一種基于指定應力的斜拉橋成橋索力調整方法

王家林, 曹珂瑞

(重慶交通大學 土木工程學院， 重慶 400074)

0 引言

大部分斜拉橋的拉索張拉常采用一次張拉為主，成橋后再進行二次調索來保證結構在施工過程中的安全[1]。二次調索是在當前狀態與設計成橋狀態有偏差的情況下，通過調整索力使當前成橋狀態的內力分布趨向于設計成橋狀態的內力分布[2-5]。

斜拉橋作為高次超靜定結構，內力情況較為復雜，如何通過二次調索使成橋索力達到目標索力一直是斜拉橋設計施工中的難點[6]。眾多學者對斜拉橋的成橋索力調整問題進行了大量研究，提出了多種索力調整方法，分別是最小二乘法[7]、彎曲能量最小法[8]、彎矩最小法[9]、循環迭代法[10]、凝聚函數法[11]、影響矩陣法[12]、正裝迭代法[13]。

最小二乘法是使誤差平方和最小，經過多次迭代后得到最終值；彎曲能量最小法用斜拉橋橋塔和主梁的彎曲應變能為目標函數來進行優化求解；彎矩最小法用彎矩平方和最小作為優化目標；循環迭代法基于初應變或溫度荷載，建立單根索力與其初應力或溫度荷載之間的關系，通過改變各拉索的初應變或溫度荷載來調整橋梁內力；凝聚函數法通過引入信息熵函數[14]，將多目標多約束的非線性規劃問題轉化為光滑、可微的單目標、單約束優化問題進行求解；影響矩陣法是目前斜拉橋成橋索力調整中應用最為廣泛的方法，將斜拉橋優化的多種目標函數統一用索力變量與廣義影響矩陣表示，實現了一種方法對多種目標函數進行優化的目的，既可用于成橋階段，也可用于施工階段，具有便于電算的優點，缺點是計算復雜，計算量大，需要通過多次迭代才能得到各拉索近似非彈性變形影響，存在不夠準確的問題；正裝迭代法基于影響矩陣法，能方便地計入混凝土收縮徐變和幾何非線性的影響，便于編程實現。

文獻[15]提出了一種含非彈性收縮量的預應力筋桁架單元，在考慮預應力筋剛度的同時，可準確模擬預應力筋單元的有效預應力，實現了在分析結果中桁架單元的軸力(應力)等于指定的值。本研究將其用于模擬斜拉橋的拉索，提出了分析斜拉橋二次調索的一種新方法。以一座單塔雙跨不對稱布置的斜拉橋結構為模型，進行二次調索計算，并在Midas中建立相應的結構模型，對本方法的計算結果進行驗證。

1 基于指定應力的全橋拉索調整

以平面坐標系下為例，將斜拉橋的拉索用含非彈性收縮量的預應力筋單元[15]模擬時，單元平衡方程為：

(1)

式中，E，A，l分別為拉索單元的彈性模量、橫截面面積、建模長度；c，s為拉索單元的方向余弦；ui，vi，uj，vj分別為節點i和j在直角坐標系下沿x，y方向的位移分量；Xi，Yi，Xj，Yj分別為與各位移分量對應的力分量；ΔL為拉索的非彈性收縮量；T為拉索的拉力。

對斜拉橋進行整體分析，建立的平衡方程為：

(2)

或簡寫為：

kd=F，

(3)

基于指定應力有限元方法進行全部索力調整的算法步驟為：

1.1 確定當前索力對應的非彈性收縮量ΔLc

將T設置為當前已知索力Tc，此時：

(4)

解式(2)，可得廣義位移向量，記為d：

(5)

式(4)中的非彈性收縮量ΔLc即為初始索力對應的斜拉索非彈性收縮量。

1.2 確定目標索力對應的非彈性收縮量ΔLm

將T設置為目標索力Tm，重復步驟1.1的過程，可得到與目標索力對應的非彈性收縮量ΔLm。

1.3 確定調索長度ΔLt

各拉索的無應力調索量(縮短為正)ΔLt的確定式為：

ΔLt=ΔLm-ΔLc。

(6)

2 基于指定應力的部分拉索調整

根據指定應力法，對全橋斜拉索進行索力調整可以在理論上使得全部索力精確等于目標索力。但在實際工程中，斜拉橋索力調整的施工難度大，施工控制復雜，對全橋斜拉索進行索力調整很不經濟。

從工程角度看，實際索力與目標值容許有較小的誤差。這時需要解決的問題是如何調整部分斜拉索，使得全部拉索的索力滿足工程要求精度。本研究基于指定應力法，提出一個以部分拉索的非彈性收縮量為優化變量、以全部拉索的索力差為目標函數的優化模型。

2.1 部分斜拉索索力調整方法

將廣義位移向量d和廣義力向量F分為4類：

(7)

(8)

式(7)～(8)中各項的含義與在結構有限元平衡方程中的狀態見表1，d1,d2示意圖見圖1。

表1 廣義位移與廣義力中各項含義與狀態Tab.1 Meanings and states of generalized displacements and forces

圖1 d1,d2示意圖Fig.1 Schematic diagram of d1 and d2

根據式(7)～(8)，將式(2)中的k整理為分塊矩陣形式，可得：

(9)

根據上式可得：

(10)

由于F1，d2，ΔL2已知，式(10)可表達為：

d1=f1(ΔL1)。

(11)

進一步可得：

T1=k31d1+k32d2+k33ΔL1+k34ΔL2=f2(ΔL1)，

(12)

T2=k41d1+k42d2+k43ΔL1+k44ΔL2=f3(ΔL1)。

(13)

式(12)～(13)表明，全部索力是以調索單元的非彈性收縮量為自變量的函數。根據目標索力，可選擇不同形式的索力誤差作為目標函數進行索力優化。

例1以目標索力與優化后索力的差值平方和為目標函數，按最小值進行優化：

f4(ΔL1)=∑[Tm-{T1,T2}]2。

(14)

例2以目標索力與優化后索力的相對差值的絕對值最大值為目標函數，按最小值進行優化：

(15)

2.2 部分拉索調整方案選取方法簡介

對于調整部分拉索的優化問題，選擇不同數量、不同位置的索會得到不同的優化結果。為選取盡可能少的斜拉索得到滿足要求的優化結果，可按不同方法選擇不同拉索組合進行索力優化，選擇其中效果最好的拉索組合作為最終的調索方案。

2.2.1 窮舉法

對所有拉索組合進行分析，比較調索結果，找出最佳的索力調整方案。此方法的缺點是計算量很大，只適用于拉索數量較少的斜拉橋。

2.2.2 按索力誤差一次排序，遞增調索數量

根據各索當前索力與目標索力的某種誤差，從大到小排序，逐次增加調索數量，直到調索效果滿足精度要求。此方法簡便易用，計算速度快。缺點是難以獲得最佳的拉索組合。

2.2.3 按索力誤差逐次排序，遞增調索數量

在增加1根拉索進行調索時，在備選索中選擇當前索力誤差最大的索，與已選索組合成新的拉索組合進行調索優化，逐次遞增調索數量，直到得到滿足要求的調索方案。

2.2.4 窮舉遞增

在上次組合基礎上，窮舉增加1根索的拉索組合，將效果最優的拉索組合作為新的拉索組合，比較優化效果，直到得到滿足要求的調索方案。

3 算例分析

利用前述方法，利用C++語言編制了1個有限元軟件，單元類型包括常規桁架單元、梁單元及含非彈性收縮量的桁架單元。將每根拉索模擬為含非彈性收縮量的桁架單元，在指定索力時可計算其拉索非彈性收縮量；在指定非彈性收縮量時，可計算其索力。該軟件可方便地解決全橋調索問題。

部分調索的計算思路為：

(1) 利用自編有限元軟件輸出總剛矩陣。

(2) 在Matlab軟件中按式(9)分塊，得到式(12)～(13)。

(3) 利用fminimax函數選擇式(15)的目標函數進行優化計算。

3.1 模型概況

參考楊興等[16]的結構數據，建立簡化斜拉橋模型，布置情況見圖2。

圖2 斜拉橋總體布置Fig.2 General layout of cable-stayed bridge

斜拉橋采用獨塔雙跨不對稱布置，主跨130 m，邊跨145 m，橋面寬19 m。斜拉索采用扇形索面，主跨斜拉索ZS1-ZS14索距8.5 m,邊跨斜拉索BS9-BS1索距8.5 m，BS14-BS10索距4.25 m，用桁架單元模擬。主梁采用C50混凝土，采用換算實腹式長方形截面，梁高1.9 m，寬19 m，截面慣性矩10.86 m4。拉索彈性模量1.95×1011Pa，線膨脹系數α=1.2×105/℃，換算面積0.017 08 m2，用梁單元模擬。全橋換算均布荷載307 kN/m,作用在主梁上。

3.2 全橋索力調整

根據資料，得到斜拉橋初始索力Tc和目標索力Tm，根據本研究的全橋拉索調整方法，分別計算初始索力的非彈性收縮量ΔLc和目標索力的非彈性收縮量ΔLm，其差值即為無應力調索量ΔLt。

在Midas中建立相同的結構模型，分別將本方法計算得到的非彈性收縮量ΔLc和ΔLm轉換為溫度荷載或初拉力施加Midas結構索單元上，此時相當于對Midas結構施加了1組荷載，觀察其索力情況。若Midas計算得到的索力與對應的初始索力Tc和目標索力Tm相近，其誤差在允許范圍內，可認為本方法正確。

將非彈性收縮量ΔL轉換為溫度變化(降溫為正)t的關系為：

(16)

式中，α為拉索線膨脹系數；l為拉索單元長度。

表2 全橋索力調整Tab.2 Cable force adjustment of the whole bridge

注: 1.差值=(索力-索力換算溫度荷載的Midas計算內力)/索力; 2.調索量=目標索力非彈性收縮量-初始索力非彈性收縮量。

從表2可以看出，全橋調索的計算結果與Midas驗算結果很接近，誤差主要來源于式(16)中數據輸入、輸出的有效位數截斷，驗證了前述方法和自編軟件的正確性。

3.3 部分斜拉索索力優化調整

本研究使用窮舉法，求解27,26,25根斜拉索進行優化調整時的最佳拉索組合的優化效果，目標函數取為式(15)。

調27根索時，不調整ZS11索的效果最優，目標索力與優化后索力相對差值絕對值的最大值為0.116%。

調26根索時，不調整ZS1，ZS5索的效果最優，目標索力與優化后索力相對差值絕對值的最大值為1.432%。

調25根索時，不調整ZS1，ZS5，ZS4索的效果最優，目標索力與優化后索力相對差值絕對值的最大值為1.497%。

表3 部分斜拉索索力優化(窮舉法)Tab.3 Cable force optimization of partial cable stays (exhaustive method)

上述結果使用Midas進行驗算，誤差在允許范圍內，計算正確且均滿足規范要求。24根索拉索組合數多達20 475種，窮舉較為困難，不再計算。除窮舉法，還可采用2.2節中的其他方法等多種方法選擇拉索組合進行部分索力調整，對每種方法的性能的研究等工作將在以后展開。

4 結論

迄今為止，已經有多種方法可以實現斜拉橋的二次調索計算，但是都存在諸如計算量大、計算復雜、不夠準確等缺點。本研究基于指定應力有限元法，提出了一種斜拉橋二次調索的新計算方法，可對斜拉橋全橋進行二次調索，也可對部分斜拉索進行二次調索。對于結構規模較小，非線性因素影響不大的斜拉橋二次調索計算具有計算簡單、便于電算、力學意義明確等優點，在工程上具有廣泛的應用價值。

對于斜拉橋的二次調索問題，得到調索量后，按照一定的調索順序最終可以使全橋的索力達到目標索力。但在實際工程中，為保證結構的內力、應力、位移在施工過程中不超過限值，還需找到最優的調索順序[17]。對于大型的斜拉橋結構，需要考慮索垂度、大變形、梁柱效應、混凝土收縮徐變等非線性因素才能得到較為準確的計算結果[18]。未來可以從選擇更好的目標函數、更好的優化計算方法、考慮非線性因素、考慮施工控制等多方面進一步發展本方法，提高針對大型復雜斜拉橋結構的適用性。