“信號與系統”生動授課模式之圖解法舉例和實踐

屠禮芬，彭 祺*，周傳璘，章愛群，葉莎莎

(1.湖北工程學院 物理與電子信息工程學院，湖北 孝感 432000; 2. 湖北工程學院 生命科學技術學院，湖北 孝感 432000)

“信號與系統”課程是電子信息科學類相關專業的核心課程[1]，也是大部分院校的碩士研究生入學考試專業課，其重要性不言而喻。該課程內容豐富，包括了大量的理論推導和數學計算，需要較好的數學基礎。然而，筆者執教的學院，屬于地方二本院校，學生的數學基礎較差，學習能力和自覺性也不強，導致大一的“高等數學”課程鮮有人學好。所以在“信號與系統”的教學過程中，與公式有關的推導，學生均提不起興趣，進一步加大了教學難度。[2]

在筆者所在學校，“信號與系統”課程安排在第四學期，經過前三學期的學習，學生已經具備了基本的工科思維能力，對于模擬電路中輸入與輸出的關系，基本的乘法器、加法器的使用等[3]，都比較熟悉，相較與枯燥繁瑣的數學公式，大部分學生對于框圖的理解能力顯著較強。而“信號與系統”課程里的很多知識點，雖然表面上看起來都是數學公式，但并不是純數學，每個公式都是基于一定的物理模型，具有相應的物理意義，可以結合實際進行理解。

因此，筆者經過大量調研學生的先修課程和思維模式特點[4]，結合“信號與系統”課程自身的特點，提出圖解法授課的教學理念，并將傳統授課法與圖解法分別運用于相同層次的不同班級，根據隨堂測試結果和課后隨訪，圖解法不僅僅能使學生更快速準確地掌握相應知識點，更為重要的是，經過一個學期之后，圖解法授課的班級對相應知識點的記憶程度顯著較強。

1 當前教學思路的特點

“信號與系統”中，無論是時域分析法還是變換域分析法，都要求系統是線性時不變(Linear Time Invariant, LTI)系統，所以如何判斷系統的線性和時不變性是很重要的。要判斷一個系統是否是LTI的，就要同時滿足可分解性、零輸入線性和零狀態線性、零狀態響應時不變性四個條件。根據“信號與系統”課程內容的特性，許多知識點都以公式推導的形式呈現，傳統的教學思路如下[5]：

線性性質的證明過程為：當輸入為f1(t)時，輸出為y1(t)，當輸入為f2(t)時，輸出為y2(t)，在以上前提條件下，如果能推導出公式(1)，則系統是線性的。

af1(t)+bf2(t)→ay1(t)+by2(t)

(1)

當零輸入和零狀態輸出都滿足線性公式(1)，且可分解性公式(2)也滿足，則系統是線性的

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

(2)

時不變性質的證明過程為：當輸入為f(t)時，對應零狀態響應為yzs(t)，即yzs(t)=T{f(t)}，那么當系統還滿足公式(3)時，則系統是時不變的。

yzs(t-td)=T{f(t-td)}

(3)

在傳統教學思路下，通常都是先講解相應的公式，然后教大家如何記憶公式，最后舉若干實例，一方面教大家怎么把公式用到具體做題步驟，另一方面也加強了對公式的理解。

以上講授方法的優點是直接、精煉，對于少數數學基礎好、理解能力強的同學，結合公式、例題和課堂講授，基本上能聽懂。但對于大部分數學基礎差的同學，公式的記憶本身就不容易，要達到靈活運用就更難。大部分同學對照例題時會求解類似習題，但是關上課本，要么公式記不住，要么記住了也難以靈活運用。經過后期回訪，即使是數學基礎較好的同學，通過這種教學方式，臨時效果還不錯，但在一個學期之后再讓其描述相關部分的知識，基本全部忘記。這正是通過記憶、推導公式學習知識點的缺陷。

2 圖解法分析系統特性舉例

經過多年的教學經驗積累，筆者針對生動授課要求，提出一種圖解法授課模式。該模式根據學生已有的知識結構體系，結合“數電”、“模電”、“電路分析”等課程的基本知識來講授，教會學生生動記憶概念、靈活理解性質。以下分別以系統的特性分析和零輸入、零狀態響應為例來說明。

2.1 系統特性分析

圖解法進行系統特性分析需要用到數電、模電中的放大器、加法器進行推導，具體過程如下：

使用spss20.0分析數據。在雙尾分布P＜0.05被認為有統計學意義。使用PearsonR計算相關性。

對于線性的講解，對照圖1：

(a) 原系統

(b) 對輸出放大求和

(c) 對輸入放大求和圖1 線性性質圖解

當系統輸入原始信號f1(t)時，經系統T處理，其輸出為y1(t)，當系統輸入原始信號f2(t)時，經系統T處理，其輸出為y2(t)，如圖1(a)所示。然后將信號進行兩種放大求和方式處理：圖1(b)是分別將原始信號f1(t)、f2(t)作為系統的輸入，經系統T處理后，輸出分別為y1(t)、y2(t)，再分別經過一個放大系數為a和b的放大器，則輸出分別為ay1(t)、by2(t)，最后經過一個加法器，輸出為ay1(t)+by2(t)；圖1(c)是分別將信號f1(t)、f2(t)經過一個放大系數為a和b的放大器，則輸出分別為af1(t)、bf2(t)，再經過一個加法器，輸出為af1(t)+bf2(t)，最后將該復合信號經系統T處理，則輸出為T{af1(t)+bf2(t)}。顯然二者對信號的處理方式是不一樣的：第一種方式是直接對系統T處理之后的結果進行放大求和，第二種方式是對輸入進行放大求和，再將復合信號用系統T進行作用，如果ay1(t)+by2(t)=T{af1(t)+bf2(t)}，則系統是時不變的。

對于時不變性的講解對照圖2：

(a) 原系統

(b) 輸出延時

(c) 輸入延時圖2 時不變特性圖解

當系統輸入原始信號f(t)時，經系統T處理，其輸出為yzs(t)，如圖2(a)所示。然后將信號進行兩種延時方式處理：圖2(b)是將原始信號f(t)作為系統的輸入，經系統T處理，輸出為yzs(t)，然后經過一個延時系統延時td，則輸出為yzs(t-td)；圖2(c)是先將信號f(t)經過一個延時系統延時td，輸出為f(t-td)，再將延時后的信號作為系統的輸入，經系統T處理，輸出用g(t)表示。顯然二者對信號的處理方式是不一樣的：第一種方式是直接對系統T處理之后的結果進行延遲，第二種方式是對輸入進行延遲，再將延遲信號用系統T進行作用，如果yzs(t-td)=g(t)，則系統是時不變的。

線性和時不變性的判斷，表面看來是運用公式計算推導，但從上述分析中我們發現，無論是什么性質，最終都是對一個實際系統的操作，比如放大、求和、延遲等，都可以用硬件構建出相應的過程，具有實際的物理意義。這也是“信號與系統”課程的特別之處，雖然被稱為“工科數學”，但并不是抽象的數學，它具有實際的物理意義，只要細心將各個知識與實際系統聯系起來，與學生的先修課程相對應，就可以把抽象的公式變得生動，無論是對于記憶還是靈活運用都有幫助。

LTI系統除了具有線性、時不變性之外，還具有積分、微分特性，所有這些特性都具有一個共性：輸入發生什么變化，輸出就發生同樣的變化，或者說對于LTI系統，在系統T之前的操作，與系統T之后的相同操作，最后對系統的影響都是一樣的，這是哲學的辯證統一思想，這樣可以舉一反三，幫助學生記憶所有特性，相較于抽象的數學公式，不僅生動好記憶，并且記憶也更長久。

2.2 零輸入、零狀態響應的初始值

圖解法講授零輸入、零狀態響應的定義及其初始值的確定方法需要用到語文、英語、電路的相關知識，具體過程如下：

我們把影響一個實際系統輸出的信號分為兩個部分：一個是某用戶在使用該系統時，自己給系統的輸入f(t)，該信號與系統自身無關，純粹是外來信號；另一個是系統構建之初就存儲于系統內部的初始狀態x(0)，該信號與用戶無關。這就類似于“電路分析”中一個充好電的LRC電路系統[6]，合上開關之后它的輸出一方面受電壓源或電流源的影響，這是外界輸入f(t)的貢獻，另一方面還受電容C和電感L放電的影響，這是系統初始狀態x(0)的貢獻。如果系統是一個LTI系統，外界輸入f(t)和系統內部的初始狀態x(0)對輸出的影響是完全獨立的：f(t)引起的輸出標記為yzs(t)，z、s分別是英文單詞zero(零)和state(狀態)的縮寫，所以命名為零狀態響應；x(0)引起的輸出標記為yzi(t)，z、i分別是英文單詞zero(零)和input(輸入)的縮寫，所以命名為零輸入響應。

圖3 零輸入、零狀態響應初始值的確定

首先在黑板上畫一個時間坐標軸t，中間位置為t=0的點，結合實際，該點就是用戶在使用某系統時開機的時刻，其中t=0-指從左邊無限接近于0，也就是還沒有開機，t=0+指從右邊無限接近于0，此時已經開機，這兩個點，如果在數學計算上，都為t=0，但物理意義絕然不同。大綱通常要求學生掌握二階系統的分析，要求解二階系統的零輸入、零狀態響應表達式，該表達式指系統開機之后所遵循的數學公式，所以必須使用開機之后的初始條件，分別為：yzi(0+)、yzi′(0+)；yzs(0+)、yzs′(0+)。

對于零狀態響應yzs(t)，其輸出是由用戶在時刻t=0由外部加入的信號f(t)引起的，在t=0-，f(t)尚未加入，系統尚未開機，則yzs(0-)=0，其以左的任意時刻，即t<0時，都滿足yzs(t)=0，這個初始條件對所有系統都成立，在解題時，通常不會直接作為已知條件呈現，所以要提醒學生必須記住這個隱含的已知條件；而在t=0+，此時f(t)已經加入，系統已經開機，那么yzs(0+)的值就與yzs(0-)可能不一樣，從t=0-到t=0+時間極短，從目前學生學習的信號來看，只有沖激函數δ(t)才能在極短的時間聚集能量，所以當f(t)中含有沖激函數及其各階導數時，yzs(0+)的值與yzs(0-)不同，否則也不會發生變化。如果有變化，確定yzs(0+)的值就需要用沖激函數匹配法，再配合一個沖激函數匹配法實例講解。

而對于零輸入相應，只跟初始條件x(0)相關，也就是f(t)=0，初始條件時系統開機(t=0)之前就已經存在，在用戶點開機之后，并沒有新的信號引入，故對于yzi(t)，有yzi(0+)=yzi(0-)成立。

對于LTI系統，在任意時刻y(t)=yzi(t)+yzs(t)，推導出y(0-)=yzi(0-)+yzs(0-)，而yzs(0-)恒等于0，故又可以推導出yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)。以上所有公式，運用LTI系統的微分特性，兩邊同時求導，等號依然成立，那么各階導數也滿足以上條件。

相較于傳統的直接呈現公式讓學生記憶授課方式，本方法雖然多耗費幾分鐘課堂時間，但基本上講一次，學生就能深刻理解和靈活運用，并且記憶更長久。

3 教學效果對比

筆者采用兩個層次相當、人數都在45以內的行政班級做對比試驗，整個學期所使用的課件相同，理論課均為16周，每周上2次課，每次課2學時，每學時45分鐘，授課教師也相同，且兩個班的授課時間交錯排列，基本不受教師講授熟練程度的影響。

授課過程中發現，采用圖解法授課的班級授課時間略微偏長，但學生對知識的理解更深刻，理論聯系實際的能力更強，所以在后面的課堂練習中，做題速度明顯提高，所以總的課程進度與采用傳統授課的班級基本保持一致。

在學期末，采用閉卷考試，相同的試卷，從教務系統自動產生的成績分布如圖4所示：

圖4(a)為傳統授課班級的卷面成績，班級總人數為28人，全部參加考試，平均分57.61，只有10.71%為優秀，而59分以下占比達到50%。圖4(b)為圖解法授課班級的卷面成績，班級總人數為35人，本次考試2人缺考，教務系統自動記為0分，即使有拉低整體成績的情況存在，但該班級的平均分依然能達到70.8，有40%達到優秀，而59分以下占比20%，其中兩人是因為缺考，所以實際不及格的只有5人。

(a) 傳統授課班級

(b) 圖解法授課班級圖4 考試成績分布圖

以上數據表明，采用圖解法授課的班級，對相同知識的掌握程度更深、靈活運用能力更強。在經過大約15個月后，兩個班都有部分人參加研究生入學考試，大部分專業課都是信號與系統，但由于不同學校的試卷不同，考試成績沒有明顯對比意義，但在筆者對這些學生進行學習輔導的過程中，圖解法授課班級的學生對原來講授的相關知識記憶更為深刻，復習進展更為順利。

4 結語

教學實踐表明，本文所探討的圖解法授課，雖然課堂講授時間比傳統授課方式要長，但更能激發學生的興趣，相較于對照組，授課效果有非常明顯的改善：學生基本都能聽懂授課內容，課堂習題也能順利地完成，考試效果有明顯的優勢，并且對知識點的記憶時間更長。

總結原因如下：一方面是因為圖解法用學生先修課程中熟悉的部分作為指引，讓學生有學習成就感；另一方面，相較于傳統的數學公式推導，圖解法更形象生動，符合現在學生的興趣點。