一加一，有可能不等于二？

涂小圖

在日常生活中，我們的大腦對(duì)很多事物都形成了習(xí)慣。比如數(shù)字，習(xí)慣于使用十進(jìn)制的我們能夠輕易地算出“1+1=2”，但是卻很難對(duì)計(jì)算機(jī)里的二進(jìn)制數(shù)字有直觀的感受。十進(jìn)制在今天的普遍使用，只不過是人類在生物學(xué)上一次偶然進(jìn)化的結(jié)果而已：我們當(dāng)中的絕大多數(shù)人，生來就有10個(gè)手指、10個(gè)腳趾。除了十進(jìn)制，二進(jìn)制、八進(jìn)制等其他進(jìn)制又有什么不同呢？

十進(jìn)制與二進(jìn)制

十進(jìn)制計(jì)數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為10;②有0—9共10個(gè)數(shù)字;③逢10進(jìn)1，借1當(dāng)10。

二進(jìn)制計(jì)數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為2;②有2個(gè)數(shù)字，即0和1;③逢2進(jìn)1，借1當(dāng)2。

十進(jìn)制數(shù)可以由多位組成，從右向左依次為個(gè)位、十位、百位、千位、萬位，等等;與此類似，二進(jìn)制也可以由多位數(shù)組成，從右向左分別為1位、2位、4位、8位、16位，等等。同學(xué)們是不是感覺二進(jìn)制的位數(shù)很奇怪，中間似乎還缺了好多位？其實(shí)這是我們從十進(jìn)制數(shù)的角度來看二進(jìn)制數(shù)而產(chǎn)生的一種錯(cuò)覺。

如上表所示，當(dāng)二進(jìn)制產(chǎn)生進(jìn)位時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為2、4、8、16、32、64、128……二進(jìn)制雖然只有0和1兩個(gè)數(shù)字，但是由于數(shù)字所處的位置不同，表示的數(shù)據(jù)也不同。例如二進(jìn)制數(shù)1011共有4位，由3個(gè)1和1個(gè)0組成，各個(gè)數(shù)字所處位置不同，所代表的大小也不同，各個(gè)數(shù)字所處位置在數(shù)學(xué)上稱作“權(quán)”。

二進(jìn)制數(shù)1011從右向左順序各位表示的含義：第一個(gè)1表示1的個(gè)數(shù)，第二個(gè)1表示2的個(gè)數(shù)，第三個(gè)0表示4的個(gè)數(shù)，第四個(gè)1表示8的個(gè)數(shù)。同學(xué)們可以類比一下：十進(jìn)制數(shù)1011是由1個(gè)1000、0個(gè)100、1個(gè)10、1個(gè)1組成的;二進(jìn)制數(shù)1011是由1個(gè)23、0個(gè)22、1個(gè)21、1個(gè)20組成的。

按二進(jìn)制數(shù)1011各位的權(quán)列出：1101（二進(jìn)制）=1×23+0×22+1×21+1×20=11，按這種權(quán)展開式，可以很方便地將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

相應(yīng)地，十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)通常采用“除2取余，逆序排列”的方法。具體做法是用2整除十進(jìn)制數(shù)，可以得到一個(gè)商和余數(shù);再用2去除商，又會(huì)得到一個(gè)商和余數(shù);如此反復(fù)，直到商為0而止。然后，再把先得到的余數(shù)作為二進(jìn)制低位，后得到的余數(shù)作為二進(jìn)制高位，依次排列。

舉個(gè)例子，將十進(jìn)制數(shù)11轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)1011：

11÷2=5……1

5÷2=2……1

2÷2=1……0

1÷2=0……1

目前幾乎所有的計(jì)算機(jī)內(nèi)部的邏輯電路都采用了二進(jìn)制，這是因?yàn)殡娐分型ǔＶ挥袃蓚€(gè)狀態(tài)，如開關(guān)的“開”和“關(guān)”、電壓的“高”和“低”、電流的“正”和“負(fù)”等，這些狀態(tài)正好可以用數(shù)字“1”和“0”表示，十分方便。采用二進(jìn)制可以使計(jì)算機(jī)的結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單可靠，提高計(jì)算速度。

二進(jìn)制的計(jì)算規(guī)則

【加法】只有以下4種可能（逢2進(jìn)1）：

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

對(duì)于多位二進(jìn)制數(shù)相加，進(jìn)位采用“逢2進(jìn)1”的方式，如表2所示，同學(xué)們可以動(dòng)手列出豎式嘗試計(jì)算。

對(duì)于多位二進(jìn)制數(shù)相減，借位采用“借1當(dāng)2”的方式，如表3所示，同學(xué)們可以動(dòng)手列出豎式嘗試計(jì)算。

【乘法】只有4種可能：

0×0=0

1×0=0

0×1=0

1×1=1

十進(jìn)制的乘法怎么算？相信這可難不倒各位同學(xué)，畢竟大家在小學(xué)時(shí)就已經(jīng)把九九乘法表（乘法口訣）背得滾瓜爛熟了，而二進(jìn)制的乘法規(guī)則相對(duì)來說還要更簡(jiǎn)單。二進(jìn)制的乘法可以很簡(jiǎn)單地轉(zhuǎn)換為各位的加法運(yùn)算，如表4所示，同學(xué)們可以動(dòng)手列出豎式嘗試計(jì)算。

我們知道，除法是乘法的逆運(yùn)算，二進(jìn)制乘法有4種可能，那除法為什么只有2種呢？這是因?yàn)?作為除數(shù)是沒有意義的。如表5所示，同學(xué)們可以動(dòng)手列出豎式嘗試計(jì)算。

至于比較復(fù)雜的乘法和除法運(yùn)算，都能簡(jiǎn)單地轉(zhuǎn)換為加、減和各位的位移操作，所以一般簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)只需設(shè)計(jì)一個(gè)加法器來控制位數(shù)變動(dòng)即可。

古代也有進(jìn)制概念

明白了二進(jìn)制的原理，八進(jìn)制也就很容易懂了。其實(shí)我們可以從中國(guó)古代歷史中找到二進(jìn)制、八進(jìn)制的概念，比如八卦。八卦最初其實(shí)是古人的一種哲學(xué)思想、文字的表述符號(hào)，只是后來因?yàn)楸徊簧佟八忝壬庇脕砗鲇迫耍淮蛏戏饨孕诺臉?biāo)簽。在八卦中，其實(shí)也有二進(jìn)制和八進(jìn)制的概念，八卦的基本元素就是陰和陽，我們可以把它們看作二進(jìn)制中的0和1。需要說明的是，八卦和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制原理并無關(guān)系，僅僅是一種思想上的巧合。

在上圖中長(zhǎng)實(shí)線代表“陽”，用中間斷開的線代表“陰”。3種這樣的線條組成8種形狀，相當(dāng)于用3位二進(jìn)制數(shù)表示8種狀態(tài)。

在現(xiàn)代，八進(jìn)制計(jì)數(shù)通常采用0—7的阿拉伯?dāng)?shù)字表示。八進(jìn)制計(jì)數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為8;②由8個(gè)數(shù)字組成，分別是0、1、2、3、4、5、6、7;③逢8進(jìn)1，借1當(dāng)8。

十進(jìn)制數(shù)與其他進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換

上文中將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法“按權(quán)展開”，同樣適用于將其他進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。請(qǐng)看下面這條按權(quán)展開公式，學(xué)習(xí)了數(shù)列知識(shí)的同學(xué)，是不是感覺很親切呢？

（B表示各進(jìn)制的基數(shù)，n表示位數(shù)）

類似地，十六進(jìn)制計(jì)數(shù)的規(guī)則：①基數(shù)為16;②由16個(gè)數(shù)字（符號(hào)）組成，分別是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F;③逢16進(jìn)1，借1當(dāng)16。例如同學(xué)們可以動(dòng)手試一試將十六進(jìn)制數(shù)BC0D轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)：

BC0D（十六進(jìn)制）

=11×16（4-1）+12×16（3-1）+0×16（2-1）+13×16（1-1）

=48141

此外，我們使用上文中提到的將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的“除基數(shù)B取余，逆序排列”方法，同樣可以將十進(jìn)制數(shù)方便地轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制的數(shù)。