全等三角形證明構(gòu)造技巧探究

安徽省亳州市譙城區(qū)譙城中學(xué) 王廣義

全等三角形的判斷無外乎SSS（邊邊邊）、SAS（邊角邊）、ASA（角邊角）、AAS（角角邊）和HL（斜邊+直角邊）五種，針對不同的三角形，在證明時要能分析題干中所隱含的條件，學(xué)會構(gòu)造三角形來完成證明。下面就構(gòu)造三角形的幾種方法作簡要介紹。

一、截長補短

這是全等三角形證明中用于證明線段數(shù)量關(guān)系最為常用的方法。“截長”一般是過某一點作長邊的垂線，另一種則是在長邊上截取一條和某一短邊相同的線段。而“補短”一般是通過延長短邊或旋轉(zhuǎn)而將兩條短邊合并，以便于證明。

例1：如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB。求證：AC=AE+CD。

解析：AC是一條長線，而AE和CD是兩條線段，由此可考慮利用“截長”的方法，先在AC上截取一段AF，使其和AE相等（如圖2），那么，剩下的就要考慮如何證明CF=CD，即要證明△ODC≌△OFC。觀察兩個三角形只有一條公共邊，即OC。如果能證明∠3= ∠4，∠7= ∠8，即可用ASA（角邊角）證明，回歸題干，根據(jù)AD平分∠ABC，即可得到∠1=∠2。而AE=AF，AO=AO，故而可證明△AEO≌△AFO，也就可得到∠5=∠6。由∠ABC=60°，可推導(dǎo)∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=180° -60° =120°。又因CE平分∠ACB，即可證明∠3= ∠4。 而∠5= ∠3+ ∠2= ∠BAC+ ∠BCA， 可 知∠5=60°。∠6=∠8=60°，∠7=180°-∠5-∠6=180°-60°-60°=60°，繼而可得到∠7=∠8。由此即可完成證明。

無論是“截長”還是“補短”，在證明過程中都要學(xué)會觀察圖形，根據(jù)圖形完成構(gòu)造。同時，要充分利用好題干中的“已知”，構(gòu)造三角形后，要從“未知”出發(fā)來思考通過“已知”條件可以得到什么，如何證明。

二、割補構(gòu)造

“割補”其實就是根據(jù)圖形，將“大”圖形進行“割”，即利用平行線、角平分線或中位線等將“大”圖“割”去一部分，尋找已知圖形和構(gòu)造圖形之間的全等條件進行求證。

例2：如圖3，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°。求證：AD=CD。

解析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)，△ABD和△CBD是完全不可能全等的，且△CBD的面積明顯比△ABD要大，而題干中給出BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°的條件，若能通過割補△CBD而構(gòu)造一個和△ABD全等的三角形，問題即可得到解決。在BC上截取BE=BA，連接DE，得到圖4。由∠1=∠2，AD=BE，BD=BD，即可證明△ABD≌△EBD，從而得知AD=ED，∠A= ∠3。題 干 中 給 出∠A+ ∠C=180 °， 可 得∠3+ ∠C=180 °。 而∠3+∠4=180°，等量代換即可得到∠C=∠4，可推導(dǎo)CD=DE，由此可論證AD=CD。

三、補全圖形

根據(jù)題干觀察圖形，若圖中圖形出現(xiàn)“缺失”，可通過“補全”圖形來構(gòu)造兩個全等的三角形進行證明。

例3： 如 圖5， 在△ABC中，AC=BC， ∠C=90 °，BD為∠ABC的平分線。若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長。

解析：要求BE的長，而題干中只給出AD的長，兩者之間沒有關(guān)聯(lián)性。觀察圖形，若延長AD、BC交于F，即可得到圖6，若能證明△AFC≌△BEC，即可得到BE=AF，但需要考慮AD和DF之間是否存在數(shù)量關(guān)系，再觀察圖發(fā)現(xiàn)，若能證明ABD≌△FBD，即可得到FD=AD=a，即AF=2a。如此，再根據(jù)題干，先利用AAS 證明△AFC≌△BEC，推導(dǎo)出FD=AD=a，即AF=2a。同樣，利用AAS證明ABD≌△FBD，即可求證。

在全等三角形的學(xué)習(xí)過程中，一定要掌握五大判定定理，要熟悉每一種定理的條件，結(jié)合圖形思考已知條件是什么，還差什么條件，根據(jù)所差條件觀察圖形，完成構(gòu)造。當(dāng)然，構(gòu)造三角形來完成證明的方法很多，最為關(guān)鍵的是，看到圖形后，要結(jié)合題干進行分析。如兩個圖形之間已經(jīng)有了兩個條件（兩條對應(yīng)邊已經(jīng)相等），此時只需要找到另一個條件（兩邊的夾角），若圖形中沒有這一交角，則可進行構(gòu)造。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生展開針對性練習(xí)，熟悉不同類型圖形的構(gòu)造方法，這樣才能讓學(xué)生快速求證。