅,趙 錚,許衛(wèi)鍇

(1.海裝裝備審價中心，北京 100071；2.南京理工大學能源與動力工程學院，南京 210094；3.沈陽航空航天大學，遼寧省飛行器復合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

0 引 言

一維聲子晶體也稱為超晶格，由于構(gòu)造簡單，易于制作，因此具有十分廣泛的應用前景。超晶格一般由兩種或更多種彈性介質(zhì)按一定的順序周期疊加而成，其中由兩相材料組成的一維聲子晶體已經(jīng)取得了階段性的成果，并發(fā)展了幾種常用的帶隙分析方法，如集中質(zhì)量法[10-11]，傳遞矩陣法[10,12]和桿縱振解析解方法[13]等。然而，由于一維兩相聲子晶體帶隙頻率往往比較高，且相應的帶隙寬帶不夠大，因此，研究人員開始將目標轉(zhuǎn)移到三相或多相結(jié)構(gòu)上來[14-17]，并討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)對其帶隙的影響。

研究表明，聲子晶體作為一種復合介質(zhì)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)是影響其帶隙特性的主要因素，通過控制和調(diào)整周期性單胞內(nèi)的材料布局及屬性，可以設計出所需的具有特殊帶隙特性的復合材料，這需要拓撲優(yōu)化的思想。基于拓撲優(yōu)化技術(shù)，研究人員對一維和二維聲子晶體的微觀結(jié)構(gòu)進行了設計[18-24]。然而，已有的工作絕大多數(shù)都是設計兩相復合材料，對一維三相聲子晶體的拓撲優(yōu)化設計研究仍然較少。

本文將利用遺傳算法對一維三相聲子晶體進行拓撲優(yōu)化設計。通過引入改進的二進制變量[20]以描述三相材料單胞，并給出了兩個拓撲優(yōu)化算例。計算結(jié)果將為一維多相聲子晶體的設計及多目標優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 模型與方法

1.1 聲子晶體模型

理想的一維聲子晶體結(jié)構(gòu)多由無窮多個無限大平板依次排列組成，且在其中的一個方向上具有周期性。但在實際工程中不可能存在無限大的模型。研究表明[21]，有限周期的層狀結(jié)構(gòu)即能表現(xiàn)出良好的帶隙特性。如圖1所示，三種不同的材料周期性交替排列，當彈性波僅沿排列方向傳播時，將可能出現(xiàn)彈性波的禁帶。

1.2 傳遞矩陣法

考慮圖1所示的一維周期性結(jié)構(gòu)，F(xiàn)loquet’s定理[25]和傳遞矩陣法[12]是常用的有效方法。在實際的優(yōu)化設計中，實際的材料層數(shù)往往大于3。不失一般性，假設具有n層的一維層合材料，當彈性波在其中的任意單層中傳播時，其縱波的控制方程為：

(1)

其中j表示單層的序號，Ej和ρj分別為該層材料的彈性模量和密度。于是，該層的傳遞矩陣可表示為：

(2)

烽火臺下，廢校場上，四撥人馬四向而立。為了體現(xiàn)公道，決斗雙方皆避開陽光。風云八虎一方朝南，秦鐵崖一方朝北，老太醫(yī)、喬十二郎等觀戰(zhàn)之人朝西。喬十二郎出門，照例涂黑額頭面頰，一來為掩蓋真面目，二來為遮住額頭傷疤。喬十二郎一方的隊列后有座高高的土墩，那是舊時的檢閱臺，其上坐著一位重要人物，乃決戰(zhàn)見證人，長城大俠魏長安。魏長安須發(fā)皆白，然雄風猶在，在北方乃至中原武林威望極高。以上三方都沒什么異常，令人狐疑的是，背朝太陽的一方，居然是一隊騎兵，喬十二郎數(shù)了數(shù)，有三十二騎。騎兵身后，停著一頂裝飾華貴的馬車。

(3)

利用Floquet’s定理，可得到表征周期性層合材料色散關系的特征值問題：

(4)

其中xL表示介質(zhì)的左邊界。求解改特征值問題即可得到表示彈性波帶隙的色散曲線(ωvs.k)。

1.3 多相材料的設計變量

一般來說，材料的拓撲優(yōu)化設計是將設計域離散成細小的網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格中填充不同的材料。鑒于遺傳算法的二進制變量中僅有1和0兩種元素，因此在兩相材料的拓撲優(yōu)化問題中具有獨特的優(yōu)勢[26-27]，如“1”表示一種材料而“0”表示另一種材料，但在多相材料的設計中將不再適用。另一方面，在一維結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計中，不同的染色體還會產(chǎn)生另一種問題：相鄰的1和0元素的個數(shù)會導致不同層數(shù)的拓撲構(gòu)型，即需要將二進制的設計變量轉(zhuǎn)化為不同材料分層的單胞形式。為了解決這兩個問題，引入“二元對”變量

(5)

若將一個設計周期細分為l個細條，則該單胞可由一個長度為2l的染色體表示

a=((x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl))

(6)

定義

(7)

于是單胞的材料分布可由變量b=(b1,b2,…,bl)表示。進一步的，為了描述單胞內(nèi)材料的真實分層，參照文獻[21]，引入邏輯算子：

(8)

并定義si=XOR(bi,bi+1)，于是s=(s1,s2,…,sl-1)表示材料在單胞中的突變，即si=1時表示即將變成另一種材料。于是，單胞中材料的總層數(shù)為

(9)

若引入變量q=(q0,q1,…,qn)，其中q0=0,qn=l, 且qj(j=1,2,…,n-1)表示s中元素為1的序號，則單胞中每層材料的厚度和屬性分別為

(10)

mj=bqj,j=1,2,…,n

(11)

聯(lián)立方程(5)～(11)即可將一個任意的染色體a轉(zhuǎn)化為真實的單胞構(gòu)型，從而計算其帶隙性質(zhì)并利用遺傳算法進行優(yōu)化設計。

2 結(jié)果與討論

本文選取以下三種材料：0為鋁，1為橡膠，2為PMMA。材料參數(shù)如表1所示。單胞的總厚度為0.18 m。在對單胞進行離散時，盡管更多的分層數(shù)可能會產(chǎn)生更好的數(shù)值結(jié)果，但過薄的分層將導致加工困難和成本增加。因此，為了便于與文獻[21]比較，將單胞分為30份，即染色體的長度為60。遺傳算法的運行參數(shù)見表2。與文獻[21]類似，為了保證設計結(jié)果的穩(wěn)定性，每個算例運行5次。

表2 遺傳算法的運行參數(shù)Table 2 Run-time parameters of GAs

表1 組分材料參數(shù)Table 1 Parameters of the component materials

2.1 特定頻率下的最大衰減

由式(4)計算的特征值問題通常用虛數(shù)表示其禁帶，且虛部的大小表示其對彈性波衰減的強弱。因此，特定頻率下盡可能大的虛部稱為一個重要的目標。該優(yōu)化問題可表示為

MaximizeF1=ξimag(f*)

(12)

其中ξ=ξreal+iξimag=kd為特定頻率f*下的波數(shù)。不失一般性，可取f*=20 kHz。

然而，對于一維層合材料的設計容易出現(xiàn)層數(shù)越多而衰減越大的情況，但層數(shù)的增多意味著制造成本的增加，因此還應考慮材料的總層數(shù)對目標函數(shù)的影響。為此，本文提出考慮懲罰系數(shù)的新目標

(13)

其中，n為單胞內(nèi)的總層數(shù)，a為調(diào)節(jié)系數(shù)，可在-2～30內(nèi)取值，a越小，則意味著考慮制造成本的權(quán)重越大。本文中取a=2。

圖2顯示了優(yōu)化結(jié)果的單胞構(gòu)型圖和帶隙圖。如圖所示，在考慮了懲罰項的情況下，當單胞內(nèi)材料層數(shù)僅為7層時衰減項即達到了12.87，遠大于文獻[21]中的結(jié)果。

2.2 最大禁帶帶寬

在設定的頻率范圍內(nèi)具有更大的禁帶帶寬是聲子晶體的一個重要設計目標。為此，目標函數(shù)可定義為

(14)

其中

(15)

fmar和fmin分別為頻率范圍的上下限，在本文中取0和30 kHz。圖3顯示了優(yōu)化結(jié)果的單胞構(gòu)型圖和帶隙圖。可以看到，對于一維三相聲子晶體來說，即使單胞內(nèi)材料分層僅為4層，即可得到高達99.21%的禁帶，遠大于兩相材料的情況。另外，帶隙的頻率也得到了大幅的降低。

3 結(jié) 論

本文采用遺傳算法，通過引入改進的二進制變量并考慮制造成本的影響，對一維多相聲子晶體進行拓撲優(yōu)化設計。優(yōu)化算例展現(xiàn)了良好的帶隙特征，并得到以下結(jié)論：

(1)相比兩相材料，三相聲子晶體具有更好的帶隙特性，在單胞內(nèi)材料層數(shù)較少的情況下即能達到良好的帶隙效果；

(2)針對特定頻率下的最優(yōu)隔振目標，設計得到了具有7層材料分層的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，其衰減項遠大于兩相材料的結(jié)果；

(3)針對特定頻率范圍內(nèi)的禁帶帶寬目標，設計得到了僅有4層材料分層的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，在獲得高達99.21%的禁帶帶寬的同時，禁帶的頻率也得到了大幅降低，結(jié)果證明本研究提出的方法是可行的。