淺談數(shù)學建模在經(jīng)濟領(lǐng)域的應用

●靳旭東 方秀男

一、數(shù)學經(jīng)濟建模的含義

數(shù)學經(jīng)濟建模是指將經(jīng)濟領(lǐng)域中的實際問題抽象為簡單的數(shù)學模型，綜合運用計算機技術(shù)以及相關(guān)數(shù)學建模軟件解決實際經(jīng)濟問題的過程。

二、數(shù)學經(jīng)濟建模的意義

在通常情況下，數(shù)學并不能直接且完整地展示出經(jīng)濟領(lǐng)域問題的真實情況，因為很多經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題都是客觀存在的，而且具有動態(tài)發(fā)展的趨勢，在這種情況下，數(shù)學經(jīng)濟建模就完美地給出了此類問題的解決方案，其具有以下意義：

1.數(shù)學經(jīng)濟建模使經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題變得直觀化、簡單化。很多經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題的描述都是十分復雜的，而且部分經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題還有許多數(shù)據(jù)需要進行處理，通過數(shù)學經(jīng)濟建模，我們可以將實際問題的數(shù)據(jù)進行可視化處理，對復雜的經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題求解，大大降低了解題難度。

2.數(shù)學經(jīng)濟建模使經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題變得更加具有說服性與前瞻性。通過數(shù)學經(jīng)濟建模，我們可以通過給出相關(guān)變量間的具體關(guān)系表達式，展示出數(shù)據(jù)的說服性，此外，很多經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題是需要對未來的發(fā)展趨勢進行預測，我們可以通過對數(shù)據(jù)進行擬合與回歸分析來預測其未來的發(fā)展趨勢，這正是數(shù)學經(jīng)濟建模應用性的最直接體現(xiàn)。

三、數(shù)學經(jīng)濟建模的若干問題分類

經(jīng)濟領(lǐng)域的實際問題是多樣化的，根據(jù)應用數(shù)學模型的不同，大致可以將此類問題作如下分類：

1.經(jīng)濟發(fā)展中的最優(yōu)化問題，很多經(jīng)濟領(lǐng)域的問題都可以轉(zhuǎn)化為求解最大值或者最小值的問題。即數(shù)學建模中的優(yōu)化模型，主要是根據(jù)問題中所蘊含的約束條件和目標列出相關(guān)的不等式進行求解，約束條件可以是線性規(guī)劃問題，也可以是非線性規(guī)劃問題。

2.經(jīng)濟領(lǐng)域中的預測問題，在經(jīng)濟領(lǐng)域中，有時需要根據(jù)已有的部分數(shù)據(jù)對未來的經(jīng)濟發(fā)展趨勢作出相關(guān)預測，這就是數(shù)學建模中的預測模型，我們可以運用Matlab 軟件或SPSS 軟件對數(shù)據(jù)進行擬合與回歸分析，或通過觀察回歸曲線的總體趨勢，給出對未來發(fā)展趨勢的預測。

3.經(jīng)濟領(lǐng)域中的政策問題，政策評價是指決策者從已有的眾多方案中選出做好的執(zhí)行方案，其中可以用到的數(shù)學模型包括層次分析模型、綜合評價模型等等，本文將就部分模型給出實例。

四、數(shù)學建模在經(jīng)濟領(lǐng)域的應用實例

1.數(shù)學經(jīng)濟建模中的最優(yōu)化問題模型。在經(jīng)濟領(lǐng)域的日常生產(chǎn)活動中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有的客觀因素來安排生產(chǎn)，以獲得更高的經(jīng)濟效益的問題。于是，一個重要的運籌學分支應運而生，即線性規(guī)劃。自從G·B·Dantzig 于1947 年提出用單純形法求解線性規(guī)劃問題以來，線性規(guī)劃在理論和實踐中的應用越來越廣泛和深入。特別是在計算機能夠處理成千上萬的約束和決策變量之后，線性規(guī)劃的應用更加廣泛，已經(jīng)成為現(xiàn)代經(jīng)濟管理科學中常用的基本方法之一。

例題：一卡車廠生產(chǎn)A 車和B 車兩種，每次銷售后利潤分別為3 萬元和4 萬元。A型卡車生產(chǎn)需要a、b 生產(chǎn)線加工，每輛卡車生產(chǎn)時間分別為 20 小時和 15 小時；B 型卡車生產(chǎn)需要 a、b、c 生產(chǎn)線加工，每輛卡車加工時間為10 小時。如果每天可供生產(chǎn)的機器裝配線數(shù)量為：a 裝配線10 小時,b 裝配線8 小時c 裝配線7 小時，那么卡車廠應生產(chǎn)A、B 卡車各多少量，以實現(xiàn)利潤總額的最大化？

上述問題的數(shù)學模型：設(shè)該廠生產(chǎn)N1 臺A 卡車和N2 臺B 卡車時總利潤最大，則N1,N2 應滿足的目標函數(shù)為Ymax =3N1+4N2

本例題所給出的是較為簡單的線性規(guī)劃模型。它的解題思想與建模過程就是經(jīng)濟領(lǐng)域中的典型最優(yōu)化問題，即求解利潤的最大值，對于此類問題來說，求解是相對簡單的，常用的數(shù)學建模軟件包括Lingo 與Matlab,其中Lingo 是運籌學中求解線性規(guī)劃問題最直接有效的建模軟件。

2.數(shù)學經(jīng)濟建模中的預測模型。在數(shù)學經(jīng)濟建模中較為有效的預測模型就是對已有數(shù)據(jù)進行回歸分析,對于回歸分析來說，它的預測效果往往要優(yōu)于曲線擬合，簡單地說，回歸分析就是對擬合問題作進一步的統(tǒng)計分析。進一步說，回歸分析就是在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究以下幾個問題：建立因變量與自變量之間的回歸分析模型；對回歸模型進行置信度檢驗；判斷每個自變量Xi(i 1,2,,m)i=L 是否對Y 存在影響；診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對Y 的趨勢進行預測。

例題：某電子廠生產(chǎn)的一種U 盤的銷售量y 與其他廠家的價格X1和本廠的價格X2有關(guān)。表1 是該商品在10 個地區(qū)的銷售記錄。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立Y 與X1和X2的關(guān)系式，對得到的模型進行檢驗。若某市本廠產(chǎn)品售價150（元），競爭對手售價160（元），預測商品在該市的銷售趨勢。

表1

上述問題的數(shù)學模型：先利用Matlab 對數(shù)據(jù)進行可視化處理（圖 1，紅色為 Y 與 X1曲線，藍色為 Y 與 X2曲線），分別畫出 Y 關(guān)于X1和Y 關(guān)于X2的散點圖，可以看出Y 與2x有較明顯的線性關(guān)系，而Y 與X1之間的關(guān)系則難以確定，我們將作如下嘗試，用統(tǒng)計分析決定優(yōu)劣。

設(shè)回歸模型為：y=β0+β1X1+β2X2，運用Matlab 進行求解，可得出可以看出結(jié)果不是太好：p=0.0247，取α=0.05 時回歸模型可用，但取α=0.01 則模型不能用；故我們?nèi)ˇ?0.05，進而得出在該市的產(chǎn)品銷量會增加。

本例題所應用的回歸分析模型相對于其他數(shù)學模型較為復雜，適用于對大量銷售數(shù)據(jù)進行處理。

3.數(shù)學經(jīng)濟建模中的政策問題。對于經(jīng)濟領(lǐng)域的政策問題，常用的數(shù)學模型就是層次分析模型，將各種選擇方案與影響因素進行分層處理，通過列出判別矩陣與進行一致性檢驗，求出各種方案所占的比重，進而得出最佳選擇。

圖1

例題：工廠選址問題：工廠選址，一般要依據(jù)交通、水源、地盤價格、能源、勞動力等方面因素選擇某一地址。

圖2

上述問題的數(shù)學模型舉例：（1）建立AHP 模型。（2）構(gòu)造判別矩陣。判別矩陣的構(gòu)造是根據(jù)人們已有的經(jīng)驗進行構(gòu)造的，帶有一定的主觀色彩。（3）計算層次單排序的權(quán)向量與一致性檢驗。由于判別矩陣帶有一定的主觀色彩，因此要進行一致性檢驗。（4）進行層次總排序與總一致性檢驗。通過層次總排序可以得出總權(quán)重排序，進而得到比較滿意的結(jié)果。

五、結(jié)束語

本文中所給的應用實例較為簡單，便于讀者深入體會數(shù)學建模在經(jīng)濟領(lǐng)域的實際應用意義，此外，在經(jīng)濟領(lǐng)域的數(shù)學模型還有很多，本文未一一列出。經(jīng)濟的發(fā)展不僅僅是變量之間的宏觀體現(xiàn)，更存在于巧妙的微觀領(lǐng)域，而數(shù)學建模在經(jīng)濟領(lǐng)域的應用很好地揭示了微觀變量的相關(guān)性質(zhì)，為經(jīng)濟領(lǐng)域問題的解決打開了全新的世界，數(shù)學建模是一個應用性很強的實用工具，我們應該樹立應用它的意識，培養(yǎng)探索科學的精神。