中立型隨泛函微分方程解的存在唯一性

何曉瑩

（廣西科技大學(xué)理學(xué)院，廣西柳州545006）

0 引言

隨機(jī)泛函微分方程可看成是泛函微分方程和隨機(jī)微分方程的推廣，它不僅取決于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，還與事物的過去狀態(tài)有關(guān)，故被廣泛應(yīng)用于生物、物理、金融、力學(xué)、生態(tài)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及工程等各領(lǐng)域[1-2].中立型隨機(jī)泛函微分方程是隨機(jī)泛函微分方程理論中一類重要的方程.它所描述的動(dòng)力系統(tǒng)不僅依賴于目前的狀態(tài)和過去一段時(shí)間的狀態(tài)，還依賴于過去一段時(shí)間狀態(tài)的變化率，具有廣泛的應(yīng)用.

近年來，非線性期望理論受到廣泛的關(guān)注.2005年，PENG[3-5]創(chuàng)建了G-期望理論體系，是一種非線性期望.在G-期望框架下，引入了相關(guān)的G-正態(tài)分布、G-布朗運(yùn)動(dòng)和G-Ito?積分.隨之很多文章對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了深入研究[6-8].在這個(gè)基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9]研究了G-隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性，但中立型隨機(jī)泛函微分方程還未涉及.

本文在局部非利普希茨條件下研究G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的中立型隨機(jī)泛函微分方程（G-NSFEs）解的存在唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下的G-NSFEs：有：

初始值x0=ξ={ξ(θ):-τ≤θ≤0}∈K，xt={x(t+θ):-τ≤θ≤0}為K值隨機(jī)過程.D∶K →Rd，f∶[0,T]× K → Rd，g∶[0,T]× K → Rd×m和h∶[0,T]× K→ Rd×m是Borel可測(cè)的.

為了證明本文的主要結(jié)果，給出如下假設(shè)：

假設(shè)Ⅰ存在某個(gè)函數(shù)H(t,u):[0,T]×[0,+∞)→[0,+∞)和κ∈(0,1)，使得對(duì)任意t∈[0,T]和x∈K，有：

‖?‖HS表示Hilbert-Schmidt范數(shù)，其中，對(duì)固定的u∈[0,+∞)，函數(shù)H(t,u)關(guān)于t局部可積；對(duì)固定的t∈[0,T]，函數(shù)H(t,u)關(guān)于u連續(xù)且非降；對(duì)任意γ＞0，u0≥0，積分方程在[0,T]內(nèi)有解.

假設(shè)Ⅱ存在某個(gè)函數(shù)G(t,u):[0,T]×[0,+∞)→[0,+∞)，使得對(duì)任意t∈[0,T]和x,y∈K，有：

其中：G(t,0)=0，對(duì)固定u∈[0,+∞)，函數(shù)G(t,u)關(guān)于t局部可積；對(duì)固定t∈[0,T]，函數(shù)G(t,u)關(guān)于u連續(xù)且非降；對(duì)某個(gè)常數(shù)α＞0，如果存在一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)z(t)滿足:

則有z(t)=0.

引理1[7]對(duì)p≥1，T≥0和η∈MpG([0,T];Rd)，有:

且對(duì)p≥2，存在常數(shù)Cp＞0，有：

引理2[10]（Doob鞅不等式） 對(duì)p＞1，{x(t)}t≥0是G-鞅和[a,b]是正實(shí)數(shù)的有界區(qū)間，當(dāng)x∈MGp([0,T];Rd)，存在，有

引理3[11]對(duì)于方程其中u(t0)=u0，u0≥0.若H(t,u)滿足假設(shè)Ⅰ，則對(duì)于任意的γ＞0，方程存在一個(gè)局部解.

2 解的存在唯一性

利用Picard迭代法給出方程（1）解的存在唯一性結(jié)論.設(shè)x0(t)=ξ(0)，對(duì)于n=1,2,…，令xn0=ξ，并定義如下迭代序列：

式中：

定理1設(shè){xn(t)}n≥1是式（2）所定義的隨機(jī)序列過程，D(x),f(t,x),g(t,x),h(t,x)滿足假設(shè)Ⅰ和假設(shè)Ⅱ，則對(duì)于是一致有界的.

證明由假設(shè)Ⅰ，?t∈[0,T]，有：

取u0∈ R+，使得

對(duì)式（3）兩邊取上確界和G-期望，可得：

對(duì)?t∈[0,T]，有：

再由引理1和引理2，式（5）化為：

將式（6）代入式（4），由假設(shè)Ⅰ有：

這里用到了t≥0和假設(shè)Ⅰ中H(t,u(t))關(guān)于u(t)是單調(diào)非降的.

對(duì)式（9）兩邊取上確界和G-期望，有：

由引理1和引理2，可知：

由于函數(shù)u(t)在[0,T]上連續(xù)，則：

且由假設(shè)Ⅰ，H(t,u(t))關(guān)于u(t)是單調(diào)非降的，故對(duì)于t∈[0,T]，H(t,u(t))≤H(t,p0)成立.

將式（11）代入式（10），再由假設(shè)Ⅰ和式（12）可得：

假設(shè)n=m時(shí)，對(duì)?t∈[0,T]，下列不等式成立，

則對(duì)?t∈[0,T]，類似于式（7）的推論，有：

另外，與式（13）類似的推導(dǎo)，可推出：

由于u(t)在[0,T]上連續(xù)，故存在常數(shù)M ＞0，對(duì)?t∈[0,T],n∈N，有定理1證畢.

定理2假設(shè)Ⅰ和假設(shè)Ⅱ成立，則對(duì)?t∈[0,T]，方程（1）存在唯一解.

證明 先證明{xn(t)}n≥1為柯西序列.由式（2）可得：

對(duì)式（17）兩邊取上確界和G-期望，有：

由基本不等式(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2，有：

再由引理1、引理2和假設(shè)Ⅱ，可得：

將式（20）代入式（18），可知：

由Fatou引理，可知：

再由假設(shè)Ⅱ，有：

由定理1及上述證明可知，對(duì)任意固定的T＞0，{xn(t)}是收斂的Cauchy序列.設(shè)其極限為x(t).類似于式（21）的推導(dǎo)，有：

對(duì)式（2）兩邊取極限，可知x(t)滿足方程（1），故解的存在性得證.

再證明唯一性.設(shè)x(t)和y(t)為方程（1）兩個(gè)解，類似式（21）的證明可得：

對(duì)?t∈[0,T]，有：

故定理2證畢.