一種VSSFxLMS算法及其在多自由度微振動控制中的應用

方昱斌 朱曉錦 胡佳明 高志遠 苗中華

摘要：FxLMS算法常用于自適應振動控制研究領域，其固定步長導致不能同時獲得快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)誤差。針對多自由度壓電結構振動主動控制，提出一種改進VSSFxLMS振動控制算法，通過利用反余切函數(shù)的特性優(yōu)化算法步長的迭代規(guī)律，有效提升算法對于噪聲干擾的魯棒性，并給出該算法的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能分析。以壓電結構微振動多通道控制為目標，在ADAMS軟件中建立結構微振動主動控制仿真模型，通過與SIMULINK聯(lián)合仿真觀察振動控制算法實施效果。構建了基于壓電堆作動器的多自由度主動隔振結構，以及相關測控單元與實驗系統(tǒng)，進行了結構微振動主動控制實驗與結果分析，驗證了所提出振動控制算法的良好控制效果和魯棒性。

關鍵詞：微振動主動控制;變步長（VSS）;LMS算法;多輸入多輸出（MIMO）;壓電結構

中圖分類號：TB535;TH113.1文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0467-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.004

引言

近些年，航天事業(yè)及精密制造技術得到迅速發(fā)展，涉及到一些精密設備的微振動控制問題，引起了廣泛關注。例如衛(wèi)星搭載的觀測相機、精密制造中的投射電鏡和掃描電鏡、納米研發(fā)裝置等，其工作環(huán)境容許的振動速度低于10um/s，要想抑制這樣水平的微振動，通常的被動隔振手段難以實現(xiàn)。基于壓電機敏器件的特性，配合先進的結構振動主動控制方法與快速提升的計算力，使得精密裝置的結構微振動主動控制成為可能。

針對結構微振動主動控制問題，各研究團隊設計出多種微振動模擬平臺或者是微振動隔振平臺，用于實驗室中微振動環(huán)境的模擬及微振動主動控制系統(tǒng)的設計驗證。多數(shù)微振動隔振試驗臺都采用了Stewart結構，能夠實現(xiàn)多個自由度上的微振動抑制，但是該結構的6個作動器之間具有較強的耦合，運動解耦比較復雜，導致控制系統(tǒng)的設計實施變得相對困難。

為了模擬多自由度微振動實驗環(huán)境，并驗證主動振動控制算法的性能，本文設計了一臺3自由度壓電微振動主動控制實驗隔振結構，并構建了相應測控單元及完成軟硬件開發(fā)，可以實現(xiàn)結構微振動多自由度主動控制算法的實施與驗證。同時，針對實驗隔振結構的機械設計環(huán)節(jié)，將多個作動器之間的耦合隔離，有利于復雜控制算法的設計實施和效果驗證。

對于結構微振動主動控制方法，現(xiàn)有研究已經涉及了極點配置、最優(yōu)控制、魯棒控制和自適應控制等諸多控制理論方法，各種方法的具體應用也各有其特點和局限。考慮到一些復雜設備與裝置可能存在的結構非線性與時變環(huán)節(jié)，自適應振動控制方法具有較好的技術特點與優(yōu)勢，尤其在自適應噪聲與結構振動主動控制領域，基于自適應濾波算法的相關控制方法研究更為廣泛。當前，自適應濾波振動主動控制算法主要包括濾波-X最小均方算法（Filtered-X Least Mean Square，F(xiàn)xLMS），濾波X遞推最小二乘算法（Fihered-X Recursive LeastSquares，RLS）、快速橫向濾波算法（Fast Transver-sal Filtcr，F(xiàn)TF）等。FxLMS算法因其算法簡單、收斂速度快等優(yōu)點被普遍使用。但是FxLMS算法在參數(shù)自適應調節(jié)時所采用的傳統(tǒng)固定步長最小均方（LMS）算法，很難同時保證收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度，因此學者們提出了變步長最小均方（VariablcStep Size LMS，VSSLMS）改進算法，其主要思想是在算法的收斂初期采用較大步長以提高收斂速度，而在穩(wěn)態(tài)附近時采用較小步長以減小穩(wěn)態(tài)誤差。

事實上，從第一個VSSLMS算法被提出至今，已經有數(shù)十種VSSLMS算法問世，并且仍在持續(xù)研究中。對現(xiàn)有VSSLMS算法的步長因子更新機理加以分析，VSSLMS算法可以分為三類。

第一類是基于歸一化形式的VSSLMS算法，通過對步長除以輸入信號的二范數(shù)，以增加算法對于輸入信號幅值變化的魯棒性。但是這樣的處理會影響到算法的收斂速度及其實時性，不適于應用在嚴實時性及要求快速收斂的系統(tǒng)中。第二類是由覃景繁等提出的一種基于Sigmoid函數(shù)的VSS-LMS算法，其根據(jù)Sigmoid函數(shù)的曲線特性來調節(jié)步長因子的變化;在這種算法的機理上，后續(xù)又有學者提出了基于箕舌線的VSSLMS算法、基于正弦函數(shù)的VSSLMS算法、基于反正切的VSSLMS算法等;這類算法整體來說對于函數(shù)曲線的依賴比較嚴重，使其對于具體應用系統(tǒng)的調節(jié)不夠靈活。第三類是以Kwong等為代表所提出的算法，該類算法以瞬時誤差控制步長因子的更新，并通過遺忘因子來減弱之前時刻誤差的權重值;由于誤差信號采集過程中會引入不同程度的噪聲，步長因子迭代必然會受到影響，這使得算法的穩(wěn)態(tài)精度不易得到保證。

對于文獻提出的VSSLMS算法，其依據(jù)系統(tǒng)瞬時誤差的平方值迭代更新算法收斂步長，相比于傳統(tǒng)LMS算法，對躍變的跟蹤能力得到提升，但是其抗干擾能力仍欠佳。文獻對此做了相關改進，利用系統(tǒng)誤差與其前一采樣的系統(tǒng)誤差的自相關估計來更新收斂步長，提升了算法對于噪聲干擾的魯棒性。文獻對文獻中的算法做了簡化改進，在保持算法性能的同時減少了迭代計算量，增加了算法在實時系統(tǒng)中的應用優(yōu)勢。

此外，大部分VSSLMS算法都是基于系統(tǒng)辨識和主動噪聲控制應用設計提出的，與其在結構振動主動控制研究中的應用有所差異。對于結構振動主動控制應用，在收斂過程中系統(tǒng)可能會受到外界瞬時強烈的寬頻噪聲干擾，使得VSSLMS算法產生較大步長，控制器輸出過大的作動信號，反而會引起穩(wěn)態(tài)附近的大幅振動，對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成不利。因此，若要將VSSLMS算法應用在結構振動主動控制中，對于噪聲干擾的魯棒性需要認真考慮。

針對結構微振動主動控制應用的特點，本文提出一種VSSLMS算法，該算法利用反余切函數(shù)的特性，針對文獻[18]中提出的算法進行了改進，建立了瞬時誤差與步長因子之間的非線性函數(shù)關系，使得算法在收斂速度與精度之間達到平衡，并且對于噪聲具有較好的魯棒性;在此基礎上，在ADAMS中建立基于壓電堆作動的3自由度微振動主動控制仿真模型，通過SIMULINK與ADAMS的聯(lián)合仿真，驗證了所提出算法在濾波-X前饋結構中的收斂性;最后，構建基于多自由度壓電隔振結構的微振動主動控制實驗平臺，通過不同條件下結構微振動多通道控制實驗，對比驗證了改進變步長濾波-X最小均方（Variable Step Size Filtered-x Least MeanSquare，VSSFxLMS）算法在結構微振動主動控制中的有效性和魯棒性。

1VSSLMS算法的提出

在本節(jié)中，將文獻[18-20]中的VSSLMS算法的步長更新公式做簡要介紹，并對其每次步長迭代中所需要調節(jié)的參數(shù)個數(shù)以及計算量做了對比，如表1所示。為了方便表示，下文中將文獻中的VSSLMS算法分別表示為VSSLMS-A，VSS-LMS-B和VSSLMS-C，將改進算法命名為VSS-LMS-New。

VSSLMS-A的步長直接依據(jù)瞬時誤差更新，在結構振動控制系統(tǒng)中瞬時誤差值是在不斷振蕩變化的。同時，還會有噪聲干擾引起的結構振動，這會使得算法步長變化對于系統(tǒng)噪聲干擾比較敏感，從而會引起控制器的輸出波動甚至大幅波動，穩(wěn)態(tài)中的系統(tǒng)會因此增加穩(wěn)態(tài)誤差甚至跳出穩(wěn)態(tài)直至發(fā)散。VSSLMS-A算法中共有2個調節(jié)參數(shù)ξ和η，其中0<ξ<1，η>0;參數(shù)ξ是遺忘因子，決定過去時刻步長在迭代中的權值，參數(shù)η控制算法的調節(jié)速度及穩(wěn)態(tài)誤差。

VSSLMS-B中的步長通過系統(tǒng)誤差e（n）及其前一采樣時刻系統(tǒng)誤差e（n-1）的自相關系數(shù)估計值計算得到。引入誤差的自相關系數(shù)，可以減弱噪聲干擾對于系統(tǒng)收斂步長的影響，從而增加算法對噪聲干擾的魯棒性。VSSLMS-B有3個調節(jié)參數(shù)ξ，η和λ。ξ和η的取值范圍和作用與VSSLMS-A相同，參數(shù)λ（0<λ<1）是平均時間常量的遺忘因子，決定過去時刻的采樣信息對當前估計值的影響權重。雖然該算法一定程度上提升了VSSLMS-A對于噪聲干擾的魯棒性，但是增加了一個調節(jié)參數(shù)，每次迭代中增加了3次乘法運算和1次加法運算，這對于實時系統(tǒng)尤其是多輸入多輸出實時系統(tǒng)來說可能會影響其實時性。

VSSLMS-C對VSSLMS-B做了簡化，略去加權因子入，僅需要2個調節(jié)參數(shù)，且步長更新的每次迭代僅需要4次乘法運算和1次加法運算，增加了該算法在實時控制應用中的優(yōu)勢。文獻[20]通過仿真表明了VSSLMS-C與VSSLMS-B在傅里葉分析中具有幾乎相同的收斂性能，但該算法并未在結構振動主動控制研究中進行過驗證。

VSSLMS-A中步長迭代更新量為，ηe²（n），因為參數(shù)η是個固定值，則除去遺忘因子的衰減作用之外，步長增量主要受誤差e（n）影響。當e（n）在0附近振蕩時，下一步迭代的步長增量就會很小，這在算法收斂初期很影響收斂速度。在算法收斂至穩(wěn)態(tài)時，e（n）受到噪聲或者擾動的影響導致瞬時值變大，則引起步長瞬間增大，會導致系統(tǒng)脫離穩(wěn)態(tài)重新振蕩。

利用反余切函數(shù)的特性，將VSSLMS-A中的迭代更新參數(shù)刀改進為與誤差信號相關的變量η（n）=βarccot（| e（n）|），則可以大幅改善上述情況。在收斂初期，參數(shù)η（n）會削弱誤差信號e（n），振蕩帶來的收斂速度減緩，保證算法快速收斂;在穩(wěn)態(tài)時，參數(shù)η（n）能夠抑制噪聲干擾等導致的誤差瞬時值突變所帶給系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的影響，提升穩(wěn)態(tài)時算法的魯棒性。

針對結構振動主動控制系統(tǒng)，提出一種改進VSSLMS算法，以增強算法對噪聲干擾的魯棒性。VSSLMS-New的步長更新公式如下式所示：

相比于VSSLMS-A，VSSLMS-New中的參數(shù)η（n）是一個基于反余切函數(shù)性質的時變參數(shù)，暫叫做步長抑制因子。步長抑制因子η（n）利用反余切函數(shù)的性質，可以在誤差信號突變時抑制步長的突變，提高算法對于噪聲的魯棒性。

在VSSLMS-New中，步長迭代包含有2個調節(jié)參數(shù)ξ和β。其中，ξ與VSSLMS-A中作用相同，取值范圍0<ξ<1;β（β>0）為縮放因子，根據(jù)實際系統(tǒng)中誤差信號數(shù)值的數(shù)量級進行配置。在步長的每次更新迭代中，VSSLMS-New需要4次乘法運算和1次加法運算，與VSSLMS-C相同，比VSS-LMS-B少2次乘法運算和1次加法運算。與VSS-LMS-A算法相比，所需調節(jié)的參數(shù)個數(shù)相同，每次迭代需要多1次乘法運算。

2 VSSLMS-New算法分析

如圖1所示，在自適應濾波過程中，依據(jù)梯度下降法可得到VSSLMS算法自適應濾波器的權值遞推如下式所示：

式中 w（22）為自適應濾波器權值向量，w_*（n）為最優(yōu)濾波器權值向量，x（n）為輸入信號序列，d（n）為擾動在主通道的響應，y（n）為自適應濾波器的輸出，e（n）為誤差信號，n為離散時間序列，u（n）為時變步長因子，ξ（n）為零期望的測量噪聲信號，符合白噪聲特點。

為了方便分析，假設輸入信號序列x（n）符合高斯分布，期望為0.則輸入信號的自相關矩陣定義為R=E[x（n）x^T（n）]，可以寫成R=QAQ^T，其中A為特征值矩陣。假設最優(yōu)濾波器權值向量w*（n）的階數(shù)與系統(tǒng)真實模型相同，即w*（n）能夠準確表示實際系統(tǒng)。

2.1 平均意義下的動態(tài)分析

根據(jù)VSSLMS-New算法的步長更新公式，將式（3）-（5）代入式（1）可得下式

式中 V（n）=w（n）-w*（n），V（n）表示自適應濾波器權值向量偏差，V（n）=Q^TV（n），x（n）=Q^Tx（n）。

通常，參數(shù)η（n）的值比較小。所以，相比于誤差信號e（n）和輸入序列x（n），步長因子u（n）的變化是很緩慢的。因此，可以認為步長因子u（n）與其自身平方u²（n）、誤差信號e（n），自適應濾波器權值向量w（n）以及輸入序列x（n）都相互獨立，則濾波器權值向量期望收斂的一個充分條件為式中 λ_max（R）是矩陣R的最大特征值。

2.2 均方意義下的動態(tài)分析

誤差信號的均方差（mean square error，MSE）定義如下式所示