剛度-質量-阻尼綜合優化的船舶減振統一阻抗模型法

楊德慶 楊康 王博涵

摘要：提出了船舶減振統一阻抗模型法，以結構阻抗值衡量減振能力，探討同步進行剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置的結構動力學布局優化設計。分別建立了基于結構原點阻抗、傳遞阻抗和阻抗級落差描述的三種動力學布局優化模型。以某軍艦基座減振設計為例，驗證所提出的統一阻抗模型法。算例中以基座各構件的厚度和大質量阻振方鋼截面尺寸為尺寸設計變量，方鋼和阻尼材料的布局為拓撲設計變量，利用模型映射變換方法，將該離散優化模型連續化。利用近似代理模型方法，求解該多頻段動力學優化問題，驗證剛度-阻振質量-阻尼材料同步優化設計的優越性。

關鍵詞：船舶振動;動力學優化設計;減振;高傳遞損失;阻抗

中圖分類號：U661.44;T8535文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0485-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.006

引言

船舶減振設計主要是從修改船體結構的剛度、質量和阻尼特性等動力學參數人手的。通過修改船體及其構件的尺寸、形狀及拓撲等參數，可以達到直接修改結構剛度x并間接修改質量M的效果。通過添加隔振器，可以構成減振系統，直接設計系統剛度x而不改變結構質量。在振動傳遞路徑上附加額外質量M'，可以改變船舶結構總質量M，達到吸振及阻振效果，如附加動力吸振器或阻振大質量方鋼。在船體結構上貼敷一定厚度阻尼材料，可以改變船體整體或局部結構的阻尼系數C，達到降低結構共振峰值的效果。現有的動力學優化設計研究，大多是改變上述一種或兩種動力學參數，同步設計結構剛度K、質量M和阻尼C的動力學優化研究較少見。這主要是由于三參數同步優化問題難度較大，各參數間存在耦合，結構動力學分析模型與優化設計模型之間存在協調困難，阻尼材料拓撲分布變化后導致動力學分析模型的阻尼系數變化，必須同步更新動力學分析模型，涉及阻振大質量拓撲優化時設計變量定義方式等難題。三參數同步優化設計問題，是船舶減振降噪設計領域至今沒有解決的理論及工程應用難題。

阻抗|Z |=|-ω²M+jωC+K|是對結構剛度x、質量M和阻尼C等三個參數的綜合體現，是結構減振能力的量化表達。理論分析、數值仿真及試驗研究已經驗證了基于阻抗值衡量結構減振性能和設計結構動力學特性的有效性。文獻[9-10]依據阻抗特性，對柔性隔振系統的振動傳遞特性進行了研究。文獻結合理論與試驗研究證明，基座阻抗值幅值越大，對動力設備傳遞給船體的振動能量的阻礙作用越大，隔振效果越好。因此，本文以結構阻抗Z衡量對剛度x、質量M和阻尼C的綜合設計下的減振能力。在此基礎上，探討阻振大質量方鋼和阻尼材料的簡化建模方法，建立了可考慮結構的剛度、阻振質量以及阻尼材料配置變化情況的動力學分析統一模型。提出了統一阻抗模型優化方法，建立了剛度-阻振質量-阻尼材料同步優化的船舶減振結構動力學優化模型，包括基于結構原點阻抗、傳遞阻抗和阻抗級落差描述的不同形式的動力學布局優化模型。利用模型映射變換方法，將該離散優化問題連續化，解決動力學分析統一模型和優化設計模型之間協調難題，并利用近似代理模型方法求解優化問題。

通過某實船基座的減振優化設計驗證所提出方法。算例中考慮基座面板、腹板和肘板的厚度為尺寸設計變量，考慮大質量阻振方鋼的尺寸及其拓撲布置，考慮阻尼材料尺寸及其在基座上拓撲分布，作為尺寸及拓撲設計變量，實現剛度、質量及阻尼特性同步優化設計，獲得高傳遞損失基座。

1 結構減振性能的阻抗描述

1.亞阻抗級

1.2 基于阻抗的減振效果描述

減振效果的主要評價指標包括傳遞率、插入損失和振級落差等。通過阻抗來評價，能更好反映結構減振的內部機理。

假設結構受迫振動時激勵源處加速度幅值記為a₀，傳遞到其他部位的響應幅值記為a_n，則振動傳遞率T_a為

2 考慮剛度、阻振質量和阻尼材料布局的結構動力學分析統一模型

在艦船減振設計中，優化設計動力設備基座的結構尺寸，在基座周圍優化布置大質量阻振方鋼，在基座面板或腹板上貼敷阻尼材料是較常見方法。其目的是通過改變基座及其周圍結構的動力學特性，達到減振的效果。這類問題是典型的結構動力學優化設計，要求優化過程中同時設計結構的剛度、在未知部位配置若干個不同質量的阻振質量、在多個有效部位貼敷一定厚度的阻尼材料。因此，需要建立可以表征上述設計參數的動力學分析統一模型，實現結構動力學分析模型與優化設計模型之間的協調。能同時反映結構剛度K、質量M和阻尼C變化的動力學分析統一模型方面的研究成果目前非常少見，是首先要解決的難題，也是動力學優化設計的前提。

本文解決該難題的方法是，將反映剛度K、質量M和阻尼C變化的結構參數，選擇為在動力學分析模型中可參數化表達的幾何尺寸（厚度、截面積、長度、寬度等）和材料特性（彈性模量、密度、阻尼系數等）。

對于結構的剛度變化，通過動力學分析有限元模型中單元尺寸或彈性模量等參數進行參數化表達。

對于阻振質量（一般是阻振大質量方鋼），在動力學分析有限元模型中若通過塊體單元離散后，較難描述其拓撲位置的變化及截面尺寸變化，因此本文探索阻振質量拓撲及尺寸的新的參數化表達方法。經研究并基于算例驗證，本文對阻振大質量方鋼采用板單元而不是塊體單元模擬，從而實現方鋼尺寸和拓撲的同步參數化描述。計算結果表明其對隔振效果的計算精度是可接受的。優化完成后，在對優化設計結果的有限元驗證中，仍舊將大質量方鋼通過塊體單元離散，以保證計算分析得到最終精確動力學分析結果。

對于阻尼材料的簡化建模，本文提出兩類方法。一是采用層合板材料單元的模擬方法，二是忽略阻尼材料的剛度，通過改變所貼敷基體板材的材料密度及材料阻尼系數，來模擬阻尼材料質量及阻尼效應的方法。阻尼材料布局優化設計時涉及阻尼材料拓撲分布位置，以及在該位置處阻尼材料厚度尺寸變化，施加后會導致局部結構阻尼特性的變化，且有可能與頻率相關，在動力學分析模型中較難同時參數化描述這兩個特征，上述新的參數化表達方法可以解決這個難題。應用上述方法模擬阻尼材料后，采用材料密度作為拓撲設計變量來模擬阻尼材料拓撲分布，并與所貼敷基體板材的材料阻尼系數關聯，后續優化設計中可以很方便地實現阻尼材料拓撲分布變化描述。若阻尼材料貼敷在板單元上，則阻尼材料密度為原始阻尼材料密度，基體板材的材料阻尼系數為自由阻尼層合板的等效阻尼系數;若阻尼材料不貼敷在板單元上，則阻尼材料密度為0，基體板材的材料阻尼系數為自身的材料阻尼系數。

一般情況下，阻尼材料厚度與貼敷的鋼板厚度成1-2的比例關系時，阻尼效果最佳。關于阻尼材料厚度設計，本研究中基于上述比例關系進行變量連接處理，若貼敷的鋼板厚度為設計變量，則阻尼材料厚度取1.5倍該鋼板厚度設計變量值;若所貼敷的鋼板厚度不是設計變量，則當該鋼板貼敷阻尼材料時，阻尼材料厚度取1.5倍鋼板原始厚度。

應用上述大質量阻振方鋼建模方法、阻尼材料建模方法以及結構尺寸描述剛度變化的建模方法等所建立的包含阻振質量配置和阻尼材料拓撲分布的船體結構動力學有限元分析模型定義為結構動力學分析統一模型。

3 船舶結構剛度-阻振質量-阻尼材料綜合優化設計的統一阻抗模型法

阻抗值Z可以綜合衡量并量化對剛度K、質量M和阻尼C設計下的結構減振能力，因此將其作為優化設計中目標函數或約束條件，可以獲得直觀的減振設計效果。本文結合上面建立的考慮剛度、阻振質量和阻尼材料變化的結構動力學分析統一模型，基于結構原點阻抗、傳遞阻抗和阻抗級落差描述，提出如下剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置的統一阻抗優化模型法的三種形式。

3.1 基于原點阻抗描述的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置的統一阻抗優化模型

以結構重量最小化為目標，基于結構原點阻抗約束的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置優化設計的統一阻抗優化模型數學列式如下

3.2 基于傳遞阻抗描述的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置的統一阻抗優化模型

以結構重量最小化為目標，考慮傳遞阻抗約束條件的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置優化的統一阻抗優化模型數學列式如下

式中 ILa_tr表示結構的傳遞阻抗級，其他變量含義同式（10）。

其中傳遞阻抗級的評價點為圖1所示基座下方的12個點（左右對稱）所在位置。進行優化的傳遞阻抗級為該12個評價點的平均阻抗級。

3.3 基于阻抗級落差描述的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置的統一阻抗優化模型

結構重量最小化為目標，考慮阻抗級落差及傳遞阻抗約束的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置優化的統一阻抗優化模型數學列式如下

式中JDL，IDL₀分別是結構阻抗級落差和阻抗級落差設計值，其他變量含義同式（11）。

3.4 剛度-阻振質量-阻尼材料綜合優化模型與結構動力學統一分析模型間的映射變換

優化列式（10）-（12）中的剛度設計變量對應于結構的尺寸參數，如板厚或梁截面尺寸，屬于連續設計變量。阻振質量設計變量對應模擬大質量方鋼的板單元厚度，包含拓撲及尺寸優化兩層含義，板厚度為零代表不設置方鋼，厚度不為零則設置一定截面尺寸的方鋼。阻尼材料拓撲配置和尺寸設計變量對應兩個參數，一個是阻尼材料的厚度設計變量，它與基體板材厚度關聯，是連續設計變量;另一個是阻尼材料密度拓撲變量p，它只能取0或阻尼材料固有密度p0兩個離散值，表征阻尼材料有無，是離散設計變量。因此，數學規劃列式（10）一（12）是連續與離散設計變量混合優化問題，采用基于導數的常規優化算法無法求解該問題。

為解決這個難題，采用文獻方法，對優化列式（10）-（12）進行連續化映射變換，將其轉換為連續變量優化設計問題。具體方法是：首先歸一化材料拓撲分布密度變量P，并使P在區間[0，1]上連續取值。其次，用映射函數f（P）替代變量P，得到變換后的連續優化模型。再次，采用常規基于導數的優化方法或智能優化算法（遺傳算法、蟻群算法或神經網絡算法等）求解上述連續化映射變換后的優化問題（10）-（12），得到最優解。最后，將最優解再經過逆映射變換。f^-1（p），將之前連續化的設計變量還原為離散拓撲值，形成原0或1形式的優化設計值，返回結構動力學分析統一模型進行驗算。

給出兩種較好的可選映射函數如下。

門檻值為0.5的Sigmoid映射函數f₁（h），函數曲線如圖2所示，表達式為

取u=0.005，在區間[0，0.5]，映射函數f₁（h）逼近于0;在區間[0.5，1]，映射函數f₁（h）逼近于1.

該函數每段仍為冪函數，函數曲線如圖3所示。在區間[0，0.5]，映射函數f₂（h）逼近于0;在區間[0.5，1]，映射函數f₂（h）逼近于1.

經過上述映射變換，優化過程中不同設計結果都可方便地導人結構動力學分析統一模型，實現結構動力學分析模型與優化設計模型之間的光滑銜接。

4 代理優化模型及求解

映射變換后的優化問題（10）-（12）可采用代理模型方法進行變換求解，其優點是可以避開對于船舶這類超大型結構動力學優化設計中涉及耗時的動力學分析，避免迭代中過早陷入局部最優解問題。

具體方法是：首先選取樣本點，通過結構動力學統一分析模型建立快速動力學響應分析代理模型;之后，基于該代理動力學響應分析模型，進一步求解映射變換后的優化模型（10）-（12）。本文采用最優拉丁超立方設計方法選取樣本點，相比于隨機拉丁超立方設計，該方法樣本點分布更加均勻，使得因子和響應的擬合更加真實精確。通過最優拉丁超取樣方法在設計區域內隨機選取樣本點，為進一步檢驗代理模型的精度，通過最優拉丁超立方設計方法隨機選取若干樣本點作為檢驗代理模型精度的誤差分析測試集。

本文采用三種近似建模方法建立代理模型來獲取精確有效的近似動力學分析模型，它們分別是響應面（RSM）模型、克里金（Kriging）模型和神經網絡（RBF）模型。針對模型（10）-（12），結構動力學響應分析代理模型主要是阻抗值計算的代理分析模型。Isight優化平臺中包含上述代理模型技術。

5 剛度-阻振質量-阻尼材料綜合優化設計算例

以某船用基座指定頻段內動力學布局優化設計為例進行研究，優化設計變量包括基座面板、腹板和肘板的厚度、多個阻振大質量方鋼截面尺寸及拓撲布置、阻尼材料拓撲分布及其厚度等，目標是實現剛度、質量及阻尼材料布局同步優化設計，獲得具有高傳遞損失的減振基座。

5.1 基座動力學分析模型及統一阻抗優化模型

船舶某艙段中基座結構的有限元模型如圖4所示?；鶐缀纬叽纾夯姘彘L度2000mm，寬度150mm，厚度12mm;基座腹板長度2000mm，高度250mm，厚度8mm;基座肘板上邊長150mm，肘板下邊長300mm，厚度8mm;方鋼初始截面設計尺寸為100mm×20mm，阻振方鋼有三種布置方式，分別布置在腹板中部橫向、腹板底部以及基座周圍進行布置，如圖5所示。阻尼材料采用橡膠，彈性模量為4.768MPa，泊松比為0.49，密度為1100kg/m³，損耗因子為0.5，復合后阻尼系數為0.2，如圖6所示?；c方鋼采用相同的鋼材，材料密度為7850kg/m³，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3.該艙段模型四周采用固支約束。

算例中，取基準阻抗Z_ref=0.1N/（m/s^-2）。通過1/3倍頻程頻響分析得到原始設計下基座原點阻抗級、傳遞阻抗以及阻抗級落差。對應優化模型（10）-（12），選取基座優化后原點阻抗級和傳遞阻抗級比原始設計提高6dB，阻抗級落差為6dB。對應的優化模型具體列式如下式所示。

40-2000Hz頻段內原點阻抗級達到指定指標為約束條件，基座動力學優化模型的數學列式如下

式中 t₁，t₂，t₃分別表示基座面板、腹板和肘板的厚度設計變量;d₁，d₂，d₃分別表示布置于基座周圍、腹板底部和腹板中部橫向的方鋼厚度尺寸設計變量;Z₁，Z₂，z₃分別表示基座的面板、腹板和肘板處阻尼材料拓撲分布設計變量;mass為結構總重量;ILa_or為40-2000Hz基座的原點阻抗級;ILa₀為基座原點阻抗級的優化目標值;σ_k表示基座有限元模型中單元應力，ε取10^-3。

40-2000Hz頻段內傳遞阻抗級及阻抗級落差達到指定指標為約束條件下基座動力學優化模型的數學列式

5.2 優化結果及討論

基于Isight軟件平臺，采用代理模型方法求解優化問題。采用最優拉丁超立方法選取樣本點，在設計區域內隨機選取175個樣本點，為進一步檢驗代理模型的精度，通過最優拉丁超立方設計方法隨機選取80個樣本點作為檢驗代理模型精度的誤差分析測試集。采用3種近似建模方法建立代理模型來獲取有效的近似模型，分別是響應面（RSM）模型、Kriging模型和神經網絡（RBF）模型。

通過1/3倍頻程頻響分析得到基座原始設計的原點阻抗級為97.21dB，本算例假定阻抗級優化目標為102dB，在Isight優化平臺中選用NLPOL（序列二次規劃）優化算法分析求解模型（15），得到3種近似代理模型優化結果，如表1所示。

從優化計算結果可以看出，3種代理模型都能達到較好的近似擬合效果，其中Kriging模型和神經網絡RBF模型能更好地反映基座實際情況，擬合效果也更好。同時，Kriging代理模型和RBF代理模型的最優解也十分接近。

通過1/3倍頻程頻響分析得到基座原始設計的傳遞阻抗級為110.74dB，本算例假定傳遞阻抗級優化目標為116dB，阻抗級落差為6dB。在Isight優化平臺中選用NLPQL優化算法分析求解模型（17），得到三種近似代理模型優化結果如表2所示。

從優化結果可以看出，Kriging模型擬合的結果最好。Kriging方法是一種估計方差最小的無偏估計模型。相關函數的連續性和可導性比較好，在解決非線性程度較高的問題時往往可以取得比較理想的擬合效果。而響應面方法利用多項式函數擬合設計空間，不能保證響應面通過所有的樣本點，存在一定誤差，對于高度復雜的函數關系的逼近效果較差。神經網絡RBF模型以待測點與樣本點之間的歐幾里得距離為自變量，在樣本點足夠多的情況下神經網絡RBF模型擬合的結果也好。但隨著樣本點增多，計算量也隨之增大。在現有的樣本點數的前提下，Kriging模型擬合的結果更好。兩個優化設計模型下優化結果如表3所示。

對比可知，基于傳遞阻抗約束的剛度、阻振質量和阻尼材料配置綜合優化設計是減振最有效的，同時基座最終總質量也是最小的。從振動角度看，基于阻抗級落差描述的統一阻抗優化模型既保證阻抗的幅值增加，也強調阻抗失配，拉大振級差距，因此更為合理。而僅考慮原點阻抗級的配置優化是不全面的。

本文計算效率主要取決于對代理模型所需采樣點的動力學計算，耗時較多，無法避免，具體代理優化模型的優化效率很高，普通配置的16G內存計算機基本上半小時內就能完成。

6 結論

本文研究了剛度、阻振質量與阻尼材料同步優化設計方法，建立了有效的動力學分析統一模型以及結構剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置動力學優化模型。研究表明：

（1）利用阻抗級可以量化而準確地描述結構減振能力，這給建立綜合動力學優化設計帶來方便。

（2）本文建立的考慮結構的剛度、阻振質量以及阻尼材料配置變化情況的動力學分析統一模型合理有效，計算量小。利用模型映射變換方法，較好解決了動力學分析模型和優化設計模型之間的協調難題。

（3）基于阻抗級落差描述的剛度-阻振質量-阻尼材料綜合配置的統一阻抗優化模型模型可獲得最佳的高傳遞損失結構動力學設計，解決當前動力學優化設計研究中的棘手難題。本文方法有重要工程應用價值。