在探索中發現，在推理中表征

胡亦寧

摘要：從“探索發現”到“特殊驗證”，再到“大膽猜想”“小心求證”，符合學生的認知規律，同時也是科學探索的一般方法。課堂以學生為主體、教師為主導，讓學生經歷定理得到的一般方法，有利于學生數學思維能力的提高。

關鍵詞：探索;發現;推理;表征;直角三角形

直角三角形在現實世界到處可見，且學生在小學就對直角三角形的基本要素有初步的了解。因此，在進一步學習時，教師可以《數學課程標準》的理念及建構主義理論為指導，充分關注學生的已有知識和經驗基礎，嘗試讓信息技術成為情境創設的工具，成為學生學習的資源工具、探究工具、評價工具和表達工具，以轉變學生的學習方式，促使學生參與、體驗概念形成和獲得的過程，從中感悟抓住事物本質特征觀察的數學思維方法，從而培養學生的創新意識，促使學生信息能力的發展，體現數學學習的價值。

一、內容和內容解析

（一）內容

直角三角形的符號表示，直角三角形的性質定理（1）（2）。

（二）內容解析

1.內容的本質。對于直角三角形，學生只學過它的定義、兩個直角三角形全等的判定。本節課主要研究的就是直角三角形的性質。這兩條性質分別揭示了直角三角形的主要元素“角”之間的數量關系、主要元素“斜邊”及相關元素“斜邊上的中線”之間的數量關系，這是本節課的學習主體內容。

2.內容蘊含的數學思想和方法。讓學生利用等腰三角形的軸對稱性，把其拆分為兩個直角三角形，從等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊的等腰三角形入手，經歷“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”及其推論的猜想、探究和推導的證明過程，體會從一般到特殊、再從特殊到一般的數學思想方法。這種特殊化、一般化的研究策略，旨在讓學生更好地理解這兩條性質的發生。

3.知識的上下位關系。學生在前期已經學習和掌握了等腰三角形的判定和性質，這為學生研究特殊的三角形提供了一定的認知基礎和學習范式。定理（2）無論是文字語言表述，還是圖形語言的描述，都揭示了直角三角形與等腰三角形之間的天然聯系。定理（2）是后續研究直角三角形與特殊平行四邊形的基礎與依據，直角三角形與等腰三角形的聯系與轉化也是解直角三角形的利器。

4.內容的育人價值。從認知方面看，讓學生經歷觀察、操作、猜想、驗證、推理，從圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，發現一般規律和結構，培養學生知識系統化的思想和分類討論的思維習慣，并獲得解決問題方法的啟發。從非認知因素看，整節課的探究過程可以有效激發學生的興趣，形成積極的情感體驗，從而增強對數學的探索能力，發展學生的數學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養。

5.闡明本節課的教學重點。本節課的教學重點是直角三角形的性質定理（1）（2）及其運用。

二、目標和目標解析

（一）目標

掌握用符號和字母表示直角三角形。掌握直角三角形的性質定理（1）（2），即直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，并能運用性質進行計算和證明。讓學生經歷觀察、操作、猜想、驗證、推理的定理學習過程，發展學生的數學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養。

（二）目標解析

會運用直角三角形的符號表示，會運用性質定理及推論對有關圖形進行論證和計算，從而提高學生的邏輯推理能力和推理表達能力。

三、教學問題診斷分析

（一）已有的基礎

學生已經學習了一般三角形和等腰三角形，會在簡單情況下證明兩個三角形全等，知道直角三角形的定義，初步掌握了綜合法的證明和表述。

（二）存在的困難

證明性質定理（2）時，倍長中線法構造全等三角形不易想到，學生在較復雜情況下證明兩個三角形全等的推理表達能力較弱，其他方法又欠缺知識基礎，在復雜圖形中綜合運用性質定理的能力比較弱。

（三）解決策略

教師通過折疊等腰直角三角形、幾何畫板測量演示，讓學生對性質定理（2）的證明先有直觀想象，對轉化成等價命題這一方法的產生有更自然的過渡。

教師通過鞏固提高的變式訓練，增強學生對知識本質的理解，從定性到定量的研究，提高學生在復雜圖形中綜合運用性質定理的能力。

四、教學支持條件分析

幾何畫板、PPT、同屏助手。

五、教學過程設計

（一）新課引入

問題1：

師：同學們，前面我們已經認識了特殊的三角形——等腰三角形，它是一個什么圖形？

生：軸對稱圖形。

師：老師這有一個等腰三角形，你能沿著它的對稱軸折疊嗎？

生1上臺演示。

師：折疊后的三角形角有怎樣的特點？

生：有一個角是直角。

師：是的，我們知道有一個角是直角的三角形叫做直角三角形，今天我們一起繼續來學習直角三角形。（板書課題）

【設計意圖】從學生已學的等腰三角形入手，利用軸對稱性引出直角三角形的定義，讓學生體會到直角三角形的學習是等腰三角形學習的延續。

（二）新知探索

問題2：

師：如圖（圖略），△ABC中∠C=90°，△ABC是直角三角形，記作Rt△ABC.（板書△ABC及符號表示）

師：你能得到另兩個角有什么關系嗎？為什么？

生1：因為三角形內角和等于180°，Rt△ABC中∠C=90°，所以∠A+∠B=90°.（板書幾何語言）

師：非常好！這就是直角三角形的性質定理（1）：直角三角形的兩個銳角互余。（板書文字語言）

問題3：

師：接下來我們看看，在其他要素上，直角三角形有什么性質。在這個一般的直角三角形上并不能直接發現什么。那我們找一個特殊的，有一個角是直角的等腰三角形——等腰直角三角形。如△ABC中，AC=BC，∠C=90°，同樣把它沿著對稱軸CD折疊，你有什么發現？

生：得到了兩個等腰直角三角形△ACD和△BCD。

師：除了AC=BC，其他線段有什么關系呢？

生1：CD=AD=BD。

生2：都等于AB的一半。

師：對于直角三角形來說，AB是什么邊？CD是AB邊上的什么線？

生：斜邊。斜邊上的中線和高線。

師：那你覺得斜邊上的中線或者高線與斜邊有什么關系呢？

生：斜邊上的中線和高線是斜邊的一半。

師：這個結論對所有的直角三角形都成立嗎？我們用幾何畫板演示一下。

師：通過度量它們的長度及比值，你有什么發現？

生：我發現直角三角形在改變的時候，好像斜邊上的中線始終是斜邊的一半，而高線并不一定。

【設計意圖】通過等腰直角三角形這個特殊的直角三角形斜邊上的中線與斜邊的一半的關系，到任意直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關系的思考，引導學生掌握從特殊到一般的解決問題的策略，同時形成猜想。

問題4：

師：那么“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”這個命題是真命題嗎？

生：需要證明。

幾何畫板呈現。已知：如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線.求證：CD=? ? ?AB.

師：請同學們小組合作，交流完成。2分鐘后……

師：你們組完成了嗎？

生：沒有。

師：有思路嗎？哪里有困難？

生：從已知可得AD=BD=? ? AB，要求證CD=

AB，我們想到就是要求證CD=AD或者CD=BD，但證明不了。

師：你們的想法很好，那我們一起來試一試。如果已經有BD=CD，只要證明AD=CD，那是不是就等于證明了CD=? ? AB。那我們就來證明這個命題。

幾何畫板呈現。已知：如圖，D是Rt△ABC斜邊AB上的一點，BD=CD.求證：AD=CD.

同屏展示學生的證明過程。

師：非常好！我們通過觀察、操作、猜想、驗證、推理，得到了直角三角形的另一條性質定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【設計意圖】通過學生自主探索、小組合作的形式，老師利用幾何畫板的演示幫助學生理解，從而驗證推理，證明猜想。

（三）例題解析

例1：如圖（圖略），一名滑雪運動員沿著傾斜角為30°的斜坡，從A滑行至B. 已知AB=200 m.這名滑雪運動員的高度下降了多少米？

師：下降高度與水平距離、滑行距離構成什么三角形？請作出圖形。從∠B=30°能推出什么？

生：∠A=60°。

師：已知什么邊的長度？

生：斜邊。

師：你能想到關于它的什么性質？

生：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

師：需要添輔助線嗎？怎么添？你又發現了什么？

生：CD=? ? AB=100 m，△ACD是等邊三角形。

師：AC與CD、AD有什么關系？請你把過程寫一寫。

師：從本題我們發現含30°角的直角三角形邊之間有什么關系？

生：30°角所對的直角邊是斜邊的一半。

師：是的，我們得到了直角三角形性質定理的一條推論：直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半。（板書）

師：當我們把含30°角的直角三角形沿著較長的直角邊做軸對稱后得到的就是一個特殊的等腰三角形——等邊三角形，我們也可以在這個圖中完成推論的證明。

【設計意圖】通過生活中的實例，通過數學幾何論證得出推論并解決問題，體現了數學源于生活，應用生活。

（四）歸納小結

我們發現等腰三角形和直角三角形之間有著緊密的聯系，通過這節課的學習，我們進一步認識了直角三角形，會用符號和字母表示直角三角形，學習了直角三角形“角”之間的關系、“斜邊”及相關元素“斜邊上的中線”之間的關系，后面我們還將學習“邊”之間及“邊”與“角”之間的關系。

【設計意圖】通過對本堂課的知識總結，研究幾何方法的總結，讓學生體會從一般到特殊、再從特殊到一般的數學思想方法。

六、目標達成檢測

1.已知直角三角形兩個銳角的度數之比為3：2， 這兩個銳角的度數分別為? ? ? ? ? 。

2.如圖1，已知AC⊥BC，AE⊥BE，D為AB的中點，

（1）試判斷DE與CE是否相等，并說明理由。

（2）改變點E的位置如圖2，（1）的結論還成立嗎？

（3）如圖2，若∠ABC=30°，∠BAE=40°，AC=3，試求∠CDE的度數和DE的長度。

（4）如圖2，延長AC、BE交于點F，得到圖3，試判斷∠F與∠CDE的關系。（選做題）

數學思想方法是數學學科實施素質教育的一項重要內容，它在培養學生的數學思維能力、提高學生的數學素質方面具有極為重要的作用。在教學中，數學知識是一條明線，得到數學教師的重視;數學發展史是貫穿于這節課的另一條線，在教學中培養了學生的探索能力。數學思想方法滲透比交代知識更重要，因為這是數學的精髓和靈魂。這節課，體現了教師在教學的同時，注意從特殊到一般、數形結合這兩種思想的滲透。

（責任編輯：韓曉潔）