一類考慮潛伏期和隔離機制的傳染病模型的動力學分析

郭樹敏

（韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關 512005）

近年來不斷有新型傳染病出現，例如重癥急性呼吸綜合征、埃博拉病毒病、人感染高致病性禽流感、朊毒體病、中東呼吸綜合征等［1-2］.一旦有新的疫情發生，就有學者根據新型傳染病傳播的機理建立模型并進行理論分析［3-4］.有很多呼吸類傳染病病毒的潛伏期較長，防控手段主要就是隔離，因此，本文建立了考慮潛伏期和隔離機制的傳染病模型.

1 模型的建立

本文的建立的模型為：

其中，S 是易感者，Q1是未被隔離的潛伏者，Q2是被隔離的潛伏者，I 是已發病的染病者，R 是康復者.Λ是外地遷入的以及本地新生的人口數，ε 是感染病毒者在新增人口所占比例，β1是未被隔離的潛伏者與易感者接觸的感染率，β2是被隔離的潛伏者與易感者接觸的感染率，d 是自然死亡率，δ 是未被隔離的潛伏者在新增感染者中所占的比例，k1是未被隔離的潛伏者被發現并隔離的比例，k2是未被隔離的潛伏者自愈的比例，k3是被隔離的潛伏者自愈的比例，μ1是被隔離的潛伏者發病的比例，μ2是發病的染病者中被治愈的比例，σ 是因病死亡率.建立模型時做了如下假設：

（1）新增人口中有部分是已感染病毒的潛伏者，其中部分被發現繼而被隔離，還有一部分未被發現從而未被隔離；

（2）感染病毒的潛伏者中有部分免疫力較強，沒有明顯的嚴重癥狀，不需要治療就會自愈；

（3）易感者接觸潛伏者會有一定幾率感染，已發病的感染者通常都會就醫，接觸易感者并傳播病毒的可能性很小，故不考慮其傳染性.

2 模型分析

假設當t ≥ 0 時，系統（1）中的變量和參數始終為正.由系統（1）的生物學意義得：

其中Ω 為系統（1）的正向不變集.容易看出系統（1）的前3 個方程與變量I，R 無關，其穩定性可由以下系統分析：

系統（3）滿足初始條件為：S（0）＞0，Q1（0）＞0，Q2（0）＞0，其中m=k1+k2+d，n=k3+μ1+d.系統（3）有正平衡點E*（S*，Q1*，Q2*），由方程a1Q1*2+a2Q1*+a3=0確定，其中a1=m（β1n+β2k1）＞0，a2=mβ2（1-δ）εΛ+mnd-Λ（δε+1-ε）（β1n+β2k1），a3=-β2（1-δ）εΛ＜0.因此方程始終有唯一的正根，系統（3）有唯一的正平衡點E*.下面討論當ε=0，即無輸入感染者時，系統（3）的基本再生數.

此時系統有無病平衡點E0（Λ/d，0，0）.設x=（Q1，Q2，S）T，系統（3）可以寫為：

F（x）和V（x）在無病平衡點E0的Jacobian 矩陣為：

3 平衡點的穩定性

下面討論正平衡點E*（S*，Q1*，Q2*）的全局漸近穩定性.系統（3）的Jacobian 矩陣為：

于是可得J 的第二加性復合矩陣為［2］：

令：

則：

從而：

設│·│是R3中的范數，定義為│ω1，ω2，ω3│=max{│ω1│，│ω2+ω3│}，其中（ω1，ω2，ω3）表示R3中的 向 量，L 表 示 范 數 的Lozinskii?測 度，L（B）≤ sup{g1，g2}=sup{L1（B11）+│B12│，L1（B22）+│B21│}. 其 中│B12│，│B21│是對應于向量范數l1的矩陣范數，L1是對應于范數l1的Lozinskii?測度，因此：

于是：

由系統（3）的第二式可得：

把（13）和（2）代入（11）式，可化為：

由系統（3）的第三式可得：

把（15）和（2）代入（12）式，可化為：

則：

情況1：如果δ＜1-δ，即時，有那么：

則：

情況2：如果δ＞1-δ，即時，有那么：

則：

如上面所說，由文獻［6］中Muldowney 給出的準則有如下定理.

定理當R1＞1 時，正平衡點E*（S*，Q1*，Q2*）全局漸近穩定，其中：當時，當時，

4 結語

本文建立了一類考慮潛伏期和隔離機制的傳染病模型，通過分析其參數可知，無輸入感染者時，減少潛伏期感染者與易感者的接觸幾率能有效控制疾病傳播，特別是減少未隔離的潛伏期染病者與易感者的接觸能更加有效降低疾病傳染效率.當輸入的未隔離潛伏者不過半時，減少未隔離的潛伏者的數量可以有效控制疾病傳播；當輸入的未隔離潛伏者過半時，減少未隔離潛伏者的數量已無效果.因此封閉疫情嚴重地區，全員居家隔離，減少人員流動，并對外來者普及疫病篩查，染病者及時進行隔離，是控制此類傳染病傳播最有效的手段.