基于空氣動力學對標槍投擲問題的研究

王春元 殷雨萌

摘? ?要：本文通過建立標槍的幾何模型，結合空氣動力學對標槍進行受力分析，探究風速、風向以及初始俯仰角速度對標槍方向和最大投擲距離的影響。利用剛體轉動定律，列出二階微分方程組，尋找出手角和初始攻角與標槍投擲距離的關系。

關鍵詞：空氣動力學? 標槍投擲? 數據擬合? 二階微分方程組

標槍投擲距離的遠近受到運動員水平（出手速度、出手角、初始攻角、出手高度、出手時標槍的初始俯仰角速度等），標槍的技術參數（標槍的長度、重量、幾何形狀、重心的位置、形心的位置等）和比賽環境（空氣的密度與粘度、風力、風向等）三方面因素的影響。為便于討論，假設運動員出手高度為2m，標槍重量為800g且不考慮標槍在飛行過程中的進動影響，空氣密度為1.184×10-3g/cm3，空氣粘度為1.84×10-5Pa·s（帕·秒）。

1? 標槍幾何形狀分析

對【國家標準】 GB/T 22765-2008-標槍的構造及數據進行初步的分析，如圖1所示。

以標槍中軸線為x軸，垂直中軸線為y軸，標槍尾端原點建立直角坐標系。根據上述對標槍幾何外形的估計，將標槍分為四段進行分析。

1.1 左端槍頭段（長軸從0變化到1200mm）

標槍測量尺寸中符合該段長軸要求的數據有28個，利用MATLAB進行函數圖像擬合，我們將左端槍頭段滿足的函數記作y1，由上述分析可得其函數表達式為：

1.2 槍身平穩段（長軸從1200mm變化到1800mm）

由于該段沿垂直中軸線的剖面圓的直徑恒定不變，我們將槍身平穩段滿足的函數記作y2，有上述分析可得其函數表達式為：

1.3 槍身過渡段（長軸從1800mm變化到2362mm）

與第一段相類似，對于符合條件的數據，用MATLAB進行函數圖像擬合，將槍身平穩段滿足的函數記作y3，由上述分析可得其函數表達式為：

1.4 右端槍頭段（長軸從2362mm變化到2640mm）

與第一段相類似，對于符合條件的數據，用MATLAB進行函數圖像擬合，將槍身平穩段滿足的函數記作y3，由上述分析可得其函數表達式為：

2? 無風狀態下標槍動力學分析

經查閱資料，低速時可以忽略空氣粘性作用.以地面為x軸，垂直地面方向為y軸，出手瞬間人腳的位置為原點建立直角坐標系，模擬標槍運動過程。

（1）出手瞬間，速度為零，由于慣性向前運動，只受重力，如圖2所示;

（2）運動過程中，受到空氣阻力和重力，如圖3所示。

將槍頭看成圓錐，槍身突出部分看成圓柱，迎風面積S即為圓錐側面積與槍身突出部分上圓環面積之和，如圖4中陰影部分所示：

根據空氣阻力公式：，其中Cd是空氣阻力系數常數，本文選取Cd=0.2，V指標槍相對于風速的相對速度。

出手后空氣阻力不再沿著標槍方向，可分為沿著標槍的水平阻力和垂直于標槍的升力。在無風狀態，物體與空氣的相對運動速度V即為標槍運動速度。由牛頓運動定律，加速度為，積分解出v，由，積分解出x。

3? 有風狀態下標槍動力學分析

在有風的情況下考慮標槍的投擲距離。相較于上述無風狀態下，標槍會受到風力的影響。同時，由于初始俯仰角速度的存在，會使標槍在出手瞬間有向上或者向下的運動。標槍是剛體，存在轉動慣量J，空氣阻力與速度方向相反，升力在無初始俯仰角速度時與標桿所在直線垂直，而由于俯仰角速度的存在，使得升力與標桿不再垂直。順風、逆風時分別進行研究，首先以水平面為x軸，垂直于水平面方向為y軸，建立平面直角坐標系。對標槍出手瞬間的受力情況進行分析。標槍受豎直向下的重力，空氣阻力F1，以及與y軸成角的升力。經計算可知，由加速度的微分方程，對x軸方向和y軸方向受力分析。在空氣動力學中，由空氣阻力和升力基本公式，查閱實驗數據，得到了標準標槍的空氣阻力系數和升力系數。由剛體的轉動定律，，列出受力情況方程，求出最佳出手角、最佳初始攻角、最佳初始俯仰角速度使得投擲距離最大。

參考文獻

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