釋疑概率分布函數(shù)的連續(xù)性

泉州海洋職業(yè)學(xué)院 福建 泉州 362700

一 、概率分布函數(shù)的引入背景

設(shè)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，其取值范圍為[a，b]，即a≤ξ≤b，研究ξ所取的值落在任一子區(qū)間[c，d]?[a，b]的概率P{c≤ξ≤d}。由于隨機(jī)變量取任一指定的實(shí)數(shù)值的概率等于零，即P{ξ=c}=P{ξ=d}=0，故

若丟棄區(qū)間右端點(diǎn)，可得P{c≤ξ≤d} ①

若丟棄區(qū)間左端點(diǎn)，可得P{c≤ξ≤d}=P{c＜ξ≤d} ②

由①式可得，P{c≤ξ≤d}=P{c≤ξ＜d}=P{ξ＜d}-P{ξ＜c} ③

由②式可得，P{c≤ξ≤d}=P{c＜ξ≤d}=P{ξ≤d}-P{ξ≤c} ④

為了掌握隨機(jī)變量ξ的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，如果知道P{ξ＜x}，則可以通過③式解決P{c≤ξ≤d}這個(gè)問題。同理，如果知道P{ξ≤x}，則可以通過④式解決P{c≤ξ≤d}這個(gè)問題。

二、定義釋疑

由上面的分析，我們知道，P{c≤ξ≤d}這個(gè)問題的解決有兩種不同的選項(xiàng)。歷史上，由于所采用的選項(xiàng)不同，不同的教材就給出了兩種不同的定義方式。

我國數(shù)理統(tǒng)計(jì)先驅(qū)、華東師范大學(xué)教授魏宗舒先生編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》[1]由高等教育出版社出版，被國內(nèi)高等師范院校數(shù)學(xué)系廣為采用作教材，在國內(nèi)數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的影響力。在此教材中，采用的是③式的方式，定義概率分布函數(shù)如下：

定義1 定義在樣本空間Ω上，取值于實(shí)數(shù)域的函數(shù)ξ(ω)稱為是樣本空間Ω上的(實(shí)值)隨機(jī)變量，并稱

F(x)=P{ξ(ω)＜x}，x∈(-∞，+∞)

是隨機(jī)變量ξ(ω)的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)或分布。

由華南理工大學(xué)出版的吳亞森等編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[2-3]也采用③式的方式定義概率分布函數(shù)。按③式的方式定義的概率分布函數(shù)具有左連續(xù)性，即F(x-0)=F(x)。

浙江大學(xué)盛驟等編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[4]在國內(nèi)工科領(lǐng)域具有較大影響力，第一版到第四版都采用的是④式的方式，定義概率分布函數(shù)如下：

定義2 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)

F(x)=P{X≤x}，x∈(-∞，+∞)

稱為X的分布函數(shù)。

按④式的方式定義的概率分布函數(shù)具有右連續(xù)性，即F(x+0)=F(x)。

定義1和定義2并不等價(jià)，但卻沒有本質(zhì)的區(qū)別。二者都是針對(duì)如何解決P{c≤ξ≤d}這個(gè)概率問題而入手的。不同的是，定義1舍棄了右端點(diǎn)，而定義2舍棄了左端點(diǎn)。二者各成一體，并不矛盾。但兩種定義方式共存，對(duì)于學(xué)生及數(shù)理統(tǒng)計(jì)工作者造成了一定的困擾。

2008年魏宗舒等在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》(第二版)[5]序言中標(biāo)明“為了與后續(xù)課程相適應(yīng)，將第一版中分布函數(shù)的左連續(xù)改為如今一貫通用的右連續(xù)。”修改后的概率分布函數(shù)的定義如下：

定義3 定義在樣本空間Ω上，取值于實(shí)數(shù)域的函數(shù)ξ(ω)稱為是樣本空間Ω上的(實(shí)值)隨機(jī)變量，并稱

F(x)=P{ξ(ω)≤x}，x∈(-∞，+∞)

是隨機(jī)變量ξ(ω)的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)或分布。

定義3采用的也是④式的方式，由此定義的概率分布函數(shù)具有右連續(xù)性，即F(x+0)=F(x)。至此，國內(nèi)主流的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材[4-25]關(guān)于概率分布函數(shù)的定義都統(tǒng)一采用④式的方式。

三、結(jié)論

由于歷史的原因，我國概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中采用了不同的概率分布函數(shù)定義方式，由此造成了概率分布函數(shù)的連續(xù)性的差異，給學(xué)生及學(xué)者們造成了一定的困擾?，F(xiàn)在，國內(nèi)主流的教材對(duì)概率分布函數(shù)采用了統(tǒng)一的定義方式，在此統(tǒng)一的定義下，概率分布函數(shù)具有右連續(xù)性。