薛定諤型分數次p拉普拉斯方程正解的對稱性

周曉芳，瞿 萌，張夢婷

(安徽師范大學 數學與統計學院，安徽 蕪湖 241002)

1 相關定理

考慮分數次p拉普拉斯算子定義如下：

從數學上看，為了克服分數次拉普拉斯的非局性帶來的困難，Caffarelli[18]等發展了一種將分數次拉普拉斯非局部問題轉化到高維的局部問題的延拓法，隨后，這種方法得到了廣泛的應用[19-20]。另外，移動平面法[21-24]和正則性提升法[25-26]將分數次拉普拉斯方程轉化為等價的積分方程[25,27]。但上述方法并不適用于非線性非局部算子，如完全非線性非局部算子[4]和分數次p(p≠2)上。最近，Jarohs[28]等發展了一套直接和移動平面法處理非線性非局部算子,這一方法也得到了一些應用[1-5，7，10，13，29]。

研究考慮通過建立一個無窮遠處衰減性定理，結合窄區域原理[34]建立了分數次p拉普拉斯薛定諤方程正解的對稱性，單調性和上半空間上解的不存在性。

(1)

(2)

式中，γ>0,則u(x)一定關于某點徑向對稱且單調遞減。即存在某點x*使得u(x-x*)=u(|x-x*|),若|x-x*|≥|y-x*|,則u(x-x*)≤u(y-x*)。

(3)

的非負解。若對某常數q>1,且

(4)

則u(x)≡0。

2 相關引理及證明

引理1[1]對于函數G(t)=|t|p-2t,由中值定理可得

G(t2)-G(t1)=G′(ξ)(t2-t1),

則存在一正常數c0,使得

|ξ|≥c0max{|t1|,|t2|}。

(5)

(1)若存在y0∈Σλ,使得wλ(y0)>0,則當l充分小時有

wλ(x)≥0,x∈Ω。

(2)進一步，在結論(1)下，若wλ(x)在某處為0,則

(3)若Ω是一無界區域，在條件

下，上述結論仍成立。

引理3(無窮遠處衰減性)

(6)

以及

(7)

這里γ同定理1要求，并且

(8)

則存在一個常數R0>0,使得若滿足

(9)

必有

|x0|≤R0。

(10)

注1 上述引理在定理1以及定理2的證明中扮演著重要的角色。另一方面，引理3具有獨立性，存在潛在的應用價值。

引理3的證明

用反證法。若不然，對充分大的R>0,總有|x0|>R成立。結合算子的定義和中值定理有

本研究采取SPSS21.0統計軟件整合和分析數據，計數資料用百分比表示，χ2檢驗，P＜0.05差異具有統計學意義。

(11)

其中η(y)介于uλ(x0)-uλ(y)與u(x0)-uλ(y)之間，ξ(y)介于uλ(x0)-u(y)與u(x0)-u(y)之間。對I1進行估計。一方面，容易驗證

|x0-y|≤|x0-yλ|,y∈Σλ,

故

(12)

另一方面，由中值定理可得

G(uλ(x0)-uλ(y))-G(u(x0)-u(y))=G′(·)(wλ(x0)-wλ(y)),y∈Σλ,

(13)

結合式(9)、式(12)、式(13)及G′(t)≥0,知

I1≤0。

(14)

再對I2進行估計，令R=|x0|>R0,選一點xR∈Σλ,滿足BR(xR)?Σλ且|xR|=3R,結合式(7)有：對任意的y∈BR(xR),

(15)

由引理1知，存在常數C>0,使得

G′(ξ(y))=(p-1)|ξ(y)|p-2≥C(p-1)|u(x0)-u(y)|p-2≥

(16)

結合G′(·)的非負性，式(15)和式(16)有

(17)

由式(11)、式(14)、式(17)可得到

(18)

(19)

結合wλ(x0)的定義可得C+c(x0)Rγ(p-2)+sp≤0,而當R充分大時，結合式(8)得C+c(x0)Rγ(p-2)+sp>0,得到矛盾，從而式(10)得證，引理得證。

3 定理1與定理2的證明

3.1 定理1的證明

令Tλ,Σλ,uλ,wλ與前面部分的定義相同，則在wλ為負值的點處，可以得到

(20)

第一步：從-∞附近開始移動平面。當λ充分負時，

wλ(x)≥0,x∈Σλ。

(21)

如果式(21)不成立，則wλ在某點處取到負的極小值，設該點為x0。結合式(2)，有

滿足引理3的條件。因此，存在R0(與λ無關)使得

|x0|≤R0。

即當λ<-R0,有

wλ(x)≥0,x∈Σλ。

第二步：在保證式(21)成立的條件下，沿x1正方向移動Tλ,一直移動到極限平面Tλ0。

定義λ0=sup{λ|wμ(x)≥0,x∈Σμ,μ≤λ}。根據u(x)在無窮遠處的衰減性，可知λ0<∞。接著證明

wλ0(x)≡0,x∈Σλ0。

(22)

假設式(22)不成立，結合wλ0的定義及引理2(3),則有

wλ0(x)>0,x∈Σλ0。

(23)

在此情況下，將證Tλ仍可繼續向右移動。即存在足夠小的ε>0,使得對任意λ∈(λ0,λ0+ε)有

wλ(x)≥0,x∈Σλ。

(24)

這與λ0的定義相矛盾，從而式(22)成立。接下來將利用引理2來證明式(24)。對ε>0,由wλ(x)關于λ的連續性，可得存在常數c,使得wλ0(x)>c>0,x∈Σλ0-ε。進一步可得

wλ(x)≥0,x∈Σλ0-ε。

(25)

令Ωδ=Σλ+δΣλ0-ε∩BR(0),其中δ表示“窄區域原理”的狹窄區域的最大寬度。可知它滿足

由引理2，知wλ(x)≥0,x∈Ωδ。

即式(24)得證，這與λ0的定義相矛盾，從而式(22)得證。因為取的x1的方向是任意的，也就意味著u關于某點是徑向對稱的。再由wλ(x)的定義以及證明過程可得,u是關于某點徑向對稱且單調減的。定理證畢。

3.2 定理2的證明

根據u(x)的非負性，可以斷言

(26)

uq(x0)-u(x0)=0。

wλ(x)=uλ(x)-u(x)。

與定理1的證明類似，可驗算知，在wλ為負值的點處，有

并且滿足引理2及引理3的條件。第一步，將證當λ充分小時，

(27)

λ0=∞。

(28)

若λ0<∞,與定理1中第二步證明類似，則存在δ0>0,對任意0<δ<δ0,

這與λ0的定義矛盾，從而式(28)肯定成立。即u(x)在xn方向上是嚴格單調增的，這與式(4)矛盾，表明u(x)>0是不成立的。因此u(x)≡0。定理2證明完成。