“二元一次方程組”中考試題研究

姜紅

像2x-y=5這樣，含有兩個未知數，并且未知項的次數都為1次，那么這樣的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有無數組解，若添加條件限定（例如求正整數解），亦可有有限個解，甚至無解.

像2x-y=5，

x+y=4這樣，含有兩個未知數并且未知項的次數都是1的二元一次方程組成的方程組是二元一次方程組.在七年級下學期，同學們學習了二元一次方程組的解法及其應用.下面以常見的中考題為例，探討解方程組的基本方法.

一、 二元一次方程組的解法

例1 （2015·重慶）解方程組y=2x-4，①

3x+y=1. ②

例2 （2015·淮安）解方程組：x-2y=3，

3x+y=2.

【解析】這類中考題屬于基礎題，考查解方程組的基本技能.例1中方程①已經是用含x的代數式表示y的形式，故而適宜使用代入消元法，答案為x=1，

y=-2.例2兩種方法均可，但同學們一般還是比較偏向于使用加減消元法，答案為x=1，

y=-1.

【點評】多元方程的解法原則是“消元”.而“消元”的具體方法有代入法和加減法兩種.

有時，試題也會涉及“整體代換”等思想方法，比如：

例3 （2015·珠海）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=3， ①

4x+11y=5.②時，采用了一種“整體代換”的解法：

第（2）題需經整理后，再模仿小軍的“整體代換”法，由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2=③，把③代入②得：2×=36-xy，解得：xy=2，則x2+4y2=17.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，弄清閱讀材料中的“整體代換”方法，是解本題的關鍵.

二、 二元一次方程組的應用

例4 （2015·北京）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架.它的代數成就主要包括開方術、正負術和方程術.其中，方程術是《九章算術》最高的數學成就.

《九章算術》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問：牛、羊各直金幾何？”

譯文如下：“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”

設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為__________.

【解析】根據“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關系，即可列出方程組. 5x+2y=10，2x+5y=8.

【點評】這類問題中兩個量呈一次關系，往往可以抽象出二元一次方程組，解決本題的關鍵是找到題目中所存在的等量關系.

例5 （2015·佛山）某景點的門票價格如表：

某校七年級（1）、（2）兩班計劃去游覽該景點，其中（1）班人數少于50人，（2）班人數多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨購票，則一共支付1 118元，如果兩班聯合起來作為一個團體購票，則只需花費816元.

（1） 兩個班各有多少名學生？

（2） 團體購票與單獨購票相比較，兩個班各節約了多少錢？

【解析】（1） 設七年級（1）班有x人、七年級（2）班有y人，根據如果兩班都以班為單位單獨購票，則一共支付1 118元，如果兩班聯合起來作為一個團體購票，則只需花費816元建立方程組12x+10y=1 118，

【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用、二元一次方程組的解法的運用，解答時建立方程組求出各班的人數是關鍵.

三、 與二元一次方程組有關的綜合題

例6 （2014·益陽）某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：

（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進貨成本）

（1） 求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價；

（2） 若超市準備用不多于5 400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？

（3） 在（2）的條件下，超市銷售完這30臺電風扇能否實現利潤為1 400元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.

（2） 設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇（30-a）臺，根據金額不多于5 400元，列不等式得：200a+170（30-a）≤5 400，解得：a≤10.所以超市最多采購A種型號電風扇10臺時，采購金額不多于5 400元.

（3） 設利潤為1 400元，列方程（250-200）·a+（210-170）（30-a）=1 400，解得：a=20.

若不符合（2）的條件，可知不能實現目標.∵a≤10，∴在（2）的條件下超市不能實現利潤1 400元的目標.

【點評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系和不等關系，列方程組和不等式求解.這類試題把二元一次方程組與一次不等式結合起來考查，難度有所加大.

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）