線性引力論的引力磁分量及其磁效應(yīng)

郝迪 郭三棟 馬智遠 惠宇廷

(西安郵電大學(xué)電子工程學(xué)院,西安 710121)

根據(jù)廣義相對論,弱場近似條件下引力場中不僅含有經(jīng)典的牛頓引力場,還存在一種類比于磁場概念的引力“磁”場,引力磁場的命名借用了電動力學(xué)中磁場的概念.為了研究引力磁場的物理性質(zhì)和它引發(fā)的一些關(guān)聯(lián)效應(yīng),本文首先從線性愛因斯坦方程出發(fā),利用相似變換的方法從方程的二級張量場中分解出了引力的“磁”分量并定義了引力磁場;在此基礎(chǔ)上考慮了一種通有勻速流體的環(huán)狀微管模型,通過電動力學(xué)的分析方法研究了遠離微管區(qū)域的引力磁場分布特征,重點在計算過程中改進了以往對這類環(huán)狀模型引力磁場的計算方法,表明了這類模型的引力磁場遠場分布模式與磁偶極子磁場的遠場分布類似;之后利用類磁場的性質(zhì)研究了引力磁場的動力學(xué)特征,首次研究了測試粒子在線性時變引力磁場及余弦時變引力磁場中的運動規(guī)律,同時通過設(shè)計一種具有雙層結(jié)構(gòu)且通有加速流動流體的環(huán)狀微管模型改進了前人對時變引力磁場中引力感應(yīng)、慣性系拖曳現(xiàn)象的研究辦法,從更清晰的角度用更簡單的數(shù)學(xué)通過引力電磁理論研究和展示了引力感應(yīng)現(xiàn)象和廣義相對論中的慣性系拖曳現(xiàn)象.全文為引力磁場及其關(guān)聯(lián)效應(yīng)的研究提供了一些新的方法和思路.

1 引 言

描述弱引力場規(guī)律的線性愛因斯坦方程在數(shù)學(xué)形式上是一個非齊次的波動方程,它是愛因斯坦場方程在弱場近似條件下的結(jié)果.1918年,Lense和Thirring在求解線性愛因斯坦方程時發(fā)現(xiàn),這樣一個與電磁場d’Alembert方程相似的引力場方程若滿足適當(dāng)?shù)淖儞Q條件可以分解成與Maxwell方程內(nèi)容相似的4個獨立方程[1],它們分別對應(yīng)了電場和磁場各自的散度及旋度方程.由于從引力場方程中分解出了引力的磁分量,那么引力理論中便引入一種不同于牛頓引力場的新形式場,將其稱作引力磁場 (gravitomagnetic field),引力的磁效應(yīng)后來也被統(tǒng)稱作Lense-Thirring(L-T)效應(yīng)[1,2].引力磁場的研究熱度持續(xù)至今,人們根據(jù)引力磁場與經(jīng)典磁場的對應(yīng)關(guān)系相繼建立了“引力洛倫茲力”、“引力電動勢”、“引力感應(yīng)”等全新的物理概念,并據(jù)此更為簡便地解釋了廣義相對論的慣性系拖曳效應(yīng)[3],同時人們還設(shè)計了一系列實驗來驗證引力的磁效應(yīng),很多實驗都直接或間接地證明了引力磁場及其連帶效應(yīng)的真實性,詳見文獻[4?8].

引力磁場是弱引力場問題中的一個新穎且重要的物理概念,而通過一些具體的物理模型來研究引力磁場的性質(zhì)是解決實際弱場問題的重要手段.截至目前,研究者設(shè)計了多種物理模型對引力磁場的空間分布模式以及動力學(xué)效應(yīng)進行研究.在場的分布模式方面,Ruggiero[2]設(shè)計了模擬太陽系行星軌道的剛性旋轉(zhuǎn)圓環(huán)模型,研究了圓環(huán)遠場及環(huán)內(nèi)的引力磁場分布情況.Mashhoon等[9]總結(jié)過低速旋轉(zhuǎn)引力源引力磁場分布模式的一般形式.文獻[10]研究了剛性旋轉(zhuǎn)球殼模型的引力磁場,還基于開普勒軌道模型研究了大質(zhì)量旋轉(zhuǎn)環(huán)的引力磁場.在引力磁效應(yīng)方面,Tajmar和Assis[3]通過一種旋轉(zhuǎn)球殼模型研究了引力磁場的磁感應(yīng)效應(yīng),該研究有助于引力磁感應(yīng)效應(yīng)在球殼類模型中的推廣.同時,Bini等[11]通過一種連通圓環(huán)模型研究了引力磁感應(yīng)效應(yīng),并總結(jié)了這類感應(yīng)效應(yīng)與法拉第電磁感應(yīng)之間的差異,Tartaglia和Ruggiero[12]還研究了大質(zhì)量旋轉(zhuǎn)體的引力磁感應(yīng)效應(yīng).在動力學(xué)性質(zhì)方面,文獻 [11,13?15]均研究了被測物體在引力磁場中的運動規(guī)律,同時Mashhoon[16]通過一種可激發(fā)線性時變引力磁場的引力源模型研究了時變引力磁場對測試陀螺儀進動現(xiàn)象的影響.

然而,在以上圍繞具體模型展開的引力磁場及引力磁效應(yīng)的研究中,很多都存在一些不可避免的缺陷.例如Ruggiero[2]的模型是僅針對宏觀行星運動軌道所設(shè)計的,并沒有說明其結(jié)論是否適用于微觀或其他環(huán)狀模型的情形,且他們對環(huán)狀模型引力磁場遠場分布模式的求解過程過于復(fù)雜,不具備應(yīng)用的普適性;Tajmar和Assis[3]用于研究引力磁感應(yīng)效應(yīng)的球殼模型由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性而不利于內(nèi)環(huán)受力情況的分析,同時該研究缺乏對內(nèi)外閉合環(huán)路與引力感應(yīng)過程之間相關(guān)性的演示;而在引力磁場動力學(xué)效應(yīng)的研究中,國內(nèi)外一直缺乏對時變引力磁場中粒子運動規(guī)律的研究,而粒子在時變引力磁場中的運動又是弱引力場研究中的一個重要部分.為了彌補舊模型的缺陷,簡化以往研究過程中的復(fù)雜計算從而改進以往的研究手段,本文基于Ruggiero[2]及 Tajmar和 Assis[3]設(shè)計的模型,建立了一類以環(huán)狀微管結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的簡單物理模型,這類模型受自然界中最小磁單元——磁偶極子的啟發(fā),具有可激發(fā)引力磁場的基本單元屬性,在引力磁效應(yīng)的研究中會更具有普適性.利用這類微管模型,本文重新研究了引力磁場的空間分布模式,且在此過程中極大地簡化了以往對這類環(huán)狀模型引力磁場的計算過程,并首次對這類模型的場分布作了仿真,這對今后環(huán)狀模型引力磁場的計算和研究提供了便利.在此基礎(chǔ)上,設(shè)計了一種具有雙層結(jié)構(gòu)的微管模型,通過這種相對簡單的結(jié)構(gòu),利用比Tajmar和Assis[3]設(shè)計的球殼模型更為簡單的數(shù)學(xué)研究了引力磁感應(yīng)效應(yīng),并據(jù)此更為方便地解釋了引力電磁理論背景下的慣性系拖曳現(xiàn)象,有望為地面實驗室中研究引力磁感應(yīng)現(xiàn)象及慣性系拖曳現(xiàn)象提供便利的理論基礎(chǔ).除此之外,本文還首次研究了中性粒子在線性時變及余弦時變引力磁場中的運動軌跡,從而彌補了以往引力磁場動力學(xué)研究中關(guān)于粒子運動方面的缺陷.

2 引力的磁效應(yīng)

2.1 引力場方程中的引力磁分量

廣義相對論中,引力場的愛因斯坦方程寫作[17]

其中,Rμν是描述時空彎曲程度的里奇張量,Tμν代表物質(zhì)場的能動張量,G為引力常數(shù),c為光速.時空近似平直 (gμν=ημν+γμν) 時,采用弱場近似條件[17],(1)式將退化成一個線性偏微分方程,表示為

令物質(zhì)場的能動張量為一個4維行向量,表示為

其中,T00=ρmc2代表能量密度,T0i=?jmc(i=1,2,3)代表能流密度.同時令二級張量場γˉμν也為一個4維行向量,表示為

顯然,(4)式及(5)式分別對應(yīng)了電動力學(xué)中電磁場標勢和矢勢所滿足的波動方程,此時引力場的類電磁學(xué)性質(zhì)已經(jīng)顯現(xiàn)出來.進一步可用引力場的廣義標勢和廣義矢勢定義引力場的兩個場量如下:

采用常見的洛倫茲規(guī)范條件,(4)式及(5)式將分解成Maxwell方程的基本形式,表示為

方程(8a)—(8d)就是引力電磁理論(gravitoelectromagnetism,GEM)的 4 個基本方程,本文得到的結(jié)論與Mironov和Mironov[18]以及Demir[19]給出的結(jié)論在形式上基本一致,而內(nèi)容上的差異源于對廣義標勢和廣義矢勢定義的不同,不同的定義方式得到的結(jié)論會有所差別.從類比角度來看,方程中的b就是對應(yīng)于磁場概念的引力磁場.從 (8a)式—(8d)式分析中可知,b是對引力場廣義矢勢旋度的結(jié)果,而引力場廣義矢是線性愛因斯坦方程場量空間分所以引力磁場可見引力磁場就是場量的一個分量,它是線性引力論的一個特有結(jié)果.

當(dāng)引力源由一種具有限定范圍且運動緩慢的松散物質(zhì)組成時,那么其能動張量的i,j分量表示為Tij～ρmvivj+pδij[20],其中p為應(yīng)力.由于物質(zhì)源的運動緩慢,所以|v|?c,再考慮到物質(zhì)為松散介質(zhì),所以應(yīng)力p在數(shù)量級上也遠小于光速c,則那么根據(jù) (10)式,此時這些無窮小項就可以忽略不計[20].所以總結(jié)為,當(dāng)所研究的引力源滿足①具有限定范圍;②運動速度緩慢,|v|?c;③應(yīng)力p數(shù)量級很小的條件時,可以不考慮含c?4的無窮小場量,那么此時的張量場將表示為

在略去O(c?4) 的條件下,表征GEM理論的(8)式便是成立的.而對于地面實驗室環(huán)境,地球系統(tǒng)以及太陽系等弱引力場情形而言,這類限定條件總是滿足的,這也是可以利用空間實驗及地面實驗來驗證引力磁效應(yīng)的原因.

2.2 引力磁場及其關(guān)聯(lián)效應(yīng)的實驗驗證

對引力磁場及引力磁效應(yīng)的實驗驗證是證明廣義相對論正確的一個途徑,也是表明引力磁場具備可研究意義的必要條件.這類驗證最初是通過以GP-B實驗衛(wèi)星為首的空間實驗展開的,其主要的一個目標就是以預(yù)期1%的精度驗證廣義相對論中的慣性系拖曳效應(yīng)[4,5].這種慣性系拖曳體現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)引力源會對其周圍的慣性參考系產(chǎn)生拖曳力,其強度與引力源的自轉(zhuǎn)角動量(或角速度)成正比關(guān)系.因為慣性系拖曳可以看作是慣性系質(zhì)點受到了轉(zhuǎn)動參考系中科里奧利力的作用,根據(jù)等效原理這種慣性力對應(yīng)于電動力學(xué)中被測電荷受到的磁洛倫茲力,所以轉(zhuǎn)動參考系的角速度就對應(yīng)了磁場的概念,這也是將引力磁場與轉(zhuǎn)動參考系角速度相關(guān)聯(lián)的一個原因,本文4.1節(jié)中關(guān)于測試粒子在弱引力場中運動規(guī)律的內(nèi)容對這一點作了進一步說明.GP-B實驗衛(wèi)星的目的就是想通過測量慣性系拖曳的結(jié)果來驗證引力磁效應(yīng),從而驗證廣義相對論的正確性,但因為實驗最終的精度只控制到了19%[4],并沒有達到預(yù)期的1%,所以整個實驗的結(jié)論并沒有得到廣泛的認可.而截至目前,能夠精準表明引力磁場及引力磁效應(yīng)真實存在的證據(jù)可以體現(xiàn)在以下幾個實驗和推論當(dāng)中:

1)比較受關(guān)注的一項實驗是由Tajmar等[8]進行的液氦低溫超導(dǎo)鈮環(huán)旋轉(zhuǎn)實驗,這是研究人員首次在地面實驗室中檢測到了可測量性的引力磁場,該實驗也受到了GP-B實驗衛(wèi)星負責(zé)人Everitt的肯定[21].根據(jù) de Matos和 Tajmar[22]的理論,超導(dǎo)鈮環(huán)中的引力子由于獲得了質(zhì)量從而使旋轉(zhuǎn)的鈮環(huán)能夠產(chǎn)生比以往更強的引力磁場.研究者將鈮環(huán)置于液氦低溫環(huán)境下,利用伺服電機驅(qū)動鈮環(huán)做繞中心軸旋轉(zhuǎn)的加速運動,同時在鈮環(huán)附近多個位置放置了粒子加速度計用以計量拖曳力,實驗結(jié)果顯示加速度計受到了強烈的拖曳力,檢測到的加速度場的平均值是噪聲(干擾信號)的3.3倍以上.現(xiàn)普遍認為 de Matos的理論是正確的,該實驗同時也驗證了引力磁場及慣性系拖曳現(xiàn)象的真實性[8];

2)另一項能夠驗證引力磁效應(yīng)的實驗是中子–引力干涉實驗.最早由Aharonov與Carmi[23]根據(jù)等效原理提出引力體系中存在類似于Aharonov-Bohm(A-B)效應(yīng)的Aharonov-Carmi(A-C)效應(yīng),即在旋轉(zhuǎn)坐標系中沿閉合路徑傳播的物質(zhì)波將獲得一個幾何相位因子,該相位因子與旋轉(zhuǎn)坐標系的角速度相關(guān),在GEM理論中這個相位因子就與引力磁場有關(guān).Overhauser與Colella[24]根據(jù)這種推論設(shè)計了中子–引力干涉實驗,用于證明中子物質(zhì)波的A-C效應(yīng),由此也能證明引力磁場的真實性.后來研究者們利用理想晶體硅干涉儀,在一系列中子干涉實驗中觀測到了大質(zhì)量粒子在引力磁場作用下的幾何相移[25],并通過分析干涉儀自身彈性形變引起的系統(tǒng)效應(yīng)排除了實驗誤差,進一步確定了A-C效應(yīng)的正確性和GEM理論的正確性;

3)最近一項關(guān)于慣性系拖曳現(xiàn)象的重要實驗是由Krishnan等[26]對脈沖雙星系統(tǒng)PSR J1141-6545的研究而展開的,該實驗從脈沖雙星系統(tǒng)中觀測到了比GP-B實驗衛(wèi)星更為顯著的慣性系拖曳效應(yīng).研究者通過脈沖計時法發(fā)現(xiàn)了PSR J1141-6545系統(tǒng)軌道參數(shù)發(fā)生的漂移現(xiàn)象,為了解釋該現(xiàn)象,Krishnan等[26]將廣義相對論的L-T進動效應(yīng)的影響引入到系統(tǒng)中,因此這類表征軌道參數(shù)漂移的數(shù)據(jù)得到了很好的解釋.通過大量的數(shù)值模擬,實驗最終表明從這類脈沖雙星系統(tǒng)中觀測到了較為明顯的慣性系拖曳現(xiàn)象,也從很好的精度上證實了慣性系拖曳現(xiàn)象的正確性,彌補了GP-B實驗衛(wèi)星精度性差的缺陷,同時再次證明了廣義相對論的正確性.對慣性系拖曳現(xiàn)象的證明也說明了引力磁場及其關(guān)聯(lián)效應(yīng)的真實性,這一點也將促進人們對引力磁場的研究.

對以往驗證引力磁場及其關(guān)聯(lián)效應(yīng)的實驗作了討論后,本文重點關(guān)注地面實驗室中對引力磁效應(yīng)的研究.根據(jù) Tajmar和 de Matos[27]已有的實驗結(jié)論以及建議,我們將試圖建立一些通有超流體的簡單環(huán)狀微管模型來研究引力磁場及其關(guān)聯(lián)效應(yīng)的性質(zhì),從而為在地面實驗室中研究引力磁效應(yīng)提供一些可行的思路和辦法.

3 通有勻速流體的環(huán)狀微管的引力磁場

3.1 環(huán)狀微管模型的引力磁場遠場分布

本節(jié)研究勻速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的引力磁場遠場(遠離場源中心的任意點位置)分布表達式.選定勻速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)模型作為研究對象的原因在于,電動力學(xué)中由小尺度閉合環(huán)電流構(gòu)成的簡單磁偶極子單元是自然界中最基本的磁單元,同樣也是靜磁場研究中的一個重要物理模型.假定勻速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)模型也是靜引力磁場的一種基本單元,從這種基本單元出發(fā)可以通過疊加原理得到任何形式的引力磁場分布.

為此,本文設(shè)計了如圖1所示的圓環(huán)模型,需要說明的是由于在實驗上不易實現(xiàn)圓環(huán)剛體繞其軸心穩(wěn)定旋轉(zhuǎn),所以本文改用向環(huán)狀微管內(nèi)通入勻速流動的均勻流體(或超流體[27])來等效勻速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)模型(后簡稱微管模型).

圖1 通有勻速流體的環(huán)狀微管模型Fig.1.The circular microtube model with uniform velocity fluids.

本節(jié)旨在得到微管模型引力磁場的遠場分布表達式從而研究其空間分布特征.前面的分析中已經(jīng)定義了引力場的廣義矢勢,而通過求廣義矢勢Ag的旋度就可以得到引力磁場b的數(shù)學(xué)表達式,所以針對引力磁場的求解要依賴于廣義矢勢Ag.方程(5)所對應(yīng)的希爾伯特推遲解為

在一維環(huán)路上,該推遲解用閉合環(huán)路積分表示為

則根據(jù) (14)式及 (15)式,|r?r′|可以表示為

進一步,得到其倒數(shù)形式為

在遠場區(qū)考慮到r?R,則(17)式中的項可略去,則有

對(18)式應(yīng)用廣義二項式定理展開,有

略去含ε2項及其之后的所有無窮小項,只保留(19)式的前兩項,則有

將(16)式及(20)式代入(13)式中,引力磁矢勢表示為

定義微管內(nèi)流體的旋轉(zhuǎn)角動量為L=mvR,則引力磁矢勢用含角動量的形式表示為

利用引力磁場與引力磁矢勢的關(guān)系b=?×Ag,計算直角坐標系下微管模型的遠場區(qū)域引力磁場分布為

在此基礎(chǔ)上,用矢徑r及其模值代替上式中各分量的內(nèi)容,有

(22)式是基于對小尺度環(huán)狀微管模型引力磁場遠場分布模式的求解結(jié)果,與Ruggiero[2]對大尺度質(zhì)量環(huán)模型引力磁場遠場分布模式的計算結(jié)果類似.而這兩類結(jié)果的異同之處則體現(xiàn)在以下幾個方面:

1)模型的目標和適用性不同: Ruggiero[2]的結(jié)論是針對宏觀行星模型的運動軌道所得到的引力磁場遠場分布模式,并未說明這類計算結(jié)果是否適用于微觀或其他環(huán)狀模型的情形,是否能夠解釋其他形式引力磁場的產(chǎn)生機制;而(22)式是考慮了一種普遍的可以激發(fā)引力磁場的最小引力磁單元—小尺度閉合微管模型,相比于大質(zhì)量環(huán)模型,這種類磁偶極子的微觀模型作為本文所假設(shè)的基本引力磁單元在引力磁效應(yīng)的研究中更具有普適性;

2)方程的物理內(nèi)容不同: 在Ruggiero[2]的結(jié)論中,與(22)式相似的遠場結(jié)果表示為[2,9]

其表征了距離中心天體R處的圓形軌道上由于物體運動產(chǎn)生的遠場區(qū)的引力磁場.式中的s表示圓形軌道上運動物體的角動量,其單位模值為|s0|=s0=vR,v為運動物體的軌道線速度;而在(22)式中,取代s的物理量為微管中流體流動產(chǎn)生的相對于圓環(huán)中心的角動量L,其單位模值也為vR,但v作為流體的流速可以被人為調(diào)節(jié),從而可以實現(xiàn)對引力磁場強度的調(diào)控;

3)方程的求解過程不同: (22)式的求解過程避免了在求解引力磁矢勢Ag的過程中對復(fù)雜分式的直接積分,這一點是對Ruggiero[2]做法的一個改進.如 (13)式—(20)式所示,本文采用了“先近似,后積分”的辦法,先對復(fù)雜分式作近似處理,再對簡化后的分式進行簡單積分.整個求解過程相比傳統(tǒng)的求解過程降低了復(fù)雜程度,縮短了計算過程.

單從數(shù)學(xué)形式上來看,(22)式類比于磁偶極子磁場在遠場空間的分布表達式,所以從定量角度出發(fā)可以認為在場的空間分布模式上,通有勻速流體的環(huán)狀微管模型很好地對應(yīng)了磁偶極子模型.

3.2 微管模型的引力磁場空間分布特征

根據(jù)微管模型的引力磁場遠場分布表達式以及微管模型與磁偶極子模型的對應(yīng)關(guān)系可以進一步繪制其引力磁場在全空間的分布圖像,從而直觀地表達微管模型的引力磁場空間分布特征.如圖2所示,本文通過仿真手段繪制了微管模型y-z平面(與微管垂直的平面)的引力磁力線分布圖,x-y平面(與微管平行的平面)的引力磁場強度色譜圖以及相應(yīng)的三維函數(shù)圖像.從仿真圖像反映出的信息能夠觀察到,這種特殊的分布模式與磁偶極子磁場的分布模式類似,本文認為不論是從定量關(guān)系出發(fā)還是從定性關(guān)系出發(fā)都可以認為微管模型很好地對應(yīng)了磁偶極子模型,這與Ruggiero[2]得到的結(jié)論基本一致.

圖2 微管模型引力磁場遠場分布特征 (a) 微管模型y-z平面沿y方向的引力磁場分布色譜圖;(b) 微管模型x-y平面沿y方向的引力磁場強度分布特征圖;(c) 微管模型x-y平面沿y方向上引力磁場強度隨y坐標軸的變化曲線Fig.2.The far-field distribution of GM field in the microtube model: (a) The intensity plots of GM field's along y-direction in y-z plane of microtube model;(b) the distribution of GM field's along y-direction in x-y plane of microtube model;(c) the b-y function along y-direction in x-y plane of microtube model.

從圖2(a)的色譜仿真上可以看到微管模型yz平面沿y方向上的引力磁場分布特征.可以看到在遠場區(qū)中,y方向上引力磁場的強度是從微管邊緣向遠場區(qū)域逐步衰減的,再結(jié)合圖2(c)的曲線可以看到這種衰減速度很快.對應(yīng)到(22)式所表征的引力磁場遠場分布表達式,代入L=Lez,r=xex+yey+zez,L·r=Lz,(22)式可分解為

令x=0 ,則得到y(tǒng)-z平面的引力磁場分布

再令z=0 ,得到微管模型y-z平面沿y方向上的引力磁場

類似地,根據(jù)圖2(b)所示的仿真圖像可以研究x-y平面的引力磁場分布特征,可以看到引力磁場的強度同樣也是從微管邊緣向遠場區(qū)域逐步衰減的.對應(yīng)到(22)式所表征的引力磁場遠場分布表達式,代入L=Lex,L·r=Lz,(22)式可寫成

令z=0 ,則得到x-y平面的引力磁場分布

另外,從圖2(b)及圖2(c)的仿真圖像上可以研究微管環(huán)內(nèi)部引力磁場的分布特征,可以看到在x-y平面沿y方向上,引力磁場的強度在環(huán)內(nèi)從環(huán)邊緣向圓心處逐步遞減,圓心處的場強為環(huán)內(nèi)部的最小值,數(shù)值為零.不論是環(huán)外還是環(huán)內(nèi),引力磁場的衰減程度都比較劇烈,引力磁場的最大值總是出現(xiàn)在微管的邊緣附近.

4 引力磁場的動力學(xué)特征及動力學(xué)效應(yīng)

4.1 測試粒子在弱引力場中的運動

測試粒子在弱引力場中的運動是引力磁場動力學(xué)效應(yīng)的一個重要的研究內(nèi)容.在轉(zhuǎn)動坐標參考系下,一個測試粒子(質(zhì)荷)將受到慣性離心力和科里奧利力 (Coriolis force)這兩種慣性力[28],而在2.2節(jié)中提到的A-C效應(yīng)就是粒子動量與旋轉(zhuǎn)參考系之間的相互作用,該作用本質(zhì)上歸結(jié)于運動物質(zhì)所受到的科里奧利力[29].A-C效應(yīng)中的科里奧利力類比于A-B效應(yīng)中的洛倫茲力(磁場力),根據(jù)等效原理可認為科里奧利力就是測試粒子在引力磁場中的受力,其中轉(zhuǎn)動坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度ω對應(yīng)了引力磁場b.這也就說明在引力磁場中,運動的粒子將受到一種類似于磁洛倫茲力的引力洛倫茲力.

現(xiàn)設(shè)定一個物理場景,一個質(zhì)量為m的中子作為測試粒子以相對轉(zhuǎn)動參考系為v的速度進入到參考系中,參考系的旋轉(zhuǎn)角速度為ω,則中子受到的慣性力為

其中,Fcen為慣性離心力,Fcor為科里奧利力.參考Mashhoon等[30]的做法,根據(jù)等效原理令b=?2ω,則試探粒子受到的引力洛倫茲力可以表示為

所以,在弱引力場中描述測試粒子的運動方程可以表示為:

而另外一個重要的引力磁效應(yīng)——引力磁場的耦合效應(yīng),其本質(zhì)上是自旋粒子與轉(zhuǎn)動參考系之間的相互作用[29],即在引力磁場b是時變的前提下,固定在參考系上的粒子波(物質(zhì)波)將產(chǎn)生一個與自旋相關(guān)的幾何相位因子.因此,我們考慮研究測試粒子在時變引力磁場中的運動規(guī)律,并繪制粒子在時變引力磁場中的運動軌跡,因為這可能對引力磁場的探測起到有效作用.在時空中,經(jīng)典牛頓引力場和引力磁場在直角坐標系下展開后表示為:位矢r與速度v在直角坐標系下表示為:

圖3 模式一下測試粒子的運動軌跡 (a) 測試粒子在線性時變引力磁場中運動軌跡的左視圖;(b) 測試粒子在線性時變引力磁場中運動軌跡的主視圖;(c) 測試粒子在線性時變引力磁場中的全空間運動軌跡Fig.3.The test-particle's track in linear time-varying GM field: (a) The left view of the test-particle's track;(b) the main view of the test-particle's track;(c) the test-particle's track in the whole space.

將(33)式、(34)式及(35)式代入(32)式中,測試粒子在弱引力場中沿各空間分量x,y,z方向的動力學(xué)方程表示為:

圖4 模式二下測試粒子的運動軌跡 (a) 測試粒子在余弦時變引力磁場中運動軌跡的俯視圖;(b) 測試粒子在余弦時變引力磁場中運動軌跡的左視圖;(c) 測試粒子在余弦時變引力磁場中的全空間運動軌跡Fig.4.The test-particle's track in cosine time-varying GM field: (a) The top view of the test-particle's track;(b) the left view of the test-particle's track;(c) the test-particle's track in the whole space.

保持引力電場g的空間分量 ,及 全部為零的前提下,令引力磁場b的x分量發(fā)生下列兩種模式的時變,它們分別對應(yīng)于引力磁場的線性時變和余弦時變,與此同時令引力磁場b的y分量在空間上進行非周期變化,即

根據(jù)(37)式—(39)式的微分方程,可以借助仿真軟件繪制測試粒子在兩種模式下的運動軌跡,如圖3及圖4所示.

4.2 引力感應(yīng)效應(yīng)和引力拖曳效應(yīng)

在第2節(jié)中,通過定義引力場的廣義標勢和廣義矢勢并采用洛倫茲規(guī)范條件得到了描述弱引力場運動的引力場 Maxwell方程.在方程中,(8b)式所描述的物理學(xué)規(guī)律對應(yīng)了電動力學(xué)的法拉第電磁感應(yīng)定律,它表示在弱引力場中時變的引力磁場能夠在空間激發(fā)感應(yīng)引力電場(即感生牛頓引力場),因此將(8b)式所描述的物理學(xué)規(guī)律稱作引力感應(yīng) (gravitational induction)效應(yīng).引力感應(yīng)效應(yīng)來源于線性愛因斯坦方程,它是線性引力論的一個特有現(xiàn)象,這也是線性引力理論區(qū)別于經(jīng)典引力論的一個動力學(xué)特征.

引力感應(yīng)現(xiàn)象的研究起步于20世紀70年代.實驗方面,最早由Braginsky等[31]針對引力感應(yīng)效應(yīng)設(shè)計了一系列有效的驗證實驗,這些實驗裝置的設(shè)計原理以法拉第電磁感應(yīng)定律為理論參考且結(jié)構(gòu)十分精巧,均能在實驗室中得以實現(xiàn).后期由Tajmar等[8]進行了液氦低溫超導(dǎo)鈮環(huán)旋轉(zhuǎn)實驗,有力地驗證了引力感應(yīng)現(xiàn)象的真實性;理論方面,由Tajmar和Assis[3]建立了一類旋轉(zhuǎn)球殼模型來研究引力感應(yīng)效應(yīng),如圖5所示,模型由靜止內(nèi)環(huán)和旋轉(zhuǎn)外球殼兩部分組成.該研究的基本思路是,外部球殼在外界驅(qū)動下旋轉(zhuǎn)角速度?發(fā)生時變將會激發(fā)時變引力磁場,時變引力磁場在靜止內(nèi)環(huán)的平面產(chǎn)生感應(yīng)引力電場,此時就會有一個方位角力作用在內(nèi)環(huán)的每個元素上,內(nèi)環(huán)因此將產(chǎn)生方位加速度開始旋轉(zhuǎn).Tajmar等根據(jù)旋轉(zhuǎn)球殼模型給出了引力感應(yīng)的表達式,但限于球殼模型的復(fù)雜性,文中未能利用電動力學(xué)的分析方法通過旋轉(zhuǎn)球殼模型來展示引力感應(yīng)的過程.因此,為了更加清晰地向讀者展示引力感應(yīng)的過程,本節(jié)將通過一種簡單的雙層微管模型來研究引力感應(yīng)效應(yīng).

圖5 用于研究引力感應(yīng)效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)球殼模型Fig.5.The rotating spherical shell model for studying the gravitational induction effect.

我們建立了如圖6所示的引力感應(yīng)演示模型,模型中1環(huán)的作用是為2環(huán)提供時變的引力磁場,1環(huán)中由B端向管內(nèi)流入一種均勻流體并從A端流出,2環(huán)中則填充相同且靜止的均勻流體.由于1環(huán)要產(chǎn)生時變的引力磁場,所以管內(nèi)流體的角動量應(yīng)當(dāng)是時變(含時)的.

圖6 基于微管模型的引力感應(yīng)演示模型Fig.6.The demonstration model for studying gravitational induction based on the microtube model.

如圖7(a)所示,設(shè)定流體的含時角動量為[11]

其中,L0為 1 環(huán)中流體的初始 (固有)角動量,L1為流體含時角動量的增長率.將 (40)式代入(21)式中,則由1環(huán)所提供的時變引力磁場在2環(huán)中的引力磁矢勢為[11]那么通過2環(huán)的時變引力磁通量可借助引力磁矢勢表示為

圖7 流體參數(shù)設(shè)定及渦旋場的仿真 (a) 流體含時角動量的線性函數(shù);(b) 環(huán)2所在平面內(nèi)激發(fā)的渦旋引力電場的強度色譜圖;(c) 環(huán)2內(nèi)流體的受力區(qū)域Fig.7.The parameter description of fluid and the vortex field’s simulation: (a) The linear function between the angular momentum L and time;(b) the distribution of vortex field in the z=0 plane which produced by the ring 2;(c)the fluid’s stressed region in the plane of the ring 2.

采用直角坐標系表示引力磁矢勢的各分量,即

則根據(jù)第二類曲線積分的求解方法,時變引力磁通量表示為

代 入 2環(huán)z=0 平 面 的 參 數(shù) 方 程x=r2cosθ,y=r2sinθ,有

對于2環(huán),由于1環(huán)向其提供了時變引力磁場,那么2環(huán)的引力磁通量也相應(yīng)發(fā)生時變,根據(jù)引力感應(yīng)效應(yīng)此時在2環(huán)所在的平面內(nèi)會激發(fā)出渦旋引力電場,強度及分布情況如圖7(b)所示.由于2環(huán)的管腔內(nèi)也填充了相同且靜止的均勻流體,那么受渦旋引力電場的作用流體將在2環(huán)管腔內(nèi)發(fā)生定向流動.類似地,把這種在一次回路中因質(zhì)荷加速運動(產(chǎn)生加速質(zhì)量流)而在二次回路中產(chǎn)生力的牽引作用的現(xiàn)象普遍稱作引力電磁理論背景下的引力拖曳(Gravitational dragging)現(xiàn)象或慣性系拖曳現(xiàn)象[3].

本模型中,在引力感應(yīng)效應(yīng)下2環(huán)中的均勻流體的每一個單位元素都會得到一個方位加速度,其在大小和方向上對應(yīng)了渦旋引力電場,而在電動力學(xué)中可以證明感生電場作為一種橫場是矢勢Ag的負時間微商[32],所以2環(huán)流體具有的這個方位加速度表示為

其中,gw表示渦旋引力電場.那么渦旋引力電場在2環(huán)的閉合環(huán)路上產(chǎn)生的引力電動勢表示為

此時,通過(44)式與(46)式能夠得到引力電動勢G與引力磁通量ψ之間的關(guān)聯(lián)如下

其通式表示為:

那么(48)式及(49)式所示的這種關(guān)聯(lián)性正是法拉第電磁感應(yīng)定律在引力場中的體現(xiàn),它們與(8b)式合起來是引力感應(yīng)效應(yīng)的特征表述.可以看到弱引力場中的引力感應(yīng)效應(yīng)與法拉第電磁感應(yīng)定律在形式上很相似,但仍然差一個1/2c因子,這本質(zhì)上是由于廣義引力標勢、廣義引力矢勢與電磁標勢、電磁矢勢在表示形式上的差別.

4.3 引力感應(yīng)、引力拖曳效應(yīng)的意義及展望

如本文 2.2 節(jié)中的介紹,Tajmar與 de Matos進行過一個與圖6所示模型原理相近的實驗,目的是驗證旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)鈮環(huán)是否可以產(chǎn)生比常溫非超導(dǎo)環(huán)境下更強的引力磁場.根據(jù)本文4.2節(jié)中的解釋,加速旋轉(zhuǎn)的鈮環(huán)作為一次回路會向全空間激發(fā)時變引力磁場,而在加速度計所在的二次回路中由于引力感應(yīng)效應(yīng)會產(chǎn)生渦旋引力電場(感應(yīng)引力電場),受渦旋引力電場的作用加速度計將受到拖曳力并產(chǎn)生計數(shù).最終實驗結(jié)果與理論預(yù)期一致,加速度計受到了強烈的拖曳力,檢測到的加速度場的平均值是噪聲(干擾信號)的3.3倍以上,這表明de Matos的理論是正確的,即低溫超導(dǎo)環(huán)境下的鈮環(huán)能夠產(chǎn)生比常溫環(huán)境下更強的引力磁場.此外,我們分析認為該實驗還有兩個十分重要的結(jié)論:

1)首次在地面實驗室中記錄到了具備可測量性的引力磁場,同時也驗證了線性引力理論及引力電磁理論(GEM)的正確性;

2)充分驗證了引力感應(yīng)現(xiàn)象及慣性系拖曳現(xiàn)象的真實性.

Everitt指出Tajmar等的實驗結(jié)果有望成為一些新技術(shù)的基礎(chǔ)[21],應(yīng)用低溫超導(dǎo)技術(shù)人們可以通過改變超導(dǎo)體的旋轉(zhuǎn)加速度及旋轉(zhuǎn)方向來設(shè)計一系列基于引力感應(yīng)和引力拖曳效應(yīng)的引力磁場激發(fā)裝置,這些裝置理論上能夠在空間任意方向上產(chǎn)生人們所需的拖曳力,從而有可能實現(xiàn)對任意物體的推動和懸浮,還可用于制造零重力環(huán)境.此外,除了低溫超導(dǎo)鈮環(huán)實驗,Tajmar和 de Matos[27]還推薦利用超流體(例如液態(tài)氦)代替旋轉(zhuǎn)鈮環(huán)重復(fù)他們的實驗,力求得到更為顯著的實驗效果.理論上,本文認為后期可以按照圖6所示的模型加工類似的環(huán)狀微管,并通入勻加速流動的液態(tài)氦(或其他超流體)完成超流體引力磁場激發(fā)裝置的測試,進一步驗證 Tajmar,de Matos等人的理論,同時本文期望能夠以該模型為基礎(chǔ)進一步在工程上實現(xiàn)引力感應(yīng)及引力拖曳效應(yīng)的應(yīng)用,為實際應(yīng)用中提供全新的、通用的動力.

至此,我們在第3節(jié)中研究了通有勻速流體的環(huán)狀微管模型的引力磁場遠場分布特征,在第4節(jié)中研究了引力磁場對應(yīng)的動力學(xué)效應(yīng),首次對測試粒子在時變引力磁場中的運動軌跡進行了研究,最主要地,利用結(jié)構(gòu)相對簡單的雙層微管模型模擬了引力感應(yīng)效應(yīng)的全過程,并定量計算和驗證了引力感應(yīng)效應(yīng),解釋了慣性系拖曳現(xiàn)象.綜上,本文希望利用這種簡單的物理模型為今后引力磁場及其連帶效應(yīng)的相關(guān)研究帶來一些新的方法和思路.

5 結(jié) 論

本文基于線性引力理論從引力場的場量中分解出了引力的磁分量并定義了引力磁場;進一步建立了一種通有勻速流體的環(huán)狀微管模型,研究了引力磁場在全空間的分布模式;然后建立了一種新的雙層結(jié)構(gòu)微管模型,研究了時變引力磁場中的引力感應(yīng)效應(yīng)和其產(chǎn)生的慣性系拖曳效應(yīng).通過數(shù)值計算以及仿真結(jié)果可以表明,這種由通有勻速流體的微管產(chǎn)生的靜引力磁場的遠場分布模式與磁偶極子磁場的遠場分布模式十分類似,二者呈現(xiàn)出了明確的類比關(guān)系;在引力磁場的動力學(xué)效應(yīng)方面,本文選取了線性時變和余弦時變這兩種基本的時變模式研究了時變引力磁場中運動粒子的軌跡.仿真結(jié)果表明,在線性時變模式下測試粒子的運動軌跡是一條螺旋半徑隨時間改變的螺旋線,在余弦時變模式下測試粒子的運動軌跡是一類隨時間規(guī)律變化的振蕩曲線.而通過建立一種雙層結(jié)構(gòu)的微管模型,本文改進了前人對引力感應(yīng)效應(yīng)的研究方法,利用這種簡單的物理模型對引力感應(yīng)的全過程進行了完整的理論驗證,并依據(jù)引力感應(yīng)效應(yīng)解釋了廣義相對論中成因復(fù)雜的慣性系拖曳現(xiàn)象.從物理與工程的角度來看,本文所建立的模型以及提出的研究手段有望成為一些新工程技術(shù)的理論基礎(chǔ),例如借助引力感應(yīng)模型原則上可以加工制作一種通有超流體的環(huán)狀微管從而在空間各個方向上形成可調(diào)控的拖曳力,進一步利用疊加原理在工程上產(chǎn)生實際應(yīng)用中所需的任意方向、任意強度的通用動力.