數學教師的類化策略研究

摘? ?要? ? 數學教師經常跟具體的題目打交道，對這些具有特殊性的具體問題進行研究，具有重要的實踐價值。若能跳出對問題具體信息等的局限，將具體問題抽象為某類問題，將研究視角從“題”轉向“類”，就會產生更大的價值。類化研究的基礎是采用發散、抽象、分類等策略將“題”變為“類”，關鍵是在研究過程中采用符號化、模型化、概念化等策略研究類問題的共性特征，其結果體現出知識、策略、思維等層面的多重價值。類化，是教師尤其是數學教師應具備的思維特質和研究策略。

關鍵詞? ?類化策略? 解題研究? 教育科研

類化，原本是心理學概念，主要指概括出新問題、新知識與某些原有認知的共同本質特征，將新知納入與原有認知相同的結構中去。廣義的類化指將具有相同結構、相同性質、相同主題、相同信息的對象放到一起進行類特征研究;狹義的類化主要指將具體的數學題目、問題抽象為某類具有相同結構的問題，再進行一般化研究，研究問題的通性，進而尋求問題的通解。教師在教育教學實踐中面對的常常是特定的對象、特殊的情境和具體的教學事件，數學教師經常跟具體的題目打交道，數學教學也可以說就是數學解題的教學。對具有特殊性的具體問題進行研究，具有重要的實踐價值，但若能將具體的問題抽象為某類問題，將研究視角從“題”轉向“類”，就會產生更大的研究價值。

一、解題研究的現狀：類化不足

1.缺乏類化研究的意識和視角

數學教師習慣解具體的題目，解完題后想到的常常是“對不對”“還有沒有其他解法”，而不會想“這道題有哪些變式”“是否可以抽象成某類型的問題”。如部分教師按照“借1法”解完“老漢分牛”問題后，想到的是“結果對不對”“用按比例分配的方法可不可以解”等，有些教師甚至想到用極限的方法證明采用“借1法”所得結果的合理性。

2.缺乏類化過程性經驗和能力

數學教師缺乏從數字、情境等非常具體的題目抽象出不同層級問題的經驗和能力。如把三個內角分別為20°、40°、120°，20°、60°、100°的兩個三角形分別分解成兩個等腰三角形后，或算出1/6+1/3=1/2后，雖然想進行類化研究，但不知從何入手。

3.缺乏高度抽象的能力

數學教師能將表層信息接近的同類具體題目進行類化，但對深層結構相同的問題難以類化。換言之，所研所得的類問題仍然相對具體，無法完成更抽象的類研究。如掌握了長方形、梯形、三角形等三種圖形的面積計算公式，但無法將這三類公式抽象成（a+b）*h/2，或即使抽象出了這一公式但仍然難以靈活應用。這種情況往往與數學教師缺乏極限思想、表征變式能力不強、本質理解不深刻有關。

4.缺乏概念化思維和能力

數學教師感悟到某種類規律，但囿于沒有現成的概念、定理而無法清晰地呈現出類問題，更無法借助概念進行深度的類化研究。如感悟到10個點、15個點、21個點的正三角形點陣中的規律，但無法借助正三角形點陣、正立型、傾斜型等概念完成研究。

5.缺乏分解抽象問題的能力

數學教師從具體問題抽象出某個類問題后，無法深入研究，更不知如何分步、分層切入。如根據1/6+1/3=1/2抽象出1/m+1/n=1/z（其中m，n，z為正整數）后，不知從哪個角研究規律;即使想到了從z切入，也不知從z的哪種特征展開。數學教師缺乏將抽象問題研究變得可行的能力。

二、類化研究的基礎：變題為類

基于類化思想對某個具體問題的研究起于“題”，終于“類”，要始終帶著“類”意識，關注具體的問題信息和特定問題的解決，最終目標是透過對具體“題”的分析，尋找通向“類”的可能，追求一類問題的解決。在研究具體問題時，數學教師可采用以下策略。

1.發散策略

發散，即改變題目中具體的數據信息、對象信息、情境信息，再進行類似的思考。如“老漢分牛”問題（老頭把17頭牛分給三個兒子，老大分得1/2，老二分得1/3，老三分得1/9）的經典解法是“借1法”。這是一個非常具體的問題，采用發散策略可以使關注點從“題”轉向“類”，提升研究價值。具體發散思考如下：（1）如果分18頭牛，還可以用“借1法”嗎？如果分19頭牛呢？15頭牛呢？牛的頭數是哪些數時，才可以用借1法？（2）存在適用“借2法”“借3法”的情況嗎？“借n法”呢？（3）分17頭牛時可以用“借1法”，分17畝稻田能先借1畝再分嗎？分17萬元錢可以先借1萬元再分嗎？分什么可以用“借1法”，分什么不可以用“借1法”？（4）如果1頭牛剛好值1萬元錢，到底該不該用“借1法”呢？進行這樣的發散性思考后，教師發現解決“老漢分牛”問題看似巧妙的“借1法”背后蘊藏著諸多矛盾，而這些矛盾及其有效解決就是深入研究的價值所在。簡言之，“老漢分牛”問題已經不再是基于17頭牛這一特殊信息的問題，而需要基于牛的不同數量對“借1法”的存在性進行討論，基于n的分類對“借n法”的存在性和所有解進行討論，甚至對采用“借1法”解決“老漢分?！眴栴}的合理性進行重新審視。

2.抽象策略

抽象，即將具體的信息變成概括的信息，使其具有類特征，最常見的是將具體的數換成代表某類數量的字母。如習題：“10個點如圖所示（見圖1）那樣放著，把這些點作為三角形的頂點，看看可以畫多少個正三角形？”[1]這道題具有極大的研究價值，教師可以在研究15個點、21個點的基礎上，將其抽象成“n階正三角形點陣中正三角形個數問題”并進行研究。為了方便抽象，定義了如下概念：在一個正三角形三邊及內部均勻分布著n行點，如果這些點滿足：（1）包含三個頂點;（2）三邊上都等距分布著n個點;（3）第n行上均勻分布著n個點，則我們稱這些點為n階正三角形點陣。在將具體的問題變成抽象問題時，定義一些特殊的概念再進行抽象，有時會更便于描述。

3.分類策略

分類，即選擇某種標準，對具體問題進行歸類，然后研究各類對象的特點。如“分等腰三角形問題”：“兩個三角形的內角分別為：（1）20°，40°，120°;（2）20°，60°，100°，怎樣把每個三角形分成兩個等腰三角形？畫出圖形，試試看[2]”假設ΔABC的三個內角從大到小排列為∠A≥∠B≥∠C，提出將ΔABC分成兩個等腰三角形只有兩種情況：（1）從A點引直線交BC于點D，將ΔABC分成ΔABD和ΔACD兩個等腰三角形。（2）從B點引直線交AC于點E，將ΔABC分成ΔABE和ΔBCE兩個等腰三角形。這樣的分類使原本針對兩個特殊度數三角形的具體問題變成了研究“將一個三角形分解成兩個等腰三角形分法存在性和具體分法”的類問題。采用分類策略，將題問題轉換為類問題的關鍵是找到分類的標準，使所分之類具有清晰的特點，且分類結果不交叉、不遺漏。

三、類化研究的關鍵：關注共性

將具體問題轉變為抽象的類問題后，研究的視角將不再是某個具體問題的解決，而是這類問題的共性，因此要采用一定的策略。

1.符號化策略

符號化，即將具體問題變成抽象問題，將具體的數值解變成抽象的字母解，將解決問題的過程變成符號化的程序。如《用單位分數的一個性質解題》一文的研究充分體現了符號化思想：在準備研究時，將1/6+1/3=1/2符號化為1/m+1/n=1/z（其中m，n，z為正整數）;在研究過程中，對m、n、z的具體情況進行討論，并總結出可論證的局部結論;在論述研究結果時，將“單位分數性質P”表述為“若A是質數，則將1/A表示成兩個單位分數的和有且僅有1/A=1/（2A）+1/（2A）和1/A=1/（A+1）+1/[A（A+1）]兩種表示法”[3]。符號化策略是論述每類數學問題和表述某類數學問題通解的必備策略。采用符號化策略，需要對符號的意義、取值范圍以及表述結果適用范圍等進行清晰的界定或說明。

2.模型化策略

模型化策略主要體現在三個方面：一要將問題模型化，即研究的不再是某個具體問題而是代表某類問題的模型;二要將結論模型化，即研究出來的結論要能解決該類問題，甚至可以經遷移后解決其他問題;三要將過程模型化，即研究問題的過程具有一定的程序性、普適性，能夠為解決類似的問題產生遷移價值。如研究“分等腰三角形問題”后可得出如下結論模型：“若一個三角形可分成兩個等腰三角形，其分法有且僅有以下規律：（1）有一個內角為90°，則將該角分成與另兩個內角相等的兩部分;（2）內角分別為x°，2x°，180°-3x°，則將180°-3x2分成x°和180°-4x°;（3）內角分別為x°，3x°，180°-4x°，則將3x°分成x°和2x°?！盵4]研究過程中采用的“分類—細分”策略以及“假設—求證—歸納”策略也具有模型價值。

3.概念化策略

概念化，即為了研究問題的需要或者論述方便，在研究過程中自行界定某些概念。如研究“n階正三角形點陣中正三角形個數問題”不僅要界定“n階正三角形點陣”，而且要對可能畫出的正三角形類型進行概念界定：（1）按放置位置分類，“正立型，指最下面的一邊水平;倒立型，指最上面的一邊水平;傾斜型，除了正立型和倒立型以外的其他正三角形”，同時配以圖示。（2）按邊長分類，“正立型或倒立型正三角形記為i+i+i型正三角形，指每條邊上有i+1個點（即將相鄰兩點間的距離看作1）;傾斜型三角形記為跨i行型正三角形，指該三角形的每條邊都穿過了點陣中的i+1行或列（包括頂點所在行或列）”，同時配以圖示。有了這些概念，再研究“n階正三角形點陣中正三角形個數問題”就顯得方便多了。概念界定，有助于清晰地概括復雜的對象，區分不同研究對象的類型，使陳述研究對象和思路、表述結論更簡潔明了，更便于讀者理解和表達。

四、類化研究的價值：多重取向

類化使研究從點到面，使研究對象變得更抽象，研究過程變得更復雜，研究結果變得更普適，因此類化研究結果常常具有多重價值。

《偷天換日的“借1法”》一文通過嚴密的論證得出結論：設被分的牛為m頭，老大、老二、老三依次分得這些牛的1/a、1/b、1/c，其中m、a、b、c都為正整數，最終符合條件的（m，a，b，c）有且只有7組，即（41，2，3，7）、（23，2，3，8）、（19，2，4，5）、（17，2，3，9）、（11，2，3，12）、（11，2，4，6）、（7，2，4，8）[5]。這篇文章體現了多重價值：一是知識價值。不僅分析了“老漢分牛”問題的合理性和邏輯問題，而且求出了“三個兒子分?！笨捎谩敖?法”的所有可能分法。這有助于讀者擺脫具體數值和慣性思維，全面而深刻地認識“老漢分?！眴栴}，感性地了解合情推理與邏輯推理的異同。二是策略價值。遵循該文的研究思路，讀者完全可以解決如下問題：（1）老漢有2個兒子、4個兒子等情況下，適用“借1法”的所有可能情況。（2）老漢有3個兒子情況下，對某個具體的n（如n為2）而言，“借n法”的存在性以及所有可能情況。為討論方便，本文分別將其稱為思路1和思路2。借助該文中的研究策略，多數有興趣的讀者可以獨立完成思路1和思路2的研究。三是思維價值。該文給予讀者的思維價值至少體現在以下兩個方面：一方面，要批判性思考，對熟視無睹的問題和已有的結論進行深刻的追問并且努力探尋背后的深層原因和學科價值，而不唯書、不唯結論。另一方面，要發散性思考，對具體問題展開發散性研究，逐步拓展研究視域和思維深度。除了思路1和思路2，讀者還可以探討“在老漢仍有三個兒子的前提下，對抽象的n而言，‘借n法的存在性以及所有存在的可能情況”（稱為思路3）和“m個兒子分n頭牛（其中m、n都為正整數）”（稱為思路4）的抽象情況。從具體的“老漢分牛”問題，到抽象的“老漢分牛”問題，再到研究思路1、2、3、4，這種發散、遞進的研究思維，使簡單的“老漢分?！眴栴}的研究逐步延伸到數論領域，其對研究思路的啟發價值遠遠大于解決原問題的價值。

研究一個個具體問題如同觀察森林中一棵棵形態各異的樹，容易被眾多樹木的枝葉遮蔽雙眼。這樣的解題研究容易演變成題海戰術，演變成機械重復的解題操練。解題研究，要既見“題”，也見“類”，以“題”為切入點使“類”研究根植數學教育教學實踐，以“類”為經緯線使“題”研究能以小見大，提升價值。

參考文獻

[1] 華東師范大學出版社.數學（七年級下冊）[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[2] 華東師范大學出版社.數學（七年級下冊）[M].上海：華東師范大學出版社，2001.

[3] 鐘建林.用單位分數的一個性質解題[J].數學通報，2004（03）.

[4] 鐘建林.什么樣的三角形可以分成兩個等腰三角形[J].福建中學數學，2005（05）.

[5] 鐘建林.偷天換日的“借1法”[A].小學數學主流話題、疑難問題透析[C].北京：教育科學出版社，2011.

[作者：鐘建林（1976-），男，湖北紅安人，揚州大學教育科學學院，博士生，福建省教育科學研究所，副編審。]

【責任編輯? 郭振玲】