基于有限元功率流法的輪軌系統能量分布特性研究

周昌盛，周華龍，楊文茂，王 平

(1.中鐵二院工程集團有限責任公司地下鐵道設計研究院，成都 610031； 2.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，成都 610031)

伴隨著我國軌道交通的發展，其產生的振動噪聲逐漸影響著沿線居民的生產生活。進入21世紀以來，軌道交通振動噪聲污染已成為人們需要重點解決的污染之一。在評價振動特性方面，軌道交通領域中一直采用傳統的單因素評價指標(力、加速度、速度、位移)。大量研究表明，振動是以能量的形式在輪軌系統中傳遞，現有的評價指標具有一定的局限性。

功率流作為一種結合了力與速度兩種變量的評價指標，可以從能量的角度評價結構振動特性，在機械、航空與船舶等專業中廣泛應用。Goyder和White[1]提出功率流概念，并研究了無限梁和板中的功率流；Park[2]利用功率流方法研究了小阻尼系統高頻的振動特性；楊波[3]和沈榮瀛[4]用傳遞導納方法對復雜雙層隔振系統進行了研究；周保國[5]、吳廣明[6]用導納方法對功率流在浮筏系統中的傳遞作出了解釋；伍先俊[7]對振動功率流的計算方法進行了研究。此外，國內外學者也嘗試將功率流方法運用于軌道交通的振動特性研究中。MFM Hussien[8]結合建立的地下隧道內浮置板模型，用平均功率流評價了減振措施的有效性；劉維寧[9]等基于功率流法對梯形軌枕軌道結構的減振性能進行了研究；谷愛軍[10]采用導納形式的功率流，建立了浮置板軌道的振動能量傳遞分析模型，并推導了輸入基礎的功率流表達式，探討了軌道參數對于減振效果的敏感性；陳敏敏[11]利用有限元功率流方法研究了橋梁-承軌臺軌道結構的振動特性，并分析了扣件剛度及阻尼變化對鋼軌和承軌臺輸入總功率流的影響；劉鵬輝[12]從振動功率流的角度，建立了軌下-枕下-道砟下墊層及鋼軌-浮置板-基礎的功率流傳遞模型，討論了軌道結構中關鍵參數對軌道結構功率流的影響。盡管功率流法已在軌道交通中應用，并取得一定的研究成果。然而，上述研究存在以下不足：(1)以上文獻只是單純進行了諧響應分析，并未考慮實際不平順作用下的隨機振動特性；(2)未綜合比較加速度、功率流兩種指標在評價振動上的差異性；(3)只研究能量在軌道結構中的傳遞特性，而沒有結合車輛子系統研究能量在輪軌耦合系統內的傳遞及分布規律。

鑒于研究中存在的不足，結合輪軌動力學模型與有限元功率流方法，推導了不平順激勵下輸入輪軌系統、車輛子系統(包括各子結構)、軌道子系統的功率流計算公式；計算分析了不平順激勵下能量在輪軌系統中的分布規律，并分別以加速度、功率流為評價指標，比較分析了振動在車輛子系統內的傳遞及損失規律。

1 功率流方法介紹

1.1 功率流理論介紹

功率流是將物理學中的功率概念應用于振動分析領域，其包含力和速度兩個參量，能夠直觀反映能量的分布及傳遞規律。輸入結構的功率的基本表達式如下

P=F(t)·V(t)

(1)

式中，F(t)為作用于結構某點處的外力，而V(t)為該點處對F(t)所產生的速度響應，均是時間的函數。

對于振動分析來說，平均功率可反映振動的強度，因為在一段時間內的平均功率，比某一時刻的瞬時功率更能反映外部激勵注入結構的能量強度，這樣就把按時間平均的功率定義為振動功率流，即

(2)

1.2 有限元功率流法

應用于振動分析領域的功率流方法有多種，包括有限元功率流法、導納功率流法、波動功率流法及試驗功率流法等，各種方法有不同的特點。有限元功率流法是指應用有限元軟件計算出各點的應力、速度等響應，根據功率流與力、速度之間的簡單關系，研究結構功率流動的方法。該方法的優點是理論簡單，只需要通過計算模型或軟件計算出的力、速度響應進行后處理分析，即可得到流動到各結構中的功率。隨著一些大型計算軟件的推廣應用，有限元功率流法也得到發展應用。

鑒于工程中多以有限單元法將鋼軌進行離散，并進而求解輪軌耦合系統的動力響應。因此，擬將有限元功率流法運用于輪軌系統動力學的研究當中，以功率流為評價指標，從能量的角度分析振動在輪軌系統中的傳遞及分布規律。

2 輪軌系統動力學模型及功率流理論推導

本章將有限元功率流的思想與傳統的輪軌系統動力學理論相結合，推導出輸入輪軌系統、車輛子系統(包括各子結構)、軌道子系統功率流的計算公式。

2.1 輪軌系統動力學模型

(1)模型簡介

首先運用哈密爾頓原理與車輛-軌道耦合動力學理論，建立了高速列車-軌道垂向耦合動力學模型，用以模擬高速列車-軌道系統垂向受力運動情況[13-15]。模型中車輛子系統由多剛體結構模擬，考慮車體與轉向架的沉浮、點頭運動，以及車輪的沉浮運動；鑒于目前高鐵中主推CRTSⅢ型板式無砟軌道，軌道彈性幾乎由扣件系統提供，因此軌道系統采用單層離散點支承模型，并利用有限單元法對其進行離散，模型如圖1所示。

圖1 全車-單層彈性點支承軌道平面模型

(2)系統垂向振動方程組的建立及求解

基于哈密爾頓原理，根據系統的總動能、總勢能及相應的虛功，結合計算機中的對號入座法則[16]，可以很方便地建立車輛-軌道系統振動方程組

(3)

模型建立后，首先采用Wilson-θ法起步運算，然后再采用Park法求解振動方程組，其中Δt=1 ms，θ=1.4。

2.2 功率流計算公式推導

(1)輪軌系統內各子系統的輸入功率流

輪軌系統中，車輛與軌道為多點接觸，對于車輛子系統和軌道子系統而言都是多點激勵。輸入車輛子系統、軌道子系統的功率流Pc及Pg見式(4)、式(5)。

Pc=[F][Vl]

(4)

Pg=[F][Vg]

(5)

其中

[F]=[F11…F1m…Fn1…Fnm]

[Vl]=[V11…V1m…Vn1…Vnm]T

[Vg]=[Vg11…Vg1m…〗Vgn1…Vgnm]T

上述表達式中，Fnm為作用在第n節車第m個輪對的輪軌力；Vnm為第n節車第m個輪對的垂向振動速度；Vgnm為第n節車第m個輪對接觸點處鋼軌的垂向振動速度。

輸入輪軌系統的功率流為Pc與Pg之和。

(2)車輛子系統內各子結構的輸入功率流

輸入輪對的功率流即輸入車輛子系統的功率流；

輸入轉向架的功率流為

PZ=[F1][Vz]

(6)

[F1]=[Fz11…Fz1m…Fzn1…Fznm]

[Vz]=[Vz11…Vz1m…Vzn1…Vznm]

輸入車體的功率流為

PB=[F2][Vb]

(7)

[F2]=[Fb11…Fb1l…Fbn1…Fbnl]

[Vb]=[Vb11…Vb1l…Vbn1…Vbnl]

式中，Fznm為第n節車第m個輪對傳遞至轉向架的力；Vznm為Fznm作用點處對應的轉向架的垂向振動速度(考慮點頭作用)；Fbnl為第n節車第l個轉向架傳遞至車體的力；Vbnl為Fbnl作用點處對應的車體的垂向振動速度(考慮點頭作用)。

3 計算參數及功率流的時頻轉換

3.1 功率流信號的后處理

利用車輛-軌道耦合動力學模型可以計算得到輪軌系統內各結構的力、速度信號，進而統計得到輸入各子系統(子結構)的功率流時域信號。然而，研究表明，經時間平均的功率流更能反映振動的強度[17]。因此，可通過時頻轉換得出功率流在頻域內的大小與分布，具體流程見圖2。另外，為直觀展示，引入功率電平的概念并采用1/3倍頻程的展示方法。

圖2 功率流分析流程示意

功率電平是通過計量的功率值與功率為1 mW的零電平功率比較所確定的相對大小值，其數學表達式如下

Pm=10·lg(P/1) dBm

(8)

式中，Pm為功率電平；P為需要計量的絕對功率值，mW；1表示零電平功率為1 mW；dBm表示以1 mW為基準的功率電平分貝值。

3.2 計算參數

計算過程中，車輛采用CRH3型高速列車，其參數見表1[18]，行車速度取350 km/h；不平順激勵采用中國高速軌道譜(波長取0.1～200 m)，不平順時域樣本如圖3所示；軌道結構參數見表2。

表1 CRH3型高速列車垂向模型參數

圖3 高低不平順時域樣本

>表2 軌道模型參數

4 輪軌系統內能量分布及傳遞特性分析

以功率流為指標，通過計算并給出車輛子系統、軌道子系統及輪軌系統總輸入功率流的大小與分布，進而研究隨機振動過程中能量在輪軌系統中的分布規律。另外，分別以加速度及功率流為評價指標，通過計算給出車輛子系統內各子結構的加速度及輸入功率流大小與分布，進而分析振動的傳遞規律[19-20]。

4.1 輪軌系統內功率流分布特性研究

各子系統輸入功率流的大小及分布如圖4所示。

圖4 輸入各子系統功率流1/3倍頻分布

從圖4可見，車輛子系統的輸入功率流在0～8 Hz及高于200 Hz的頻段內較小，而在8～200 Hz頻段范圍內取值較大，且在中心頻率為63 Hz的頻段內有最大功率電平131.3 dBm；軌道系統的輸入功率流在0～40 Hz頻段內較小，在高于40 Hz的頻段范圍內較大，且在中心頻率為630 Hz的頻段內有最大功率電平136.9 dBm。

另外，比較各曲線可以發現：輪軌系統的輸入功率曲線與車輛子系統的輸入功率曲線在低頻階段幾乎重疊，輪軌系統的輸入功率曲線在高頻階段與軌道系統的輸入功率曲線重疊；中心頻率在63 Hz以下時，車輛子系統輸入功率曲線高于軌道系統的輸入功率曲線，當中心頻率高于63 Hz時，則反之。因此，列車運行時產生的低頻能量主要輸入到車輛子系統中，從而引起車輛子系統的低頻響應；高頻能量主要傳遞至軌道系統，引起軌道結構的高頻振動。

4.2 輪軌系統內功率流傳遞關系研究

分別以加速度及功率流為評價指標，分析振動在車輛子系統內的傳遞規律，并比較兩種評價指標的異同。

(1)加速度指標

圖5為隨機振動過程中，車輛子系統內的車體、轉向架、輪對的豎向加速度振級。圖6為轉向架與車體的振動加速度衰減幅度。

圖5 1/3倍頻未計權的車體、轉向架、輪對豎向振動加速度級

圖6 輪對-轉向架-車體振動加速度衰減幅度

由圖5可知，輪對(轉向架、車體)垂向振動加速度在中心頻率為63 Hz(63，16 Hz)頻段內出現極值，為128.5 dB(105.2，63.3 dB)。輪對加速度在高于16 Hz頻率范圍內較大，轉向架振動加速度主要分布在16～80 Hz，而車體振動加速度主要分布在20 Hz以下的低頻范圍。輪軌相互作用過程中，2 Hz以上各頻帶范圍內，車輛子系統內各部件的振動強度自下而上發生顯著的衰減。2 Hz以下各頻帶范圍內，出現車體加速度大于轉向架、輪對加速度的情況，其原因是加速度經過一系、二系懸掛時，加速度主頻會向低頻小幅偏移，而2 Hz以下范圍內各頻帶帶寬較小，最終導致車體加速度在該頻帶內有效值顯著增大。

由圖6可知，經一系懸掛的減振，轉向架的振動強度在16 Hz以上的中高頻發生明顯減弱，最高的在1 000 Hz附近衰減74.3 dB，而在16 Hz以下的低頻部分變化不大；經二系懸掛的減振，車體的振動強度在全頻范圍內降低，最高的在160 Hz頻段衰減81.7 dB。

(2)功率流指標

以功率流為評價指標研究振動的傳遞特性，計算并得出的傳遞至車輛子系統內各部件功率流的大小如圖7所示。統計的車輛子系統輸入功率流在流經一系、二系懸掛時各頻段的損耗幅度如圖8所示。

圖7 車體、轉向架、輪對的輸入功率流

圖8 輪對-轉向架-車體振動功率流衰減幅度

由圖7可知，輪對(轉向架、車體)的輸入功率流在中心頻率為63 Hz(16，1.25 Hz)的頻段內出現最大值，為131.3 dBm(124.8，109.1 dBm)。具體的，輸入輪對的功率流在全頻域范圍內均保持較大值，轉向架的輸入功率流主要分布在250 Hz以下的中低頻范圍，而車體的輸入功率流主要分布在20 Hz以下的低頻范圍。2 Hz以上各頻帶范圍內，傳遞至車輛子系統的功率流由下至上(輪對-轉向架-車體)在全頻范圍內發生衰減。2 Hz以下各頻帶范圍內，出現車體輸入功率流大于轉向架、輪對輸入功率流的情況，其原因與圖5中出現情況類似。

由圖8可知，輸入功率流流經一系懸掛時，高頻范圍的能量得到消耗，其中在中心頻率為800 Hz的頻段內功率流損耗31.3 dBm；輸入功率流流經二系懸掛時，在全頻域范圍內出現損耗，其中在中心頻率為50 Hz頻段內功率流損耗33.6 dBm。

通過對比圖5與圖7可見：車體的加速度強度與輸入功率流頻域分布總體一致，而輪對及轉向架的振動加速度強度與輸入功率流分布并不相符。這是由于傳遞至輪對(轉向架)的能量，一部分留在輪對(轉向架)處，引起該結構的振動，另一部分則傳遞至轉向架(車體)處；而輸入車體的能量則由于不能繼續往下傳遞，則幾乎所有的能量都通過振動的形式消耗。

通過對比圖6與圖8可以發現，經一系(二系)懸掛減振后，結構間的振動加速度衰減與能量消耗分布并不統一，說明了加速度指標并不能體現振動在結構間的實際傳遞與消耗情況。

綜上所述，功率流評價指標直觀地給出結構的輸入能量及結構間能量的傳遞、消耗情況，而加速度則只能反映對象部件的振動強度。因此，在進行結構的減振、隔振等分析研究時，推薦采用功率流指標；而在評價結構振動強度時，建議使用加速度指標。

5 結論與建議

基于目前軌道交通領域振動評價指標的局限性，將有限元功率流方法與傳統的輪軌系統動力學理論相結合，引入功率流指標，從能量的角度分析不平順激勵下輪軌系統內振動的分布及傳遞規律，并對比分析了加速度與功率流兩種指標的差異性。得到如下結論。

(1)列車垂向振動中產生的低頻(低于63 Hz)能量主要流入車輛子系統，引起車輛子系統低頻振動響應，而高頻(高于63 Hz)能量則傳遞至軌道系統，引起軌道結構的高頻振動。

(2)功率流指標能直觀給出振動能量在結構中的傳遞及分配規律，適合于減振、隔振措施分析研究；而加速度指標能直觀地反映作用于指定結構的振動能量大小，適合作為減振效果的評價分析。