多元 互通 發展
——談數學拓展課素材的開發

浙江省義烏市繡湖小學教育集團 李玲靜

小學數學拓展課的素材是多元的，可以是教材中某個知識點的深入研究，可以是某種思想方法的專項滲透，也可以是知識前后的溝通聯系，還可以是借助數學名題、數學繪本、數學益智器具等豐富的數學資源進行引入與挖掘，讓孩子們了解數學歷史，接觸數學的文化，從而培養良好的數學素養，養成良好的數學思維品質，通過實踐研究，總結出以下幾個策略：

一、橫向拓展打開多元的知識鏈接

日常教學中經常會出現某個練習反復講解幾遍后，很多孩子還是錯，究其原因是對核心知識沒有真正理解，或者對知識的建立太單薄。一般數學的核心知識包括概念的定義、基本的關系、基本原理、基本的方法、基本的問題模型等幾個方面，是提升孩子思維品質的重要載體。例如，《三角形的面積》引導學生探索多種方法求面積后，學生會認為只能用“底×高÷2”的方法求面積，這就是一種思維定式，如何破了這種思維定式，建立更好的思維品質，需要教師設計拓展。如下圖，三角形面積拓展題：在兩個正方形中找出較大的三角形和較小的三角形。

舉例，像第二幅圖這種情況，用三角形的公式很顯然是無法直接得出陰影部分的面積，需要用整體面積減去白色部分。如此，學生在交流中思想不斷閃現，思維不斷升華，從核心知識的角度得到真正的拓展。

二、縱向拓展突出多元聯結的學習

有經驗的老師都會比較重視數學課每個單元的起始課和單元的結束課，一個是開啟知識的序列，一個是聯結網絡，連“點”成“線”，從“線”到“面”，“面”構筑成“體”，從知識的發展角度聯結成網，更利于學生的知識構建。

以下是本人在實踐中的案例，關于知識梳理版塊操作的一般做法：

案例：《圓的認識》單元復習整理

回顧與交流

（一）回顧

1.圓是一個什么樣的圖形？它是如何形成的？

（二）梳理

1.圓的各部分名稱概念，以及他們之間的關系。

2.概念之間有什么相同點與不同點？

3.半圓的周長和面積之間有什么相同和不同點？

（三）拓展

1.關于圖形與幾何，我們以前研究過什么？

2.關于圖形與幾何方面，猜想以后可能會研究什么？

3.研究它有什么作用？

本課中，教師通過回顧圓是一個什么樣的圖形為引子，幫助學生再認知圓的一些基本特征，而后采用了表格的形式呈現，借助表格的填寫，幫助學生把雜亂的圓的各個知識點梳理成一個系統網絡，在老師的引導下，農村的學生也能建構自主復習的能力。第三個梳理拓展階段，將所學的知識置于整個體系中，讓學生去感知數學的整個體系經歷從簡單到復雜，從復雜到簡單，完成知識的系統建構。

三、借助名題感悟數學的多元文化

我國數學文化源遠流長，一些古代的數學趣題和名題的素材可以用來拓展，比如，《雞兔同籠》在不同的年級有不同的方法，假設法、方程法等都是擴展學生思維廣度的有效途徑。例如，一個從“你知道嗎？埃及分數”拓展出來的裂項問題，埃及人只有分子為1的分數單位，其他分數都以若干個分數單位的累加來表示。此時，古代數學名題“借馬分馬”正恰如其分地與這個思路吻合。

四、引入器具滲透數學的多元思想

拓展的內容千千萬，各種素材的目的都是要將學生學習數學的興趣推進，比如，益智類的課程七巧板、四巧板、九連環、魔方等諸多的益智器具的摸索都是激發學生探求奧秘的過程。將數學益智器具及數學閱讀教材作為拓展的一個方面，主要是借助探秘的過程，幫助孩子訓練思維的廣度、靈活性、深度、批判性等品質。具體來說，益智器具所體現的思想意義主要有：七巧板、四巧板———分解組合思維的廣度；九連環———有序思考、互逆推理思維的有序性；魔方———空間觀念、幾何直觀思維的靈活性；24點———運算能力思維的敏捷性；華容道———數學文化思維的敏捷性；數學閱讀———邏輯能力思維的批判性。

五、概念互通發展思維的批判靈動

很多時候，孩子的思維不夠靈活，是因為概念的建立不夠牢固，教師要善于在初識概念時改造學生的原有的經驗，準確把握核心概念教學，讓學生建立更靈動的認知系統。比如，北師大教材中底和高的認識都在一節課完成，不利于各種圖形高的意義建構，因此我們經過研究將其分成了兩個拓展課，其一是三角形的底和高，其二是四邊形的底和高。

案例：梯形的高

提問1：如圖1，指一指凳子的高，并說一說從哪里到哪里的距離。

提問2：如果把凳子放在斜坡上，指一指這時凳子的高。

提問3：如果把梯形進行旋轉，仔細觀察，高有沒有發生變化？

在案例中，教師利用凳子的高進行經驗改造，多感官促動學生梯形高的概念的建立。課程標準中對空間觀念的描述關鍵之一是能想象物體的方位和相互之間的位置關系，學生能在圖形的運動和變化中能找到不變的關系便是極好的空間觀念。

發展學生空間觀念，還有很重要的一條途徑是讓學生在變化中發現圖形之間不變的特點或相互之間的聯系，即化靜為動，幫助核心概念理解。

在認識完三角形、梯形、平行四邊形的底和高時，不同圖形的高有不同的說法，如果讓孩子們死記概念，顯然是會成為負擔，如果利用幾何畫板將三者的高的概念打通，可以達到事半功倍的效果。

找一找上述圖形的高，有什么相同點與不同點？

學生通過對比發現，三角形的高是頂點到底邊的垂直距離，四邊形的高是平行線之間的距離，而平行線是由無數個點組成的，因而有無數條高。

拓展課的價值是在原有課程的基礎上增加一些新的內涵。通過創設問題情境，提供多元活動素材與活動空間，讓學生在體驗中獲得知識、見解，讓知識建構得到互通與發展，在激發學生學習數學積極情感的同時提高了數學核心素養。