數學建模

孫麗麗

摘 要 首先本文研究題目為破15000米記錄與是否買保險的的問題，然后針對問題：獎金為25000歐元的15 千米賽跑，獎金的平均消耗是多少？和保險公司每年收都是錢合理兩個問題為主從而擴展的的四個問題。針對第一問本文建立第一個全概率公式模型，利用全概率公式求出每屆破紀錄的概率，來確定每幾年破一次紀錄每年所需要的本金。針對第二三問建立一個根據金錢的時間價值知識而建立的模型公式，第四問用平均值表示運動員離破紀錄差的值，用增函數表示運動員的進步的增減性，用以上的數據來選擇哪個期間的哪個項目需要投保。

關鍵詞 全概率公式 資金的時間價值 銀行利率 增函數 平均值

“七山跑”是荷蘭奈梅亨舉行的年度15公里公路賽跑比賽。它于1984年首次舉辦，現已發展成為荷蘭最大的公路賽之一。1984年第一屆比賽賽程僅有11.9公里，因為荷蘭田徑聯合會規定不允許新的跑步比賽長于12公里，所以第一屆的男子最好成績為36：55;女子最好成績為45：48，從第二屆開始恢復15公里。

運動員們可能跑的一種距離是15000米，這種賽事是有世界紀錄的。通常，這種比賽，組織委員會會付一筆巨額錢款作為取得新紀錄贏家的獎金。而這筆高額獎金的數目為25000歐元，高額的獎金自然會吸引眾多頂尖運動員，記錄也將會加快刷新，由于巨大資金的風險組織委員會將會為此類長跑比賽購買保險。

1建模和求解

問題一： 以上描述的獎金為25000歐元的15 千米賽跑，獎金的平均消耗是多少？保險公司將要提高估算的平均消耗的數目。數目可能會非常合理，也可能不會。保險公司希望他們足以支付消費并且知曉不同訂購訂購者長時間訂購所帶來的利潤。組織委員會能夠決定是否購買保險。

解：設時間在1985-2015年之間，p（b）為每屆破紀錄且奪冠的的概率，P（ai）為每屆跑進42分且獲得冠軍的概率，使用全概率公式

男子：因為第一屆因某些原因，去除剩下為31屆，設為總數。跑進42分且得冠軍的人有4個人，破紀錄且得冠軍的人有2個人，求每屆破紀錄的概率。P（b）=破紀錄且奪冠的概率，p（ai）=跑進42分且奪冠的概率。代入公式

根據實際數據得出2015年之前p（b）=15.5（概率為每15.5屆破一次是表示已經完成的比賽）

女子：因為第一屆因某些原因，去除剩下為31屆，設為總數。跑進47分且得冠軍的人有3個人，破紀錄且得冠軍的人有1個人，求每屆破紀錄的概率。P（b）=破紀錄且奪冠的概率，p（ai）=跑進42分且奪冠的概率。代入公式

問題二：保險公司應該用什么標準來決定提高以上比賽的平均消耗？具體來說，他們應該怎樣衡量每一個因素以作出決定？例如，開始通過考慮承包人將提高20%來支付他的經營消費，貨幣的時間價值，還有了解一段時間的利潤。

解：在這一問當中我用到了金錢的時間價值，金錢在每一年的價值是不一樣的。第一年到第n年的價值是會改變的，因為錢隨著時間而增值所有要考慮錢的時間價。

設總金額為N，a為每一年的金額，n 為第一問的得數，i代表的每年的年平均利率，則，，，……，

問題三：什么樣的標準下組委會應該購買保險？假設他們打算在不久的將來贊助這場比賽，在一段時間內，他們希望可以節省保險公司的額外費用。但他們應該承擔風險嗎？

解：根據第二問設組委會在n年里一共交了Q元，

問題四：假定組委會能夠購買保險，但不是40場比賽每一場都買，組委會應該考慮那些因素來決定買不買？

設每z年為一個期間。在z里篩選出超過項目中選擇在z期間運動員大部分處于高水平競技狀態，也就是說他們在這z期間成績在不斷接近記錄。

假設選擇15公里賽跑項目，在z期間內第一屆選手的平均成績離記錄還有x1秒，第二屆x2秒，……，第n屆xn秒M為z期間運動員平均離記錄的值。

運動員跑步的增減性：當m大于等于0小于等于g時。考慮到z期間運動員的平均成績有沒有持續變快。分析函數 的增減性，

所以函數在x>0時是增函數;在x<0時是減函數。這個時候就可以z期間連續投保y年投到破記錄的時候就停止。最后比較這三個值選出在z期間內所選出要投保的項目。

2檢驗

問題一：男子：因為第一屆因某些原因，去除剩下為31屆，設為總數。跑進42分且得冠軍的人有4個人，破紀錄且得冠軍的人有2個人，求每屆破紀錄的概率P（b）=破紀錄且奪冠的概率，p（ai）=跑進42分且奪冠的概率。代入公式

根據實際數據得出2015年之前p（b）=15.5（概率為每15.5屆破一次是表示已經完成的比賽）

女子：因為第一屆因某些原因，去除剩下為31屆，設為總數。跑進47分且得冠軍的人有3個人，破紀錄且得冠軍的人有1個人，求每屆破紀錄的概率P（b）=破紀錄且奪冠的概率，p（ai）=跑進42分且奪冠的概率。

問題二：將第一問的檢驗數據帶入第二問的得下列數據

男子：第一年收1，612.90 歐元，第二年1，606.23歐元，第三年 1，599.09歐元， 第四年1，591.41歐元， 第五年1，583.11歐元， 第六年1，574.07歐元， 第七年1，564.12歐元， 第八題1，553.08歐元， 第九年1，540.66歐元，第十年1，526.44歐元， 十一年1，509.78歐元， 十二年1，489.65歐元， 十三年1，464.12歐元， 十四年 1，428.98歐元， 十五年1，371.82歐元， 十六年1，207.20歐元。

問題三：根據金錢的時間價值在第11年到12年之間保險公司就已經收夠25000歐元，在之前的數據中在第十一和十二年之間破紀錄Q等于25000。如果n小于11就不買，n大于12就買。

問題四：15公里賽跑，每屆取前五名

1996年43.06分，43.16分，43.37分，43.78分，43.97分

1997年42.20分，42.56分，43.79分，43.16分，44.56分

1998年42.24分，42.34分，42.56分，43.88分，43.10分

每年運動員平均成績在不斷接近紀錄，所以為減函數，然后開始投保，其他項目也是以此類推。

3小結

第一題通過全概率公式將每屆破紀錄的概率求解。從而得出每幾屆破一次記錄，簡單明了的得出組委會應承擔的壓力，從而開始考慮保險購買問題。第二題用到了金錢的時間價值，金錢在每一年的價值是不一樣的錢隨著時間而增值所有第二問要考慮錢的時間價，第三題根據第二題的道理反推出的同樣用到金錢的時間價值。第四題根據增函數確定運動員的進步增減性，平均值來確定運動員與紀錄差的平均值，根據以上數據來確定選擇那個期間那個項目的投保這種方法較為計算簡便。

參考文獻

[1] 劉艷.資金的時間價值及其影響因素[J].內蒙古科技與經濟，2013.

[2] 葛玉鳳.增函數定理證明方法探討及定理的應用[J].泰安師專學報，1999.

[3] 馬曉麗，張亮.全概率公式的推廣及其在保險中的應用[J].高等數學研究， 2010.

[4] 孫國峰，蔡春春.貨幣市場利率、流動性供求與中央銀行流動性管理——對貨幣市場利率波動的新分析框架[J].經濟研究，2014.

[5] 毛偉民.國外體育保險制度模式及其對我國的啟示[J].體育學刊，2008.

[6] 王國軍，蔡凌飛.體育保險的國際比較及其對中國的啟示[J].中國體育科技，2012.

[7] 劉敏文.資金時間價值計算[J].投資數學，1991.

[8] 貝葉斯.機會的學說概論[M].1758.