從黑格爾的無限小定義看微積分存在的問題

四川省攀枝花市老年科技工作者協會 張喜安

一、黑格爾的無限小定義

1.準備

為了引入黑格爾的無限小定義，我們必須在理論上做一些準備工作，在我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實集合論”中提出了超實變量、超實數、超實數點和超實函數的概念，這些概念將為黑格爾無限小定義的引入提供幫助，另一方面，因為黑格爾的無限小定義反映了無限小的本質，而這也為超實函數理論提供了重要的理論上的根據，為此，我們將超實變量、超實數、超實數點和超實函數的概念簡單介紹如下：

超實變量、超實數、超實數點和超實函數的定義：如果有實變量y和x，則有超實變量Y=y+dy和X=x+dx。超實變量所對應的數則為超實數，所對應的點則為超實數點，所對應的函數則為超實函數。上式中的實變量x表示的是超實數點到原點的距離，dx表示的是超實數點所具有的無限小長度，它小于任意正實數，但是不等于0，并且遵守算術公理。這里要特別注意的是，無限小量dx和經典微積分中的微分概念有本質的區別。如果有實函數y=f（x），則有超實函數Y=y+dy=f（X）=f（x+dx），于是有dy=f（x+dx）-f（x）。請注意，這里的dy表示y軸上的點所具有的無限小長度，dx表示x軸上的點所具有的無限小長度。

這里要特別指出的是，超實變量X=x+dx表示的是客觀實際存在的變量，實變量x和超實變量X=x+dx比較，是客觀實際存在的變量X=x+dx去掉dx而得到的變量，而這就是失真，就是錯誤。因此從超實變量的角度看，使用實變量x表示客觀實際存在的變量就是錯誤的，至少是存在問題的。同樣的，超實函數Y=f（x+dx）表示的才是客觀實際存在的函數，而實函數y=f（x）是超實函數Y=f（x+dx）去掉dx而得到的函數，這就是失真。因此，從超實函數的角度看，使用實函數表示客觀實際存在的函數就是錯誤的，至少是存在問題的。

2.黑格爾的無限小定義

黑格爾是德國19 世紀著名的唯心主義哲學家，他對辯證法有卓越的貢獻，而黑格爾關于無限小的定義就是黑格爾使用辯證法對數學所作的重要貢獻。現在將黑格爾的無限小定義引述如下：

黑格爾的無限小定義：量所具有的質的方面的量的規定性就是無限小。[5]

對于上面的黑格爾的無限小定義，了解辯證法的同志可能已經理解了它的含義，但是，我還要根據個人的理解給出如下的解釋，如果有不當之處請批評指正。

上面黑格爾的無限小定義中提到的量所具有的質的方面，指的是量和質是辯證統一的關系，量具有質的方面，是辯證法的性質所決定，例如，陰和陽是辯證統一的關系，因此陽中有陰，陰中有陽，這就是關于量具有質的方面的解釋。關于質的量的規定性指的是，任意一個事物都具有確定的質，當與這個質對應的量在一定的范圍內變化時，這個事物的質保持不變，但是當這個量的變化超出一定的范圍，則與其對應的質就發生了變化，與這個質對應的事物就變為另外一種事物了。例如，水在0°到100°以內變化時，水以及它的性質都保持不變，如果溫度超出0°到100°的范圍，那么水以及它的性質也就不存在了。這就是對于質的量的規定性的解釋。

上面一節的超實變量的表達式為X=x+dx，我個人的理解，黑格爾的無限小定義就是給上面的超實變量的無限小量dx所作的定義。這里的超實變量X和黑格爾的無限小定義中的量指的都是客觀實際存在的變量。超實變量X的存在和變化的根據就是它的質的方面的存在和變化，如果它的質的方面存在，它就存在，如果它的質的方面變化了，它就不存在了，那么超實變量的這一個值就變為另外的一個值了。而超實變量公式中的無限小量dx就是量的質的方面的量的規定性，也就是說，無限小量dx在一定的范圍內變化，則量和它的質的方面就保持不變，如果無限小量dx的變化超出了一定的范圍，則量的質的方面和量本身就發生了變化，則量就從這一個值變為另外的一個值了。從以上分析中可以看出，黑格爾給無限小量dx所作的定義，指出了無限小量dx就是超實變量X存在和變化的根據，同時也就指出了無限小量dx的本質。值得注意的是，黑格爾在1812 年出版的邏輯學上冊中就給出了上面的無限小定義，但是，一直沒有引起數學界的注意，而且距離現在已經有200 多年了。現在看來，黑格爾的無限小定義，不僅是他對數學的卓越貢獻，而且在現在還具有重要的意義。

二、根據黑格爾的無限小定義看微積分存在的問題

1.微積分使用實數表示變量存在的問題

為了指出微積分使用實數表示變量存在的問題，現將同濟大學數學教研室主編的高等數學教材中的兩段關于變量的概念引述如下：“在觀察自然現象或技術過程中，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，也就是保持一定的數值，這種量叫常量；還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同的數值，這種量叫變量，設變量x所取數值的全體組成數集M，那未變量x也可看作是表示數集M中任何元素的符號。”這個定義可以代表微積分使用實數表示變量的觀點，如果這個定義存在問題，則表明微積分使用實數表示變量存在問題。

美國著名數學家魯濱遜在他的名著《非標準分析》中，使用數理邏輯的方法證明了無限小數的存在，并且指出“在實數之后，下一個十分自然的步驟，即引入無限小，竟被完全忽略了……”

我想提醒的是，作為數學工作者，應當時刻關注數學的發展，對于魯濱遜證明了無限小數的存在之后，為什么不想一想，再使用實數表示變量是否存在問題？如果從黑格爾的無限小定義的觀點來看，使用實數來表示變量確實存在問題。上述的同濟大學數學教研室主編的高等數學的兩段關于變量的定義中，使用實數表示變量的觀點，存在一個十分明顯的問題是，沒有指出變量變化的原因是什么，變量變化的根據是什么，變量變化的本質是什么，只是對變量的現象作了描述，而沒有指出變量的本質。而黑格爾的無限小定義中的無限小量就是變量變化的原因和根據。所以同濟大學主編的高等數學中關于使用實數來表示變量，沒有反應變量的本質，因此，從黑格爾的無限小定義的觀點來看，使用實數來表示變量是不符合客觀事實的，因此也就是錯誤的，至少是存在問題的，這是萊布尼茨微積分和經典微積分都存在的問題。根據唯物辯證法，事物的變化存在兩個階段，一個是量的變化的階段，另一個是質的變化的階段，即當量的變化超出一定的范圍就引起質的變化。但是無論客觀事物處于哪種變化階段，都包含著質的變化，因此，事物的變化包括量的變化，絕不是單純的數量的大小的變化。而同濟大學數學教研室主編的高等數學關于變量的概念則認為，量的變化只是單純的數量大小的變化，而不包含質的變化，這是違背上述唯物辯證法的形而上學的觀點。相反，黑格爾的無限小定義指出，量的變化是因為量所具有的質的方面的變化而發生的變化，也就是說，量的變化也包含著質的變化，因此，黑格爾的無限小定義的觀點和上述的唯物辯證法的觀點是一致的。如此可見，微積分使用實數表示變量的觀點是形而上學的觀點在數學上的反應。

2.經典微積分的無窮小定義存在的問題

這里特別要指出的是，經典微積分關于無窮小的定義，只是在實數的范圍內來定義無窮小，相反，黑格爾所定義的無限小dx則是實數之外的新數。而且經典微積分的無窮小定義沒有指出量的變化中也包含著質的變化，更沒有指出變量所以變化的原因和根據，因此它的觀點是和微積分的形而上學的變量的觀點是完全一致的。因此，從黑格爾的無限小定義的觀點看，經典微積分的無窮小定義也是錯誤的，至少是存在問題的。

3.經典微積分的導數定義存在的問題