構造數列模型 巧解數學試題

付敏 高明

【摘要】構造數列模型是根據題設條件和結論的特征、性質，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，運用數列的性質、公式、結構等特征，使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來。構造數列模型可以起到化繁為簡、化難為易的效果。

【關鍵詞】構造法? 數列? 數學試題

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）21-0077-02

數學試題越來越靈活多變，通過對試題的研究發現，構造法在競賽題和高考題都有廣泛地運用。本文將以構造數列模型為例來闡述構造法在數學試題中的巧妙運用。

1.構造數列模型，求解函數值域

求解函數值域常見方法有：利用函數單調性法、配方法、分離常數法、數形結合、換元法、導數法、不等式法、圖像法、反解法等等。但如果對于形如“a+b=2c”形式的無理函數，抓住結構特征，采用構造等差數列的方法會使解題更加容易。

評注：此題除了構造數列模型求解，還可以用換元法、構造對偶式、柯西不等式等進行求解。但構造等差數列，將函數進行一些簡單的變換，試題求解會更加巧妙，計算量減少，思路簡單、清晰。

2.構造數列模型，求解函數最值

求最值常用的方法有配方法、單調性法、換元法、不等式法等等。但不同的方法對于不同的函數特征，解題的繁瑣程度會不一樣，有些方法反而不能很好的解決問題。對于形如“a+b=2c、ab=c2”形式的題目，通過構建等差數列、等比數列往往會使題目更容易解決，收獲意想不到的結果。

評注：無理函數求最值時，常常是進行消元，將其轉化為一元函數求解，或者是進行換元，簡化函數的形式，但是這些方法往往計算量大，求解過程中容易忽略定義域的變化而出現錯誤。而突破常規思路、觀察函數結構、轉變函數形式，大膽的進行構造數列往往會簡化解題。

3.構造數列模型，求解方程（組）

評注：這兩道題都是解不熟悉的無理方程。如果直接從常規的移項、平方入手往往非常復雜，很難求解。但是觀察結構特征如果將其構造成等差（比）數列來轉化為熟悉的方程形式，求解就會顯得容易而簡單了。

4.構造數列模型，證明不等式問題

不等式的證明通常技巧性強，方法多樣，可以采用比較法、分析法、綜合法等。所以不等式證明往往是通過發現其內隱的結構特征，用一些巧妙的方法進行求解。對于形如“a+b=2c”的形式，構造數列往往會達到事半功倍的效果。

評注：這道題解題的關鍵即是去發現其結構為“a+b=2c”的形式，所以聯想到借助構建等差數列“a，c，b”，從而使問題簡單化解決。

5.構造數列模型，求解排列組合問題

對于一些看似與數列無關的問題仔細分析，觀察其遞推公式往往可以獲得新的發現，找到解決問題的新的渠道，使復雜問題簡單解。

評注：此題是排列組合類問題，這道題解題的關鍵即是根據題目條件，尋找解題思路，構造數列通項中的遞推關系。

數學學習充滿挑戰與樂趣;構造法的使用體現了數學解題的靈活性，充分體現了數學解題的奧妙性。在學習的過程中有意識的培養各種創新意識與能力，開拓眼界，發展思維，有助于提高分析問題與解決問題的能力。

參考文獻：

[1]馮熙源.構造法在高中數學中的應用[J].數學學習與研究，2018（24）：95.

[2]宋波.例析構造數列解題[J].高中數學教與學，2012（13）：23-25.