基于多目標決策的軌道控制網網形設計

宋占峰，楊 飛，李 軍

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

根據有砟鐵路軌道精調和養護的要求，TB 10101—2018《鐵路工程測量規范》增加了新建有砟軌道鐵路CPⅢ控制網采用自由測站方式測設的技術標準：對于設計速度160～200 km/h之間的有砟鐵路，CPⅢ網形為50～70 m一對點的邊角交會網，點位中誤差在3 mm內，相鄰點的相對點位中誤差在1.5 mm內[1]。

我國速度120 km/m以上鐵路既有線里程已超過2萬km。在長期運營中，既有線軌道的幾何形狀、空間位置不斷發生改變，造成的軌道不平順會影響列車的運行舒適度和安全性。因此，建立既有線軌道CPⅢ網，是既有鐵路軌道精調和養護的迫切需求。

既有線上建立軌道CPⅢ網，不同于新建鐵路：(1)天窗時間短，干擾大；(2)經費有限。因此，需要設計適合既有線的軌道CPⅢ網形。控制網設計中，網形的設計稱為一類設計問題[2-3]。控制網設計質量的優劣取決于精度、可靠性和建網費用三個方面[4]。將既有線兩側的接觸網支柱作為固定樁，布設控制點，可以減少建設費用。新建有砟軌道鐵路CPⅢ網沿用了高速鐵路無砟軌道的兩種CPⅢ網形，只是精度指標有所放寬。為了降低建網費用，通過改變設站間距和觀測方案，在前面兩種交會網基礎上，設計了兩種新的CPⅢ交會網。通過計算分析，這四種方案都可以達到新規范對精度的要求。為了進一步優選既有線CPⅢ網形方案，考慮精度、可靠性及建網費用等指標，基于多目標決策方法，得到最優設計方案。最后通過敏感性分析驗證了權重被修正時所選最優方案的穩定性。

1 多目標決策分析

多目標決策是基于確定的決策指標集合Z={Z1, …,Zn}，在方案集合F={F1, …,Fm}中選出最優方案。不同指標的權重不同，但應滿足

( 1 )

式中：wj為第j個指標的權重。

多目標決策中的主要結構為決策矩陣D，包含方案比較的定量數據

( 2 )

矩陣D中的行表示每個指標不同方案的數據，可確定該指標下的最優方案；列表示每個方案在不同指標下的數據。

方案的重要度可通過合成權重表示

( 3 )

式中：Pi為第i個方案的合成權重；pij為第i個方案在第j個指標上的權重。

多目標決策方法有AHP法[5]和TOPSIS法[6]等, 其確定權重的方法不同。最常用的是AHP法，即層次分析法，最早由Saaty提出[7]，構建一個n維判斷矩陣確定指標權重wj；構建n個m維判斷矩陣確定權重pij。判斷矩陣是根據決策矩陣中各指標的兩兩重要程度得到的，判斷矩陣中的元素aij表示要素i與要素j相對重要度之比，aij越大，則要素i相對要素j的重要度就越高。對于一個多目標的決策問題，用n維判斷矩陣A表示n個指標對目標層的重要程度，用m維判斷矩陣Bi表示對于第i個特定指標m個待選方案的優劣程度。判斷矩陣還需要進行一致性檢驗，具體方法參見文獻[8]，此處不再贅述。

敏感性分析的目的，是驗證指標權重變化時方案重要度的穩定性[9]。修正權重可以由式( 4 )獲得。對于先修正指標，有

(4a)

對于后修正指標，有

(4b)

式中：wj為先修正指標的原權重；wh為后修正指標的原權重；β為修正因子，且β≥-1；(1+β)為先修正指標的修正系數；α為后修正指標的修正系數

( 5 )

2 網形設計質量準則

網形設計質量的優劣可由精度、可靠性及費用這三類定量的指標表征。CPⅢ控制網中的方向及邊長觀測量可通過線性化表示為觀測方程

( 6 )

基于最小二乘原理，要求vTPv最小，可得出x的最小二乘估值為

( 7 )

( 8 )

絕對及相對點位精度可由坐標的協方差陣計算獲得，在確定觀測值的先驗精度后，點位精度取決于網形[10]。

多目標決策中，選擇的前4個指標與精度相關，分別是：

Z1——絕對點位中誤差最大值；

Z2——絕對點位中誤差低于閾值(按規范[1]取3.0 mm)的比例；

Z3——相對點位中誤差最大值；

Z4——相對點位中誤差低于閾值(按規范[1]取1.5 mm)的比例。

控制網中存在兩類不同的觀測值，通常按先驗定權法確定方向和距離兩類觀測量的權比關系[11]，定權公式為

( 9 )

式中：單位權中誤差σ0取為方向先驗中誤差σL；σS為距離先驗中誤差；a和b分別為光電測距固定誤差和比例誤差；s為測量距離。

規范要求CPⅢ網要使用方向標稱精度不低于1″、測距標稱精度不低于1 mm+2 mm/km×s的全站儀，測兩測回[1]。則在分析網形質量時，采用的先驗指標為:σ0=σL=±0.71″，a=0.71 mm，b=1.41 mm/km。

控制網的可靠性是指控制網檢測粗差和抵抗殘存粗差的能力，取決于多余觀測數，反映在觀測值的多余觀測分量上[12]。可靠性矩陣R為

R=I-B(BTPB)-1BTP

(10)

式中：I為單位矩陣。

由此可見，可靠性矩陣R同樣取決于系數矩陣B和權陣P，與實際觀測值無關。在先驗定權的情況下，矩陣R取決于控制網網形結構。

可靠性矩陣R的跡為

(11)

式中：n為觀測值數目；t為參數的個數；rii為第i個觀測值對應的可靠性分量。

(12)

每個觀測值的可靠性分量rii在0～1之間。在極端情況下，如rii=0，則該觀測值的粗差無論多大，都不能被發現。所以好的網形要使可靠性分量大于某一閾值的比例盡可能大，本文將可靠性分量的閾值取為0.2。

因此，多目標決策中關于可靠性的指標有兩個：

Z5——整體可靠性；

Z6——可靠性分量高于閾值的比例。

建網費用可分為交通費、人員費用、時間成本等等，難以精確量化。但是，一般而言，總的權重越小，建網費用就越低。總的權重越小，意味著觀測數越少，相應時間、人員及交通費用都會減少。因此，可以用觀測值權之和來表征建網費用指標[15]。

(13)

式中：pii為對應第i個觀測值的權重。

多目標決策中關于費用的指標為：

Z7——觀測權總和。

3 CPⅢ控制網網形布設方案

設計的既有線CPⅢ控制網的四種網形方案如下：

(1)間隔1對橫向點的觀測網形方案F1：這種網形在高速鐵路CPⅢ控制網中采用，網形見圖1(a)。相鄰測站間有一對橫向固定樁控制點，測站間距為60 m，控制點縱向間距為60 m，橫向間距為10 m。每個測站觀測4對控制點，相鄰兩個測站重復觀測 3對控制點，每個控制點被觀測4次，最長觀測距離90 m。

(2)間隔2對橫向點的觀測網形方案F2：這種網形也在高速鐵路CPⅢ控制網中采用，網形見圖1(b)。相鄰測站間有兩對橫向固定樁控制點，測站間距為120 m，控制點縱向間距為60 m，橫向間距為10 m。每個測站觀測6對控制點，相鄰兩個測站重復觀測 4對控制點，每個控制點被觀測3次，最長觀測距離為150 m。

(3)間隔3對橫向點的觀測網形方案F3：網形見圖1(c)。相鄰測站間有三對橫向固定樁控制點，測站間距180 m，控制點縱向間距為60 m，橫向間距10 m。每個測站觀測7對控制點，里程減小方向觀測3對控制點，里程增大方向觀測4對控制點，相鄰兩個測站重復觀測4對控制點，每個控制點被兩個或三個連續測站觀測，最長觀測距離為210 m。

(4)間隔2對斜向點的觀測網形方案F4：網形見圖1(d)，相鄰測站間有2對斜向固定樁控制點，測站間距240 m，控制點縱向間距為120 m，橫向間距為10 m。每個測站觀測5對控制點，每個控制點被兩個或三個連續測站觀測，最長觀測距離為270 m。

圖1 既有線CPⅢ控制網網形方案

4 模擬計算與分析

以2 km測段為試驗段，計算得到四種網形的精度指標、可靠性指標和費用指標。

4.1 絕對點位精度

四種網形的絕對點位精度隨里程變化規律見圖2。從圖2可知：

(1)距已知點越遠，控制點的絕對點位精度越低，最弱點出現在相鄰已知點中間位置；

(2)四種網形的絕對點位精度均小于3 mm；

(3)僅比較絕對點位精度指標，最優網形為間隔2對橫向點的觀測網形F2，其最大點位中誤差為1.13 mm。

圖2 四種網形的絕對點位中誤差

4.2 相對點位精度

對于前三種觀測網形，相鄰點位主要有三種類型：橫向10 m、縱向60 m和斜向61 m。而對于間隔2對斜向點的觀測網形方案F4，相鄰點位有縱向120 m、斜向61 m兩種類型。四種類型相鄰點的相對點位中誤差見圖3。

由圖3可知：

圖3 四種網形的相對點位中誤差

(1)測站間距越大，相鄰點相對點位精度越低；

(2)四種網形的相對點位精度均小于1.5 mm；

(3)僅比較相對點位中誤差指標，最優網形為間隔1對橫向點的觀測網形F1。

4.3 可靠性指標

網形的可靠性指標如表1所示。由表1可知：四種網形的整體可靠性均大于0.4；僅比較可靠性指標，間隔1對橫向點的觀測網形F1明顯優于其他網形。

表1 四種網形的可靠性指標

4.4 費用指標

費用指標是既有線控制網建設時應考慮的重要指標。四種網形的工作量及觀測權總和如表2所示。

表2 四種網形建網費用指標

從表2可以看到，觀測權總和隨著工作量的增加也相應增大，說明觀測權總和可以較好地表征費用。表2說明間隔2對斜向點的觀測網形F4的費用指標優于其他網形。

5 基于多目標決策的方案優選

不同指標確定的最優方案不同，因此需要基于多目標決策確定最優方案。

既有線CPⅢ網形方案優選的決策矩陣通過模擬計算得到，結果如表3所示。

表3 CPⅢ網形方案優選決策矩陣

通過判斷矩陣來確定指標權重。建立7維的判斷矩陣，計算7個指標的權重，結果如表4第1行所示。指標Z2和Z4具有最大權重0.332。基于決策矩陣，建立4維判斷矩陣，計算4個方案在每項指標上的權重。例如對于Z7指標，基于表3最后一行的數據，建立判斷矩陣確定四個方案在該指標上的權重，結果如表4的Z7列。

表4 四個方案重要度計算

由式( 3 )可計算出四個方案的重要度，列于表4最后一列，確定綜合最優方案次序為F4、F1、F3、F2。

選取不同的修正系數和先修正指標，按式( 4 )和式( 5 )可計算28組權重方案(表5)。對于每一組權重方案，按照同樣的方法計算網形方案排序，列于表6。結果表明，只有5種權重方案的排序結果與原結果不一致，且除權重方案7d外(費用權重僅為8.9%)，所有權重方案下得到的最優方案均為間隔2對斜向點的觀測網形方案F4。敏感性分析驗證了方案F4作為綜合最優既有線軌道控制網的穩定性。

6 結論

本文針對既有線軌道精調和養護要求，分析比較了四種軌道控制網網形方案，從精度、可靠性和費用三方面提出了七項評價控制網質量的指標，通過2 km測段的模擬算例，定量計算出了四種控制網的七項指標，得到以下結論：

(1)距已知點越遠，控制點的絕對點位精度越低；測站間距越大，相鄰點相對點位精度越低；四種網形方案在精度上均可滿足絕對點位精度在3 mm內，相鄰點的相對點位精度在1.5 mm內的規范要求。

(2)僅就單項指標而言，會得到不同的最優網形；通過多目標決策分析，確定了綜合最優的間隔2對斜向點的觀測網形方案F4，該方案建網費用最低。

(3)通過敏感性分析驗算了28組權重方案，驗證了觀測網形方案F4作為綜合最優方案的穩定性，其適合在既有線軌道控制建網中推廣使用。

表5 修正權重

表6 不同權重方案下的網形方案排序