二重積分的計(jì)算方法研究

摘要：在二重積分的計(jì)算當(dāng)中，根據(jù)積分區(qū)域的圖形特點(diǎn)，和所給被積函數(shù)，選擇合適的坐標(biāo)系和積分次序，把重積分轉(zhuǎn)化為二次積分;本文列舉了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算的案例，總結(jié)計(jì)算步驟和計(jì)算過程中需要注意的技巧.

關(guān)鍵詞：二重積分;直角坐標(biāo)系;極坐標(biāo)系

一、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

在直角坐標(biāo)系中，積分區(qū)域主要分為型和型，針對(duì)一道計(jì)算題，畫出積分區(qū)域，結(jié)合積分區(qū)域的圖形特點(diǎn)，合理選擇兩種類型中的一種去計(jì)算二重積分，有的積分區(qū)域是兩種類型都適用，有的只適用其中一種，所以，在計(jì)算二重積分之前，觀察積分區(qū)域的特點(diǎn)，給積分區(qū)域定型，這是非常關(guān)鍵的一個(gè)步驟，直接關(guān)系到能否快速高效地算出積分結(jié)果。

二、極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

當(dāng)積分區(qū)域像一塊圓餅或圓餅的某一部分，即積分區(qū)域含有的項(xiàng)，或者被積函數(shù)含有的項(xiàng)時(shí)，用直角坐標(biāo)不太容易計(jì)算出來，這個(gè)時(shí)候可以考慮利用極坐標(biāo)來算，引入這兩個(gè)變量，用來表達(dá)積分區(qū)域和被積函數(shù)，將直角坐標(biāo)系下的二重積分改寫為極坐標(biāo)下，根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)，給出的范圍。直角坐標(biāo)系下的三個(gè)部分，即積分區(qū)域、被積函數(shù)和面積元素，都要轉(zhuǎn)變?yōu)榈谋磉_(dá)式，缺一不可.此時(shí)，被積函數(shù)當(dāng)中的，面積元素.

三、結(jié)語

計(jì)算二重積分，可以分為三個(gè)步驟，第一步：在直角坐標(biāo)系中畫出積分區(qū)域D;第二步：觀察D的圖形特點(diǎn)，并結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)，給積分區(qū)域定型，靈活運(yùn)用型或型，或者是極坐標(biāo);第三步：確定積分次序，寫出詳細(xì)的二次積分表達(dá)式，即把二重積分寫成兩個(gè)定積分的形式，進(jìn)行計(jì)算，先算內(nèi)層的積分，再算外層的積分。在直角坐標(biāo)系中，要注意坐標(biāo)軸的直線的方程表達(dá)式，觀察積分區(qū)域內(nèi)，如果平行軸的多條直線的“入口”和“出口”保持不變，直線和積分區(qū)域的邊界最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，可以選擇型;如果平行軸的多條直線的“入口”和“出口”保持不變，直線和積分區(qū)域的邊界最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，可以選擇型.

在計(jì)算對(duì)的積分時(shí)，把看作常數(shù);在計(jì)算對(duì)的積分時(shí)，把看作常數(shù).在極坐標(biāo)系中，注意這兩個(gè)變量的變化范圍，的積分上限或下限可能是關(guān)于的函數(shù)，極坐標(biāo)中和直角坐標(biāo)中的二重積分可以互相轉(zhuǎn)化運(yùn)算，根據(jù)題目給出的被積函數(shù)和積分區(qū)域，綜合考慮，靈活運(yùn)用這兩種計(jì)算公式.

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作者簡介：楊姜維（1990-），女，湖北荊州人，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

基金項(xiàng)目：廣州工商學(xué)院2020年院級(jí)科研課題《廣義拓?fù)淇臻g上的性質(zhì)研究和超空間上的若干性質(zhì)研究》（項(xiàng)目編號(hào)：KA202040）

（作者單位：廣州工商學(xué)院）