不等式證明的若干方法

陳瑞

摘? 要：無論在初等數學還是高等數學中，不等式都是十分重要的內容，而不等式的證明則是不等式知識的重要組成部分。在本文中，我總結了一些數學中證明不等式的方法。在初等數學不等式的證明中經常用到的有比較法、作商法、分析法、綜合法、數學歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數法、幾何法等等。在高等數學不等式的證明中經常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫爾德不等式等等，從而使不等式的證明方法更加的完善，有利于我們進一步的探討和研究不等式的證明。通過學習這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養成勤于思考、善于思考的良好學習習慣。

關鍵詞：不等式;比較法;數學歸納法;函數

1緒論

1.1前言

不等式作為一個重要的分析工具和分析手段，在數學中具有舉足輕重的作用和地位，不等式的證明可分為推理性問題和探索性問題，推理性問題是指在特定條件下，闡釋證明過程，解釋內在規律。

相對于等式的可確定性，不等式更像是確定一個界限，制定一個條件來規范，和劃定一個范圍，所以不等式的證明是非常有趣和富有挑戰。不等式的證明沒有固定的程序，證法因題而易，靈活多變，技巧性強。其最基本的方法是應用定義及基本性質，并通過代數變換予于證明。要追尋一個大家所熟知的不等式的起源是很困難的，很可能它是在一篇關于幾何或文學方面的論文中作為一個輔助命題首先出現，但在出現的時候卻又往往沒有明確的表達出來;過了若干年后，它又可能為幾個不同的作者重新發現;但也許沒有一個可以過得去的敘述是十分完善的。我們幾乎常常發現，即使對于那些最著名的不等式，也還是可以增添一點新的東西，像不等式這樣的一個內容，它在數學的各個方面皆要用到。

1.2不等式的基本性質

這個定義雖然簡單，實際它反映不等式的性質。許多不等式的證明，是從這個定義出發。首先，根據不等式的定義，容易證明下述不等式的簡單性質，這些性質是證明其他不等式的基本工具。

2證明不等式的方法

不等式的證明沒有固定的程序，證法因題而異，靈活多變，技巧性強。其最基的手法是應用定義及基本性質，并通過代數變換予于論證。

2.1證明不等式的基本方法

2.1.1比較法

作差比較，要點是：作差——變形——判斷

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

2.1.2做商比較法

做商比較法的要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

2.1.3分析法

從求證的不等式出發，分析不等式成立的條件把證明這個不等式轉化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都以具備那么就可以判定這個不等式成立，這種證明方法叫作分析法。

即原不等式成立。

參考文獻

[1]嚴鎮軍.不等式[M].北京：人民日報出版社，1990（03）：1.

[2]陳紀修，於崇華，金路.數學分析[M].北京：高等教育出版社.2004，6（02）.

[3]戴士弘.職業教育課程教學改革[J].襄樊職業技術學院.北京：清華大學出版社，2007.

[4]張順燕.數學的思想、方法和應用[M].北京：北京大學出版社，2003.