6-PSS并聯機構的一種正解新求法

于世杰， 懷其利， 石芳， 趙潔

（1.陸軍駐青島地區軍代室，山東 青島266000；2.濟南二機床集團有限公司，濟南250000）

關鍵字：六自由度并聯機構；雅可比矩陣；牛頓迭代；位置正解；三維軟件

0 引 言

位置分析是對機構進行運動分析最基本的任務，同時也是機構其他各方面性能分析的基礎。位置分析的目的在于建立輸入與輸出的位置映射關系[1-2]，主要包括位置正解和位置反解兩方面的問題，對于大部分并聯機構來說，反解相對容易，而正解則非常復雜，往往需要求解一組非線性多元方程組，傳統的對于正解的求法包括數值法和解析法。解析法即通過消元等手段，經過大量的公式推導，來得出機構的全部正解，然而由于不同的機構對應著不同的解析方法，因此，該方法不具備通用性[3-4]。相對來說，數值方法則可以省掉繁瑣的數學推導，雖然不能求出機構的全部解，但由于其數學模型較簡單，可以立即展開后續的研究，因而得到了較廣泛的應用。Newton-Raphson法是最常用的數值解法之一，但其對初值的要求比較高，往往會因為初值的選擇不當而導致迭代的發散，從而導致求解的失敗[5]；文獻[6]提出了一種基于雅可比矩陣的求解方法，該方法可以對機構正解進行一定精度的求解，但此方法對機構所選擇的初始位姿的依賴性比較強，當求解位于初始位姿附近的平臺位姿時，可以得到一定精確的正解結果，但精度不高，當進行較大跨度的機構位姿求解時，則精度大大降低，即使較大范圍的增加迭代次數，仍不能得到較為理想的結果。

本文提出了一種基于機構微分運動原理和牛頓迭代法的正解新解法，并結合一種新型6-PSS機構對該方法進行了驗證。

1 機構介紹

圖1所示的并聯機構由動平臺1、6條PSS支鏈2及定平臺3組成，其中6條分支分別由6個伺服電動機通過驅動滾珠絲杠副來實現運動的傳遞，設分支與動平臺連接的球鉸中心為Bi（i=1,2…6），與定平臺連接的球鉸中心為Ai（i=1,2…6），各個PSS支鏈中直線移動副與定長連桿連接的球鉸中心為Ci（i=1,2…6），建立如圖1所示的坐標系，設H= x y （ ）zT為動坐標系原點在定坐標系中的位置矢量，R為旋轉變換矩陣，則結合坐標轉換原理可以得到Bi、Ci在定坐標系中的坐標矢量，設Ai、Bi、Ci的坐標在動坐標系中以矢量QAi、QBi、QCi表示，在定坐標系中以矢量PAi、PBi、PCi表示，則根據圖1所示的幾何關系可以得到

式中，i=1,2,…,6。

設該機構的輸入位移矢量為

圖1 6-PSS并聯機器人

輸出位姿矢量為

2 正解方法描述

雅可比矩陣J通常定義為關節空間向操作空間運動速度傳遞的廣義傳動比[7]，由于速度可以看成是單位時間內物體的微分運動，因此機構的雅可比矩陣也可以看成為輸入微分運動與輸出微分運動的轉換矩陣，設輸入微分運動為

基于上面的微分原理可以得到

那么，當知道一組精確對應的輸入輸出矢量時，通過式（1）就可以求出輸入經微小變化后的輸出矢量，這組精確對應的輸入輸出位置矢量可以選擇機構的初始裝配位姿，設機構在初始位姿時，輸入矢量為L0，輸出矢量為R0，輸入經dL的微小變化后，對應的輸出矢量R1則變化為

其中，雅可比矩陣J是關于輸入的函數，為了便于計算可以取微分變化前的值，則式（4）可轉化為

式中，J0表示微動前雅可比矩陣的值。

設對機構進行第i次大小為dL的微分運動時所用到的雅可比矩陣為Ji-1,那么結合式（5）就可以得到經過i次微分運動后機構的輸出位姿，設此時的位姿為Ri，則有

通過式（6）已經可以對任意時刻機構的位置正解進行求解，但由于J取值的不精確以及微動量大小的影響，每次求解所得的結果是有一定的誤差的，且最終結果的誤差是整個求解過程中誤差的累計，因此在進行大跨度求解時誤差量是非常大的，這就需要在每次求解的時候對求解結果進行修正。因此本文在求解的過程中加入了牛頓迭代法作為其修正公式，即將每次微動后的結果Ri作為牛頓迭代的初始值，后進行多次迭代[8]，迭代后的值記為Ri′，那么

然后將修正后的值Ri′作為求解下一點的基點，連續求解就可以得到機構任意位置的較精確的位置解。

基于上面的原理描述可以得到并聯機構正解解決思路，具體步驟描述如下：

1）利用公式（2）求出機構的反解方程組，確定機構初始裝配位姿時的輸入矢量L0和輸出矢量R0，稱其為基準輸入與基準輸出，并確定機構的雅可比矩陣J的通式。

2）任意給出一組輸入矢量，記為L= （l1l2... ln）T。求出給定輸入與基準輸入的差，并將其微分為n等份，記為

dL即可作為求解過程中的微動量。

3）結合式（6）和式（8），對位姿方程組（2）進行迭代求解即可求出機構的位置正解。

3 正解實例運算

本文以圖2所示的機構為例進行實例運算，該機構的6條PSS支鏈分為兩組，第一組分布在垂直于定平臺的方向上，其與定平臺相連的球鉸均勻分布在半徑為r的圓上，初始位姿時，這3條支鏈是相互平行的。第二組的3條支鏈按120°均勻分布在平行于固定平臺的平面內，如圖2所示，設兩組支鏈交錯分布產生的角∠B1QB4為θ。初始位姿時，3條支鏈構成的方向矢量與大小為R的圓相切，初始裝配位姿時，各個支鏈的長度均為L。各個支鏈中定長連桿的長度為d。建立圖2（b）所示的坐標系，初始位姿時，動定坐標系重合。

圖2 新型6-PSS 并聯機器人

針對該新型并聯機構，初步確定的機構參數為：6條支鏈的分布半徑均為R=r=600 mm，每個分支定長桿長度d=1200 mm，初始位姿時動定平臺間的距離為2000 mm，微分份數n=100，校正次數m=2，利用式（2）求解出反解方程，設初始位姿時，六分支的輸入位移為

利用反解方程求出此時末端位姿為

隨機給出6 組輸入位移矢量如表1 所示，借助MATLAB軟件按前文所述步驟編寫程序，進行機構正解求解，結果如表2所示，再將表2中的數據代入反解方程中進行驗證，得到的結果如表3所示；借助三維軟件繪制該機構的三維模型，并用測量的方法對上述表2的內容再一次進行驗證，驗證結果如表4所示。

表1 各分支輸入位移矢量 mm

表2 正解求出的輸出位姿矢量

表3 反解驗證結果 mm

表4 模型測量結果 mm

對比表1、表3中的數據可知，該方法求得的正解結果具有非常高的精度，再對比表2、表4中的數據可以看出，該種方法是正確的，具有較高的實際應用價值。

4 結 論

通過對該新型六自由度并聯機構的正解求解可以看出，這種正解求解方法可以極大地提高求解的精度，減少了循環次數，增大了求解范圍，不依賴于額外的求解條件，經驗證，該方法的適用范圍較廣，并能得到較穩定的結果。