一種基于乘子法的結構可靠性分析方法

徐柳， 王錟， 杜義賢， 劉晉瑋， 黃文超， 王林軍

（三峽大學a.水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室；b.機械與動力學院，湖北 宜昌443002）

0 引 言

在工程設計中，材料不均勻、安裝誤差等問題的存在，往往會對結構性能造成各種影響甚至破壞。傳統結構設計沒有考慮施工過程中的不確定因素，而實際施工中載荷和材料性質等不斷變化，這些不確定因素會使失效概率不斷增大。為了確保產品的結構可靠性，有必要對不確定結構可靠度分析方法進行研究。目前，大量研究者為了解決實際工程問題，發展和提出了許多先進的計算方法[1-6]。徐強等[7]提出了大壩體系可靠度改進計算方法；黃逸群等[8]對實際工程問題中隧道型鋼噴混凝土初期支護進行可靠度計算；高東川等[9]使用一次二階矩理論中心點法預測了支護后的軟巖巷道圍巖的穩定性；肖宇峰[10]提出了一種基于子網同構判定的高效計算方法；李懷龍等[11]計算了軌道板橫向寬軌枕單元的軌下截面和板中截面的可靠度；李奎等[12]研究了深埋隧道素混凝土襯砌可靠度計算模型，并進行了相關可靠性分析計算；王鵬等[13]提出了基于應力-強度模型的DTECS -2 設備可靠度計算方法；Hamed Fazlollahtabara等[14]提出了一個用于可靠度計算的集成馬爾可夫和反向傳播神經網絡。通過分析發現，乘子法在處理實際工程結構可靠性分析問題時具有較好的效果。

基于此，本文提出一種基于乘子法的結構可靠分析方法，該方法穩定有效地解決不確定結構可靠度指標求解問題，數值算例和工程實例驗證了所提出的方法在解決可靠性分析問題時具有較好的穩定性和有效性。

1 乘子法理論介紹

在最優化理論中，罰函數法是求解約束優化問題的一個重要方法，把約束優化問題轉化成一個或一系列的無約束優化問題，通過無約束問題來求解約束極值問題。通常采用的方法是在原目標函數加上一個“懲罰項”來迫使迭代點逼近可行域。通常情況下，必須使用罰參數與約束條件來構造懲罰項。當前迭代點不是可行點時，就要構建懲罰項，并且使得懲罰隨著不可行點到可行域距離的增大而變大；可行點處不實施懲罰。懲罰項強制迭代點逼近可行域，最終落入可行域。外罰函數法結構簡單，可以直接調用無約束優化算法的通用程序, 但是也具有局限性，罰參數σk→+∞,會使得增廣目標函數變得“越來越病態”。為了改善這種局限，在乘子法中引入拉格朗日函數，并加上適當的罰函數。Powell和Hestenes在1969年針對等式約束優化問題同時獨立提出了乘子法，后來Rockfellar在1973年將乘子法推廣到求解不等式約束優化問題。從原問題的拉格朗日函數出發,加上適當的罰函數,可以將原問題轉化為一系列的無約束優化子問題。

對于等式約束問題，數學模型可以表示為：

其中，h（x）=[h1（x）,h2（x）,…,hl（x）]T，可行域D={x∈Rn|h（x）=0}，拉格朗日函數為

2 可靠度算例

2.1 數值算例

極限狀態方程為

x1與x2相互獨立，且均服從正態分布。變量分布參數取值如表1所示。根據本文方法，經過4次迭代，求得可靠度指標β=2.3302，迭代計算數據見表2。使用改進一次二階矩（AFOSM）法檢驗，經過11次迭代，求得可靠度指標β=2.3302，迭代計算數據見表3。兩種方法的可靠指標計算結果及失效概率見表4。

表1 各隨機變量分布參數取值情況

表2 乘子法迭代計算數據

表3 AFOSM法迭代計算數據

表4 兩種方法的可靠指標計算結果及失效概率

根據表2和表3可知，與可靠度指標β越大、失效概率Pf越小的一般規律相吻合。隨著迭代過程的進行，可靠度與失效概率均逐漸趨于穩定，本文方法只需經過4次迭代即可得出結果，而AFOSM法則需要經過11次迭代才能得出結果。根據表4，使用本文方法和AFOSM法，最終都收斂于點（11.1855,1.6549），可靠度指標β=2.3302，失效概率Pf=0.0099。兩種方法的可靠度指標和迭代次數之間的關系如圖1所示。本文方法的目標函數收斂曲線如圖2所示，目標函數等值線如圖3所示，目標函數等值線局部放大圖如圖4所示。AFOSM法的目標函數曲線圖如圖5所示,目標函數等值線如圖6所示，目標函數等值線局部放大圖如圖7所示。

圖1 迭代次數和可靠度之間的關系

圖2 乘子法目標函數曲線圖

圖3 乘子法目標函數等值線

圖4 乘子法目標函數等值線局部放大圖

從圖1～圖7中可看出，本文方法和AFOSM法在求解可靠度指標時都能得到穩定和有效的解，但本文算法很快收斂，且得到精度較高的解。總之，本文所提出的方法對于不確定結構可靠度優化設計問題具有較好的適用性。

圖5 AFOSM法目標函數曲線圖

圖6 AFOSM 法目標函數等值線

圖7 AFOSM法目標函數等值線局部放大圖

2.2 汽車側碰分析

在交通事故中，汽車發生側面碰撞時緩沖空間小，車體變形大。側圍結構侵入量、侵入速度和侵入形態等對乘員安全性具有較大影響，B柱最大侵入量是衡量汽車側碰中耐撞性的重要指標。可移動障壁以50 km/h的速度從側面撞向汽車側身，側碰有限元模型如圖8所示，車輛側碰設計變量如圖9所示，以汽車關鍵設計尺寸中左側車體框架厚度x1、左前車門防撞梁厚度x2、左側A柱內板厚度x3和外板厚度x4為設計變量，邊緣BPA如表5所示，x1、x2、x3、x4相互獨立[15]。

圖8 汽車側碰有限元模型

圖9 車輛側碰設計變量

借助實驗設計，運用拉丁超立方設計方法從設計空間中選28個樣本點，調用有限元模型分析，構建最大侵入量b的響應面函數。B柱下端最大允許侵入量bmax=290 mm，可建立如下極限狀態方程：

列出以下3種參數取值，求解可靠度指標。

3 結 論

本文針對具有一定非線性程度功能函數的可靠性分析問題，提出了一種基于乘子法的結構可靠性分析方法。該方法充分利用外函數求解非線性優化問題的優點，從乘子法的KT條件出發，快速求解追蹤到最優點。數值算例和工程算例的計算結果表明，相對于AFOSM方法，本文所提出的方法對求解非線性程度較高的極限狀態方程具有較好的收斂速率。同時，本文方法將來可應用于一些復雜工程問題結構的可靠度反問題中，還可以應用在串并聯可靠性分析求解問題。