一類具有非線性信號產生的趨化性模型解的存在性

孫傲霜

（西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009）

生物趨化性是細胞、細菌等生物根據環境中某些化學物質的濃度梯度做出的一種趨利避害的方向性運動，趨化性現象在自然界中普遍存在，其研究不僅能讓人們了解到自然界中生物的許多奧秘，同時在生產生活、醫療衛生等方面都有重要作用. 因此，生物趨化性引起了學者們極大地研究興趣.

上世紀70 年代，美國應用數學家提出了著名的Keller-Segel 趨化模型用以研究變形蟲的趨化聚集行為［1］.經典Keller-Segel 趨化模型一個顯著特征是：當空間維數n ≥ 2 時，模型的解可能會發生有限時間爆破.由于爆破現象不符合生物實際，沒有考慮細胞的增長和死亡，因此，需要對該模型進行修正，各種變體模式也因此應運而生［2-5］. 該模型的第二個特點是化學信號濃度對于細胞密度的依賴關系是線性的，而在自然界中信號對于細胞的依賴關系往往很復雜［6］.該模型的第三個特點是信號是由細胞自身直接產生，而在實際的很多生物環境中，信號也有可能間接產生［7］.

由以上研究啟發，本文主要對以下具有非線性間接信號產生的趨化模型進行研究：

其中Ω?Rn（n ≥ 2）是一個具有光滑邊界的有界區域，u（x，t）、w（x，t）分別表示飛行的山松甲蟲密度和樹上的山松甲蟲密度，v（x，t）表示樹上的山松甲蟲分泌的甲蟲信息素濃度，μu（1-u）刻畫了山松甲蟲的增值和死亡，信號v 并不是由飛行的山松甲蟲u 產生而是由樹上的山松甲蟲w 所產生，δ，τ 是正常數.該模型是文獻［7］中模型的推廣，區別是假設趨化信號v 對于樹上的山松甲蟲w 的依賴關系不是一般的線性依賴關系，即假設f（s）∈C1（［0，+∞））滿足：

其中k，a 都是正實數，該模型更能確切地描述山松甲蟲在自然中分泌信號的現象.本文主要考慮μ=0 的情況下，參數α 對模型解的全局存在性的影響，其實際意義是研究當山松甲蟲的增值量和死亡量持平時，樹上山松甲蟲分泌信號的速率對整個模型的影響，也可用于描述此類型其他物種和細胞的現象.

1 主要結果

定理1 假設μ=0，Ω?Rn，n ≥ 2 是一個具有光滑邊界的有界區域，和是已知的非負函數，f（w）滿足（2），則當：

時，模型（1）存在唯一的非負有界經典解（u，v，w）.

2 預備知識

首先敘述模型（1）解的局部存在性，其證明方法與文獻［6-7］中類似，本文略去了相應的證明.

引理1（解的局部存在性）設Ω?Rn，n ≥ 2 是一個具有光滑邊界的有界區域，μ ≥ 0，δ ＞ 0，τ ＞ 0，則對任一的非負初始值（u0，v0，w0）∈C0（Ω—）×W1,∞（Ω）×C1（Ω—），任一的p＞n，存在Tmax∈（0，∞）（Tmax表示最大存在時間）使得模型（1）在Ω×（0，Tmax） 上存在唯一的非負經典解（u，v，w）滿足：

若Tmax＜∞，則有

下面的引理2 是非齊次線性方程的正則化性質，可參見文獻［8］中的定理4.1、文獻［9］中的定理1.

引理2設Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區域，T ＞0，考慮拋物方程的初邊值問題：

假設v0∈W1,∞（Ω）且存在常數C1＞0 使對任意t∈（0，T），都有‖f（·，t）‖Ls（Ω）≤C1，其中s ≥ 1.則存在正常數C2（q），對于任意t∈（0，T），該方程的解都滿足：

接下來建立u，w 的L1估計.

引理3（建立u，w 的L1 估計）假設μ=0，δ ＞ 0，τ ＞ 0，且u0∈C0（Ω—）和w0∈C0（Ω—）和都是非負的，則對于所有的t∈（0，Tmax），有：

證對（1）中的第一個方程關于x 在區域Ω 上進行積分，利用散度定理可得：再利用齊次Neumann 邊界條件（即x∈Ω，t＞0），可得到，因此推出（5）.

3 定理證明

引理4假設是一個具有光滑邊界的有界區域和w0∈C1（Ω—）是已知的非負函數，并且假設0＜α＜則存在常數C＞0，使對?t∈（0，Tmax），模型（1）的經典解都滿足：

證首先斷言存在q＞n 和c1：=c1（q）＞0，使得：

接下來利用文獻［10-11］中所用方法證明（7）. 由（8）可找到r 滿足n＜r＜q 和使得：

由引理1 不難發現，B（T）是有界的.下面證明B（T）并不依賴于T.首先利用常數變易法，得到：

由極大值原理，存在C2＞0 且不依賴于T，使得：

為了估計u2（t）的L∞模的上界，假設λ1是-△在Neumann 邊界條件下在x∈Ω 中的第一非零特征值，對任意p∈（1，∞），A 表示-Δ+在空間LP（Ω）中的形式.則對任意θ∈（0，1），A 有分數冪Aθ.由文獻［11］中的定理1.3 和2θ-＞0 可知：

對?t∈［0，T］都成立，其中C3，…C6是不依賴于T 的正常數.需要進一步估計（12）中最后一個積分.為此，假設ξ'：=利用H?lder 不等式有由于r＞1 和ξ'＞1，利用插值不等式不難得到其中從而進一步得到：

再結合引理2 和（9），即得：

其中C7：=C1‖u0‖ . 綜合不等式（10）～（14），可得C8：=max{C2，C6，C7}＞0 和C8＞0 滿足：

由于0＜β＜1，由楊式不等式不難得到對于常數C10＞0，有結合（15）得到B（T）≤ 2C10.因此‖u（·，t）‖L∞（Ω）≤ 2C11，?t∈（0，Tmax），則證得引理3.

定理1 的證明：由引理4，再結合引理1 中解的延拓準則，即得Tmax=∞.這就得到了在Ω×（0，∞）上模型（1）的解具有全局存在性和有界性.