關于高等代數中一些問題的注記

摘 要 本文考慮了高等代數中的某些具有唯一性的量，例如可逆矩陣的逆、可逆線性變換的逆、矩陣的譜等，以及某些不具有唯一性的量，比如使實對稱矩陣對角化的正交矩陣、使對稱矩陣合同于對角矩陣的可逆線性替換矩陣等. 最后總結了在高等代數課程中多次出現的等價關系， 以期使讀者能夠更好的掌握高等代數這門課程。

關鍵詞 高等代數 線性變換 正交矩陣 對稱矩陣 等價關系

中圖分類號：O151文獻標識碼：A

在高等代數的教材中編者往往或為了編寫的流暢性，或為篇幅，或為忽略等原因，高等代數中某些量的是否唯一性并沒有強調太多，或者根本就忽略了。為了使大家能夠更加容易理解這些量，在本文中我們列舉了一些出來，以饗讀者，希望讀者能夠更好的掌握高等代數這門課。

1某些量的唯一性

1.1可逆矩陣的逆

首先我們給出大部分教材給出了證明的一個性質，其證明具有參考性，其他的有些性質可以類似給出。

性質1.1：可逆的矩陣的逆是唯一的。

證：假設矩陣A是可逆的，矩陣B和C都是A的可逆矩陣，則 BA=E，AC=E

故 B=BE=BAC=EC=C

所以唯一性得證。

1.2可逆的映射的逆

類似地我們可以得到下面的結論：

性質1.2：可逆的映射的逆是惟一的。

證 ?假設映射 是可逆的，并且映射和都是的可逆映射，則故所以唯一性得證。

1.3可逆的線性變換的逆

由于線性變換也是映射，所以我們也可以容易得到下面的結論。

性質1.3.可逆的線性變換的逆是惟一的。

1.4正交變換的逆

由于正交變換也是線性變換，所以也能夠得到下面的結論：

性質1.4：正交變換的逆變換是惟一的，并且它是歐式空間的同構映射。

1.5矩陣的譜

性質1.5：在確定的數域下，矩陣的譜是惟一的。

矩陣的譜就是矩陣的所有特征值構成的集合，由于矩陣的特征值就是它的特征多項式的所有的根，所以也是確定的，且譜是唯一的。當然矩陣有沒有特征值是跟數域有關的，所以它的唯一性是在數域確定的情形下得出的。

當然比較明顯的其它的概念如矩陣的秩、行列式、二次型的規范性、線性變換的線性變換的矩陣、值域與核以及線性空間的基確定的情況下任意向量的坐標等都是惟一的，上面我們僅僅討論相對不易發現或推導的性質。

2某些量的多元性

2.1矩陣相似的可逆矩陣

定義2.1：設A，B是數P域上的兩個方陣，如果能夠找到同數域上的可逆矩陣X，使得BX-1AX，則稱A相似于B。

性質2.1：若A相似于B，則滿足BX-1AX在同數域上的可逆矩陣X是不唯一的。

例2.1：A若相似于B，且滿足BX-1AX，則X也是我們要找的可逆矩陣，且滿足B=（X）-1A（X）。

例2.2：若n階方陣a可以對角化，則存在可逆矩陣X，使得X-1AX=A，這里A=是一個對角矩陣，是矩陣A的特征值。進一步我們可得到AX=XA。然后把矩陣X分塊，每一列為一塊。接著我們把AX=XA展開可得

故

也即是矩陣A的特征向量。另外只要我們找的可逆矩陣X的列是個線性無關的特征向量，都能夠使得矩陣A可以對角化。由此我們只需要改變最開始的矩陣X的每一列的系數就會得到不同的可逆矩陣X'，這些矩陣都會滿足（X'）-1=AX'=，所以這樣的可逆矩陣也是無窮多的。

2.2矩陣合同的可逆矩陣

定義2.2：設A，B是數域P上的兩個方陣，如果能夠找到同數域上的可逆矩陣X，使得B=X'AX，則稱A合同于B。

性質2.2：若A合同于B，則滿足B=X'AX且定義在相同數域上的可逆矩陣X是不唯一的。

例2.3：設，，則我們可以找到滿足，也可以找到滿足，所以滿足的可逆矩陣X，是不惟一的。

同時，關于的選取，通過計算，只需要令是虛數單位，則它就能夠滿足，所以這樣的可逆矩陣也是無窮多的。

注2.1：矩陣的合同是跟數域有關的，在上例中，如果我們把數域限制在實數域上，則A不能夠合同于B。

2.3實對稱矩陣對角化的正交矩陣

我們知道高等代數中的一個最重要的定理之一就是任何一個實對稱矩陣A都可以找到一個正交矩陣T，使得化為對角矩陣.這個正交矩陣是惟一的嗎？顯然不是。

性質2.3：若A是一個實對稱矩陣，則可以找到多個正交矩陣T，使得化為對角矩陣。

關于這個性質，我們可以把它看成例2.2自然地可以推出的結論。

其它的量諸如矩陣的屬于某個特征值的特征向量、二次型的標準形、實對稱矩陣的標準形、歐式空間的標準正交基等明顯的是不唯一的。在這些量當中，有些是有限的，有些是無限的。

3等價關系

等價關系是一種重要的代數關系，往往是對量進行分類的一個重要依據。它有三個性質，即自反性、對稱性和傳遞性。學生在學習的時候往往不善于總結，學得不夠牢固，所以在這里我們特意提出。

（1）向量組的等價：兩個向量組可以相互線性表示。這里的向量組可以是具體的中的，也可以是線性空間V中的。當然是一個線性空間。課本中的出現是從具體再到抽象的形式，易于大家的理解。

（2） 矩陣（—矩陣）的等價：指一個矩陣（—矩陣）經過一系列初等變換得到另一個矩陣（—矩陣）。

（3）矩陣的相似：見定義2.1。

（4）矩陣的合同：見定義2.2。

（5）線性空間的同構：是指兩個線性空間（歐式空間）存在一個同構映射。包括線性空間的同構和歐式空間的同構，當然歐式空間的同構作為線性空間來說也一定是同構的。

基金項目：樂山師范學院科研項目（Z1514）。

作者簡介：馮新磊，男（漢），山東陽谷人，樂山師范學院數學與信息科學學院副教授，理學博士。主要研究方向符號模式矩陣以及多智能體系統一致性。

參考文獻

[1] 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組，王萼芳，石生明.高等代數（第四版）[M].高等教育出版社，2013.

[2] 俆德余，何承源，鄒國成等.高等代數（第二版）[M].四川大學出版社，2005.

[3] 林亞南.高等代數[M]，高等教育出版社，2013.