級聯四波混頻相干反饋控制系統量子糾纏特性*

仲銀銀 潘曉州 荊杰泰2)?

1) (華東師范大學,精密光譜科學與技術國家重點實驗室,上海 200062)

2) (山西大學,極端光學協同創新中心,太原 030006)

本文在級聯四波混頻結構基礎上,利用光學分束器作為反饋控制器理論構造了一種相干反饋控制系統.考慮相干反饋回路中光束傳輸損耗以及原子對光束吸收損耗,通過計算系統的協方差矩陣以及利用部分轉置正定判據,分析了該系統在不同反饋強度、增益以及相位下的糾纏特性.結果表明,系統存在真正的三組份糾纏,但是反饋控制器過度反饋會破壞系統的三組份量子糾纏特性.另外,將相位設為180°,通過適當改變增益大小以及在0.1—0.4范圍內調節分束器反射率的大小可以增強系統的量子糾纏程度.本文為實驗上基于級聯四波混頻相干反饋控制系統制備多組份糾纏奠定理論基礎,在量子通信領域有著潛在應用.

1 引 言

多組份糾纏作為量子信息技術中一種重要資源,已經在量子計算[1,2]以及量子通信[3,4]等領域有著廣泛應用.它對未知量子態的密集編碼[5,6]、量子隱形傳態[7]以及量子糾纏變換[8]等量子信息技術的實現非常關鍵.目前,在諸多產生多組份糾纏的方案中[9?14],常用方法是將多個單模壓縮態通過光學分束器網絡結構線性混合來產生[9],這個方法的缺陷是可擴展性低.另外,最新的研究趨勢是通過時間和頻率復用方式實現大尺度糾纏[15,16].四波混頻過程由于具有強非線性相互作用效應,輸出光場自然分離以及空間多模特性等優點[17],被認為是一個非常有前景的光學參量放大器,它可以利用多種級聯結構或者空間結構的泵浦光來產生多組份量子糾纏[18?22].最近一篇工作報道了通過空間結構狀泵浦在單個銣原子系綜內同時激發七個四波混頻過程,結果產生六組份量子糾纏態,并且發現系統的糾纏結構可靈活配置[22],這讓四波混頻系統在未來量子通訊領域有了更大的應用潛力.光束的糾纏數量決定著量子通信的信息容量.然而除了提高糾纏的組份,高度糾纏的量子網絡同樣是量子計算和量子通信的核心,因此如何優化提高量子系統的糾纏特性也很重要.近期國內的一篇實驗研究通過采用帶有楔角晶體的非簡并光學參量放大器,產生了糾纏度高達8.4 dB的糾纏態[23].

反饋控制是經典控制的重要策略之一[24],它通過將輸出信號反饋到原系統中對系統進行有效調控.它也被用于量子系統實現量子相干反饋控制[25?27],對量子態進行操控.量子相干反饋控制過程由于不涉及測量,不會在系統中引入額外測量噪聲,已經被應用于量子誤差校正[28]以及增強光場量子關聯特性[29]等.最近,我們小組在實驗上實現了基于單個四波混頻過程的相干反饋控制系統,并且證明了反饋控制器能夠對兩個輸出光場的量子關聯特性進行有效調控甚至增強[30].受此啟發,本文將反饋策略應用于級聯四波混頻過程,理論分析了反饋對系統的多組份量子糾纏特性的調控.

2 級聯四波混頻相干反饋控制系統理論模型

圖1(a)為級聯四波混頻相干反饋控制系統模型,其中單四波混頻過程的能級結構如圖1(b)所示,在該非線性過程中兩個泵浦光子(紫色線)轉化為一個探針光子(紅色線)和一個共軛光子(藍色線),其中,5 S1/2與 5 P1/2之間躍遷所對應的波長約為 795 nm,5 S1/2的兩個超精細能級 (F=2 與F=3)的間距約為3.036 GHz.為了構造基于級聯四波混頻過程的相干反饋控制系統,首先,一束強泵浦光(P1)和一束弱探針光(a?1)以一個小角度耦合注入到第一個銣原子蒸汽池( c ell1)中,經歷過第一個四波混頻過程后,探針光被放大,同時產生一束新的共軛光( ?b2).放大后的探針光束( ?a2)與泵浦光(P2)以一個小角度耦合注入到第二個銣原子蒸汽池( c ell2)中.同樣產生了一束被放大的探針光(a?3)和一束新的共軛光( ?b4).這樣的過程構成一個級聯四波混頻系統,其中兩個四波混頻過程的輸入輸出關系可以表示為:

其中G1和G2分別對應兩個四波混頻過程的強度增益,(i=1,2,3 ) 為探針光的湮滅算符,(j=1,2,3,4)為共軛光的產生算符.將共軛光 ()入射到光學分束器中,后端輸出光場()通過反饋回路注入到第一個四波混頻過程的共軛光端口,構成一個級聯四波混頻相干反饋控制系統.光學分束器的輸入輸出關系表示為

其中k是光學分束器的反射率,?是在反饋回路中引入的相位延遲,為真空態,和為光學分束器的兩個輸出光場.

本文考慮了兩種損耗,即反饋過程中的光束傳輸損耗和銣原子蒸汽池內部對共軛光束與探針光束的吸收損耗[31,32].如圖2中的綠色虛線框所示,可以用光學分束器來模擬反饋路徑上光束在自由空間的傳輸損耗.分束器通過引入一個真空態(),將真空噪聲引入到被反饋的共軛光當中[33].光束在銣原子蒸汽池中發生的四波混頻過程可分為增益放大與損耗兩個部分,原子對共軛光束與探針光束的吸收影響也可以簡單地用上述的分束器模型來刻畫[34].如圖2中的兩個紫紅色虛線框所示,光學分束器端口引入的真空態信號用湮滅算符表示為(j=2,3,4,5 ),將當作損耗分別引入到探針光束與共軛光束當中,則:

其中,Li(i=1,2,3,4 )表示銣池內部的光束傳輸效率,η為反饋路徑上的光束傳輸效率.令L1=L2=L3=L4=L,利用 (1)式—(3)式,消除中間變量后,可以得到輸出光場與輸入光場的關系.在連續變量領域,一個量子態可以用其正交振幅和相位算符來刻畫.我們用正交振幅與相位算符刻畫該級聯四波混頻相干反饋控制系統中的三個輸出光場,令

圖1 (a)級聯四波混頻相干反饋控制系統簡圖;(b)85Rb原子D1線的雙L型躍遷能級結構圖能級圖.?對應單光子失諧,d對應雙光子失諧Fig.1.(a) The scheme of coherent feedback control system based on the cascade four wave mixing processes;(b) The Double-L type transition energy-level diagram of 85Rb D1 line.? corresponds to one-photon detuning,d corresponds to two-photon detuning.

圖2 級聯四波混頻相干反饋控制系統.綠色虛線框為反饋回路中的光傳輸損耗模型,紫紅色虛線框為原子吸收損耗模型Fig.2.The coherent feedback system based on the cascaded four wave mixing processes.The green dashed frame is the optical transmission loss model in the feedback loop,and the pink dashed frames are the loss model of atomic absorption.

和

其中

由于量子態的量子特性可以完全被協方差矩陣所描述,定義正交振幅的協方差為類似也可以得到正交相位的協方差.系統中為真空態注入信號,為光學分束器端口引入的真空態.利用(5)式—(9)式,可以得到系統正交振幅與正交相位的協方差,并表示為:

以及

其中

下面用得到的公式計算量子糾纏判據,研究系統的糾纏特性.

3 三組份量子糾纏特性

自從將部分轉置正定(PPT)判據推廣到連續變量領域后[35,36],PPT判據常被用來判斷連續變量系統中光束的多組份糾纏.PPT判據是描述兩組份系統糾纏特性的充分必要判據[37],如果系統的轉置協方差矩陣的最小辛本征值小于1,那么系統存在兩組份糾纏.對于N組份系統,若要驗證真正的N組份糾纏,則需要驗證個可能的二分情況.如果所有的二分情況不可分離,就可以證明系統產生了真正的N組份糾纏態.對于該級聯四波混頻相干反饋控制系統產生的三組份光束 ,共有三個可能的1×2劃分,分別為系統的協方差矩陣表示為

將(10)式—(12)式代入到上述協方差矩陣當中,并且對矩陣進行部分轉置處理,可以求得這三種二分情況的最小辛本征值.如果三種二分情況的最小辛本征值都小于1,便認為每一束輸出光都與另外兩束輸出光存在糾纏,證明系統產生了真正的三組份糾纏態.此外,最小辛本征值越小,說明光束之間 的糾 纏程 度越 好[38].下 面令η=0.98,L=0.95 ,研究這三種二分情況的最小辛本征值隨相位、增益以及反射率的變化.

圖3(a)—圖3(c)描繪的是三種二分情況的最小辛本征值隨相位和反射率的變化關系,等高線上的值為最小辛本征值,令G1=G2=3.從圖中可以看出,?在 0—360°范圍內,三種二分情況的最小辛本征值隨著反射率k變化而變化,當0

從系統光場強度角度來分析相位應設在180°的成因.系統無反饋時是一個非相敏的級聯四波混頻,它的輸出光場強度是恒定的,而反饋過程引入的相位延遲使得系統變成了相敏系統.如圖4所示,在不同的銣池增益情形下,系統三個輸出光場的強度因為干涉效應會隨著相位的變化而發生變化,并且都是當?=π 時,三個輸出光場強度達到最大.這說明在 π 相位處干涉相長,使得該級聯四波混頻相干反饋控制系統在此相位處獲得了最大的光場強度增益.它增強了系統的非線性相互作用,并且可以進一步增強光場之間的量子特性.此外,對比圖4(a)—圖4(d)可以發現,銣池的強度增益大小會影響到 π 相位處輸出光場的強度.隨著G1和G2值的增大,輸出光場的強度并非越來越強,而是呈現先增大后減小的趨勢.因此在固定的反射率情況下,理論上也存在最佳的銣池強度增益使得系統的非線性作用強度最大.下面固定相位的值,研究在不同的反射率和銣池增益條件下系統的糾纏特性,尋找最佳的參數平衡范圍.

圖3 (a)(b)(c)分別對應三種二分情況的最小辛本征值與相位和反射率的關系Fig.3.(a) (b) (c) correspond to the smallest symplectic eigenvalues of the three bipartitions varying with the value of phase and reflectivity,respectively.

設?=180°,G1=G2=G,令G的范圍為2—5,k的范圍為 0—1,研究三種二分情況的最小辛本征值隨增益和反射率的變化,結果如圖5(a)—圖5(c)所示.從等高線的值可以看出這三種二分情況的最小辛本征值都小于1,這說明系統在該增益范圍內,隨著反射率k的變化系統一直存在真正的三組份糾纏.此外,這兩種二分情況的最小辛本征值不大于0.2,表明和之間有著較好的量子糾纏程度.如圖5(a)所示,當增益G在3.5—5的范圍內時,k越小,之間糾纏程度越好,但是在此增益范圍內辛本征值隨著k的變化相比于G在2—3.5時的變化更明顯.考慮到反饋控制器在一定范圍內對系統進行操控時,若要保持系統穩定的糾纏狀態,理論上應該控制兩個銣池增益的大小在2—3.5范圍.圖5(b)的情況與圖5(a)相反,G越小,k越大,辛本征值越小,這時之間 的 糾 纏 程 度 越 好.對 于情 況 ,在2—5 的G值范圍內,隨著反射率k逐漸變大,和之間糾纏程度明顯降低,這與圖3(c)所示的結果相符.

>圖4 (a)(b)(c)(d)分別為四種銣池增益情形下系統的三個輸出光 場強度隨相位 f 的變化.這里,Fig.4.(a)(b)(c)(d) show the relationship between the intensity of three output fields and the phase f under different gains condition,respectively.Here,k=0.5,.

圖5 (a)(b)(c)分別對應三種二分情況的最小辛本征值與增益和反射率的關系Fig.5.(a) (b) (c) correspond to the smallest symplectic eigenvalues of the three bipartitions varying with the value of gain and reflectivity,respectively.

為了更加直觀地看出反射率k對這三種二分情況的量子糾纏程度的影響,令?=180°,畫出G=3和G=5 情形下系統三種二分情況的最小辛本征值與反射率k的變化關系.當分束器的反射率k為 0 時,相當于無反饋,若隨著k的增大,最小辛本征值減小,即可說明系統的量子糾纏特性可以被優化.從圖6中可以看出,隨著k在0—1范圍內變化,系統一直存在真正的三組份糾纏.并且,反射率k的增大對之間的糾纏程度有所增強,G越小,增強越明顯.但是對于情況而言,k的增大對之間糾纏程度有著較大的負面影響.當的最小辛本征值不再小于1,此時系統也不再存在真正的三組份糾纏.最后從總體上考慮,為了使該級聯四波混頻相干反饋控制系統產生糾纏程度較高的真正三組份量子糾纏,相位應設為180°,通過適當改變增益大小以及在0.1—0.4范圍內調節分束器反射率的大小,達到對該系統量子糾纏特性進行有效調控的目的.

圖6 當 f 取 180°及 G=3 和 5 時,三種二分情況的最小辛本征值與反射率的關系Fig.6.The smallest symplectic eigenvalues of the three bipartitions vary with reflectivity when f is taken the value of 180° and G=3,5.

4 結 論

本文基于級聯四波混頻過程構造了一種相干反饋控制系統,在考慮了兩種損耗情況下理論計算研究了該系統的量子糾纏特性.利用部分轉置正定判據證明了該相干反饋控制系統能夠產生真正的三組份糾纏,但是反饋控制器的過度反饋會破壞系統的三組份量子糾纏特性.結果表明將相位設為180°,通過適當改變增益大小以及在0.1—0.4范圍內調節分束器反射率的大小可以增強系統的量子糾纏程度.因為小組之前已經在實驗上成功構建了基于單個四波混頻過程的相干反饋控制系統[30],并且通過級聯方案產生多光束已經在實驗上實現[39],參考這樣的實驗水平,本文的計算與分析結果將為實驗上對多組份量子糾纏進行相干反饋調控提供可靠的理論依據.