環R+vR 上的常循環碼

王艷萍，李 杰

（宿州學院 數學與統計學院，安徽 宿州 234000）

1994 年，Hammons 等研究二元碼，并將其看成Z4碼對應Gray 映射下的像，使得環上的碼引起編碼學者的注意［1］.許多研究學者對有限環產生了很大的興趣.文獻［2］研究鏈環F2+uF2上的循環碼及其一類常循環碼的一些性質；文獻［3-7］進行了推廣，分別研究了對應推廣環上的常循環碼、負循環碼的性質.文獻［8-9］研究非鏈環上，不同長度對應常循環碼的結構以及它們所對應的性質.通過構造映射，得出環上的結構.本文先介紹環R+vR（v2=v），給出其冪等正交元，進而建立該環上碼與R 上碼的關系；其次給出該環上的Gray 映射，研究對應性質；最后給出該環上θ-常循環碼的生成多項式與環R 上碼的結構的關系.

1 預備知識

令? ＝R+vR，其中v2=v.且R 滿足以＜r＞為極大理想，其中rl=0. p＞2 是R/＜r＞的特征.設n=psk，（p，k）=1.令e1=v，e2=（1-v），易知e12=e1，e22=e2，e1e2=0，且＜e1＞={e1a│a∈?}，＜e2＞={e2a│a∈?}是互素的理想，則? ≌＜e1＞⊕＜e2＞.因此，對?c∈? 唯一表示：c=e1a+e2b 其中a，b∈R.本文規定θ=η1e1+η2e2為? 上的單位，而η1，η2∈R.

定義?n→?n的θ-常循環置換τ：τ（y0，y1，…，yn-1）=（θyn-1，y0，…，yn-2）.特：θ=1，環上的碼為循環的；θ=-1，為負循環碼.

定義C 為? 上長為n 的線性碼：如果C 是?n上的非空子集，且是?n的子模.

定義Rn上的θ-準常循環置換σ：σ（a0，a1，…，an-1，a'0，a'1，…，a'n-1）=（η1an-1，a0，…，an-2，η2a'n-1，a'0，…，a'n-2）；稱碼C 為θ-準常循環碼，如果有σ（C）=C；θ=-1，為準循環碼.

?c∈R，wHom其中

引理1設C 是?n上的線性碼，它的長為n，可定義：

易證：（1）C1、C2為R 上的線性碼；（2）C 唯一表示：C=e1C1⊕e2C2.

引理2θ=η1e1+η2e2為? 上的單位?η1，η2為R 上的單位.

證“?”如果θ=η1e1+η2e2，則必有θ'=η1'e1+η2'e2∈?，η1'，η2'∈R 滿足θθ'=（η1e1+η2e2）（η1'e1+η2'e2）=1，即η1η1'e1+η2η2'e2=1，（η1η1'-η2η2'）v+η2η2'=1，所以有η1η1'=η2η2'=1，即證；

“?”如果 η1，η2為R上的單位，即?η1"，η2"，η1η1"=η2η2"=1. 設θ"=η1"e1+η2"e2∈?，因（η1η1"-η2η2"）v+ η2η2"=1，即θθ"=（η1e1+η2e2）（η1"e1+η2"e2）=1，即證.

2 ? 上的Gray 映射及常循環碼

定義? →R2的Gray 映射φ：對?c=e1a+e2b∈?，a，b∈R，有φ（c）=（a，b），且是雙射.φ 擴展?n上，有?n→R2n的Gray 映射Φ：對?c=（c0，c1，…，cn）∈?n，ci=e1ai+e2bi，ai，bi∈R，i=0，1，…，n-1，有Φ（c）=（a0，a1，…，an-1，b0，b1，…，bn-1）.定義c 的Gray 重量wG（c）=wHom（a，b），碼C 的Gray 距離：dG（C）=min{wG（c）│c≠0，c∈C}，（?n，Gray 距離）→（R2n，齊次距離）：保距映射.

定理1設C 是?n上的線性碼，它的長為n，則C 為θ-常循環碼的充要條件，C1為η1-常循環碼，C2為η2-常循環碼.

證“?”對?（a0，a1，…，an-1）∈C1，（b0，b1，…，bn-1）∈C2，c=（c0，c1，…，cn）∈C，ci=aie1+bie2，則τ（c）=（θcn-1，c0，…，cn-2）∈C，θcn-1=an-1η1e1+bn-1η2e2，則有（η1an-1，a0，…，an-2）∈C1，（η2bn-1，b0，…，bn-2）∈C2，即證；

“?”對?c=（c0，c1，…，cn）∈C，ci=aie1+bie2，則（a0，a1，…，an-1）∈C1，（b0，b1，…，bn-1）∈C2.

又（η1an-1，a0，…，an-2）∈C1，（η2bn-1，b0，…，bn-2）∈C2，則（an-1η1e1+bn-1η2e2，c0，…，cn-2）∈C，即（θcn-1，c0，…，cn-2）∈C，即證.

推論1環? 上的線性碼C 是θ-常循環碼的充要條件C⊥為? 的θ-1-常循環碼；C 是循環碼的充要條件C1，C2是R 的循環碼.

定理2對上述τ，σ，Φ，有Φτ=σΦ 成立.

證?c=（c0，c1，…，cn）∈?，ci=aie1+bie2，有τ（c）=（θcn-1，c0，…，cn-2）=（an-1η1e1+bn-1η2e2，c0，…，cn-2），則Φτ（c）=（η1an-1，a0，…，an-2，η2bn-1，b0，…，bn-2）；而Φ（c）=（a0，a1，…，an-1，b0，b1，…，bn-1），又σΦ（c）=（η1an-1，a0，…，an-2，η2bn-1，b0，…，bn-2），即證.

注：由定理2 可知，? 上長為n 的θ-常循環碼C?Φ（C）為R 上的θ-準常循環碼，且長為2n.

定理3［10］設C=e1C1⊕e2C2是? 上的線性碼，長為n，則：

（1）C⊥=e1C1⊥⊕e2C2⊥；

（2）Φ（C）=C1?C2，│Φ（C）│=│C1│·│C2│；

（3）Φ（C⊥）=C1⊥?C2⊥.

證（1）定義：l1⊥={a∈Rn│?b∈Rn，e1a+e2b∈C⊥}，l2⊥={b∈Rn│?a∈Rn，e1a+e2b∈C⊥}，則對?a∈l1⊥，有e1a+e2b=c'∈C⊥，則?a'∈C1，有e1a'+e2b'=c∈C，且＜c，c'＞=e1aa'=0?aa'=0，即有l1⊥?C1⊥.另，a∈C1⊥，有c'=e1a'+e2b'∈C⊥滿足＜e1a，c'＞=e1aa'=0?aa'=0，則證l1⊥=C1⊥.同理可得，l2⊥=C2⊥.即證.

（2）易 知Φ（C）?C1?C2. 又?c（a，b）=C1?C2，有r=e1a+e2b∈C 且Φ（r）=c=（a，b），即 有C1?C2? Φ（C），則Φ（C）=C1?C2.而Φ 是雙射，則│Φ（C）│=│C1│·│C2│.

（3）由前述可知Φ（C⊥）?Φ（C）⊥，Φ 為雙射，則│Φ（C⊥）│=│C⊥│=│?2n│/│C│=│Φ（C）⊥│，即Φ（C⊥）? Φ（C）⊥.類似（1）可證Φ（C⊥）=C1⊥?C2⊥.

定理4設? 上長為n 的θ-常循環碼C，對于C1，C2，如果它們在R［x］/（xn-η1），R［x］/（xn-η2）有C1=（f），C2=（g），其中f，g 首一的多項式，則有C=（e1f+e2g）.

證因C1=（f），C2=（g），則有C=（e1f，e2g）.假設e=e1f+e2g，則e∈（e1f，e2g），即有（e）?（e1f，e2g）；又e1e=e1f，e2e=e2g，則（e）?（e1f，e2g），即證.

注：上述定理對應于C⊥也有類似結論.

3 結語

本文先介紹環?=R+vR（v2=v），給出其冪等正交元，得出碼C 與環R 上碼的關系；然后定義了?=R+vR（v2=v）的Gray 映射，研究其性質，并給出了? 上長θ-常循環碼C 的生成多項式.本文的研究，可以為后續環上尋求好碼提供基礎，為編碼學提供參考.