立足數(shù)學思想 涵育模型素養(yǎng)

（福州市長樂區(qū)洞江小學，福建 福州 350200）

在小學數(shù)學教學中，數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的核心與精髓。學生面對繁雜問題，無法靈活地調用已有的知識和生活經驗解決抽象的實際問題，究其原因是教師對學生進行數(shù)學思想方法的有效滲透及培養(yǎng)學生應用模型思想的能力等方面的思想意識不夠到位。而數(shù)學思想中三個基本思想之一——模型思想，在提高學生數(shù)學能力和思維品質方面起到舉足輕重的作用。它是解決問題的核心，具有很高的應用價值。因此，在教學過程中，教師應立足于數(shù)學思想方法，創(chuàng)設問題與情境，引導學生經歷建模過程，體驗抽象的模型思維，幫助學生從不同的角度思考和解決問題，從而提升數(shù)學素養(yǎng)。

一、問題與情境：感知數(shù)學模型基礎

熟悉的生活情境是數(shù)學模型構建的基本保障。教師可以將學生熟悉的生活素材引入課堂，通過創(chuàng)設問題與情境，從具體情境中抽象出數(shù)學模型，從而初步感知模型思想。［1］例如，《求比一個數(shù)多（少）幾？》的減法模型構建，可以先出示以下幾個問題：

（1）小東有35 枚郵票，小西有20 枚郵票，小東比小西多多少枚郵票？

（2）小勇?lián)炝?3 個貝殼，小英撿了31 個貝殼，小勇比小英少撿了幾個貝殼？

（3）哥哥和弟弟的體重分別是54 千克和38 千克，他們相差多少千克？

師：為什么這3 道題都用減法計算呢？

生：他們都是求“多多少”或“少多少”，所以用減法。

教師順勢引出大數(shù)、小數(shù)和相差數(shù)的概念，并出示“大數(shù)－小數(shù)=相差數(shù)”這一數(shù)量關系，然后引導學生自主構建“求比一個數(shù)多（少）幾？”的減法數(shù)學模型。通過擺一擺、畫一畫、圈一圈等直觀操作，引導學生初步感知數(shù)學基本模型，為今后繼續(xù)學習探究加減法的變式模型、乘除法模型、路程模型、植樹模型、工程模型等數(shù)學模型的構建奠定基礎。［2］

二、經歷與體驗：抽象數(shù)學模型思維

將生活中的實際問題抽象成數(shù)學模型后再加以解釋與運用，是有效地建構數(shù)學模型的本質。在教學中，教師要避免學生養(yǎng)成在解決問題時只會套用模型的習慣。只有真正內化的數(shù)學模型，才能促進學生思維的提升。因此，教師要結合具體情境，通過描述性語言、圖形語言及符號語言相結合的方式，解釋自己對所構建的數(shù)學模型的理解。［2］例如，四年級下冊構建“乘法分配律”的數(shù)學模型，教師出示：“小西家的客廳長10m，寬5m，餐廳的長5m，寬3m。若以邊長為1m鋪地磚，一共要鋪多少塊？”學生通過觀察發(fā)現(xiàn)：可以先分別求出客廳和餐廳各需要的塊數(shù)，再相加，得出算式：10×5+3×5=65（塊）。也可以將兩個房間合并成一個房間（變成一個大長方形），先算沿大長方形的長鋪，要10+3=13（塊），再算一共要鋪5 行（沿大長方形的寬鋪）所需要的塊數(shù)，得出算式：（10+3）×5=65（塊）。學生經歷了兩次數(shù)量關系的分析過程，觀察發(fā)現(xiàn)客廳鋪了10 個5 塊，加上餐廳鋪了3 個5 塊，實際上鋪了13個5 塊。因此，可以建立等式：10×5+3×5=（10+3）×5。學生結合具體的生活情境，在多變的問題中抓住不變的知識本質，初步感知并構建乘法分配律的基本數(shù)學模型：a×c+b×c=(a+b)×c。

乘法分配律與其他運算律相比，結構更為復雜，意義更為隱蔽、抽象。在教學中，教師可以結合具體情境，通過描述性語言，幫助學生理解乘法分配律的現(xiàn)實意義；通過圖形語言和符號語言相結合的方式，幫助學生抽象出乘法分配律的直觀模型。［1］由乘法分配律基本模型，可以推導出乘法分配律的變式模型，如：a×b+c×b=(a+c)×b、b×a+b×c=b×(a+c)、c×a+c×b=c×(a+b)等。只有真正理解掌握了乘法分配律的本質特征，才能在較復雜的問題情境中辨析關系，把握關鍵，解決問題。在小學階段，乘法分配律運算模型的應用非常廣泛，例如：

某服裝商城出售一款套裝，每件上衣325 元，__，買16 套這樣的套裝需要多少元？列式為（325+175）×16，那么橫線上的信息應該是（ ）。

A.褲子的價格比上衣貴175 元

B.每條褲子175 元

C.每雙鞋子175 元

此題的設計意圖在于檢測學生在具體情境中，對乘法分配律模型本質特征的認識。假設選項A 是正確的，那么結果則表示褲子的總價，而選項C 則與本題無關，因此正確答案應該是B。其中，325 和175 分別表示上衣和褲子的單價，算式325+175 表示一套這樣的套裝的價格，算式（325+175）×16 表示16 套這樣的套裝的總價。在教學中，教師要善于創(chuàng)設基本數(shù)學模型的變式情境，激勵學生主動思考，培養(yǎng)學生養(yǎng)成數(shù)學建模的思維習慣，逐漸增強數(shù)學建模思想的意識，不斷積累豐富的數(shù)學建模經驗，有效提升分析、比較、歸納、概括、抽象、推理等方面的數(shù)學素養(yǎng)。

三、形象與抽象：構建數(shù)學模型方法

課堂教學借助數(shù)形結合，將形象思維和抽象思維巧妙結合，化復雜為簡單，化抽象為具體，分散思維難度，利用形的直觀去尋找數(shù)與數(shù)之間的關聯(lián)，利用數(shù)的抽象去探索圖形與圖形之間的關聯(lián)，實現(xiàn)形象與抽象的統(tǒng)一，從而構建數(shù)學模型，提升數(shù)學素養(yǎng)。例如，教師出示：“6 個點一共可以連多少條線段？8 個點呢？”隨著問題的拋出，學生一開始無法構建相應的圖形及其數(shù)量關系。教師可以引導學生運用化繁為簡的思想方法尋找解題思路：可以從一個點、兩個點、三個點等開始，嘗試著邊畫邊尋找規(guī)律。（見圖1）

圖1

學生通過畫圖、質疑、分析列表中的數(shù)據特點,發(fā)現(xiàn)：兩個點可以連1 條線段，從第3 個點開始，增加第3個點時就增加2 條線段，增加第4 個點時就增加3 條線段……同理可得，6 個點就增加5 條線段，8 個點就增加7 條線段。

師追問：剛才我們通過畫圖發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，那么10 個點，20 個點，n 個點能連多少條線段呢？還需要通過畫圖來解決嗎？

生1：從圖表中發(fā)現(xiàn)，3 個點中任何一個點和另外兩個點都能連2 條線段，那么3 個點就可能連6 條線段，因為每條線段都重復連了一次，因此6 要除以2，得出能夠連3 條線段；以此類推，10 個點就可以和另外9 個點連成90 條線段，由于都重復連了一次，所以90 除以2 等于45 條；20 個點和另外19 個點連成380條，因為都重復連了一次，所以380 除以2 等于190 條。n 個點就可以連成n 乘n 減1 的差的積再除以2。

生2：每增加一個點，這個點就可以與原有的點連成線段，新增線段的條數(shù)與原來點的個數(shù)相等。通過分析推理得出n 個點所連成線段的條數(shù)：1+2+3+4+……+（n-1)。通過化簡得出：n（n-1)÷2。

教學案例中，學生在畫圖尋找規(guī)律過程中，體驗到直觀圖形便于觀察其中的數(shù)量及數(shù)量關系。通過列表中的數(shù)據,抽象出其中的規(guī)律，從而得出“同一平面內若干個點能連成多少條線段”的答案。同樣的問題，從不同的角度思考，有不同的解題方法，從而實現(xiàn)深度思考。學生經歷了由形象到抽象的自我建模過程，在觀察、比較、分析、抽象、概括、推理等方面的數(shù)學素養(yǎng)得到提升。

在小學數(shù)學教材中，數(shù)學模型無處不在，每一個實際問題都能夠找到跟其相對應的數(shù)學模型。教師要善于創(chuàng)設情境，注重數(shù)學思想方法的滲透，以問題引領促思考，借助直觀促想象，化形象為抽象，使學生感悟數(shù)學模型思想是解決問題的關鍵，增強建模意識，總結建模經驗，實現(xiàn)有效的數(shù)學模型構建，促進數(shù)學素養(yǎng)的提升。