“連續體模型”應用案例中的思維方法

田 川

(重慶市第八中學校，重慶 400030)

連續體可理解為物質連續分布的流體，有些粒子流因物質分布與流體相似，因而也常常被歸于連續體問題.由于連續體往往不能簡單直接地作為質點處理，因此不少學生對模型的建立，思維方法的選取不甚明了.此文從連續體模型中滲透的思維方法入手，對該問題進行一次總結性地梳理，希望對讀者更清晰地理解該模型有所幫助.

1 雨中荷葉——整體沖擊法

例1.為估算池中睡蓮葉面承受雨滴撞擊產生的平均壓強，小明在雨天將一圓柱形水杯置于露臺，測得1 h內杯中水位上升了45 mm.查詢得知，當時雨滴豎直下落速度約為12 m/s.據此估算該壓強約為(設雨滴撞擊睡蓮后無反彈，不計雨滴重力，雨水的密度為1×103kg/m3)

(A) 0.15 Pa. (B) 0.54 Pa.

(C) 1.5 Pa. (D) 5.4 Pa.

圖1

解析： 可以將雨滴對荷葉的壓強視為是由一個45 mm高的水柱緩沖了1 h的整體撞擊導致的.利用整體法，可以巧妙地將非質點模型轉變為質點模型，從而降低理解的難度.如圖1所示，設這個水柱橫截面積為S,高為h，下落速度為v，水密度為ρ，水柱對荷葉的壓強為p，緩沖的時間為t，則由動量定理可得pSt=0-hSρv.即

0.15(Pa)，故答案選(A).

水流沖擊墻壁、高壓水槍采煤等問題，與之相似.

2 靜電除塵——等效質心法

圖2

例2.為研究靜電除塵，有人設計了一個盒狀容器，容器側面是絕緣的透明有機玻璃，它的上下底面是面積為A的金屬板，間距L，當連接到U的高壓電源正負兩極時，能在兩金屬板間產生一個勻強電場，如圖2所示.現把質量均勻分布的煙塵顆粒密閉在容器內，每立方米含有的煙塵顆粒數為n，假設這些顆粒都處于靜止狀態，每個顆粒帶電量為+q，求合上電鍵后，除塵過程中電場對煙塵顆粒共做了多少功？

圖3

變式： 一艘可視作圓柱形的宇宙飛船橫截面積為S，以恒定速度v進入宇宙塵埃區，宇宙塵埃區單位體積內塵埃個數為n，每顆塵埃質量為m，若塵埃碰到飛船前是靜止的，碰到飛船后就黏在飛船上.不計灰塵粘附造成的飛船質量變化，不計其它阻力.求飛船應該提供多大的推力才能在塵埃區內勻速前進？(答案：Snmv2.)

3 星際光壓——模型替代法

例3.2019年8月2日，新華社發布新聞報道“馭光而行不是夢！光帆2號成功在太空驗證太陽帆技術”.假設在地球大氣層外，太陽的光強I≈1.5 kW/m2，若太陽帆的反射率為1，[1]試著估算正對太陽光的“風帆”所受到的光壓.

圖4

解析： 可以將光和光帆面板的作用類比乒乓球的反彈，如圖4所示.這樣一來就可以通過研究學生熟悉的完全彈性碰撞的模型來代替學生不熟悉的光壓問題.

4 趣味售米——極限微元法

例4.如圖5所示，利用自動糧食灌裝售賣機，進行糧食售賣.例如某買家預購100 kg糧食，則需先將盛接糧食的容器放在電子秤上，去皮后，開啟裝置，釋放糧食，當電子秤顯示100 kg時，自動化控制系統迅速關閉出米口.然而買者甲認為米流落到容器內的米上時，會產生沖擊力，導致電子秤顯示偏大.而賣米者乙則認為，關閉出米口后，空中尚有一束米流，這部分米就相當于白送了.旁觀者丙則認為，買方、賣方都說得有道理，若是綜合考慮，則沒有誤差.請用物理知識評價甲、乙、丙的觀點.

圖5

因此，可以看出切斷米流瞬間米流的沖擊力恰好等于此刻空中的米流的重量，因此售米機實現的是公平的買賣.故甲、乙的觀點不正確，丙所給出的結論正確，但分析過程不嚴謹.