整體思想在解方程組中的妙用

□邱清木

整體思想在解方程組中的妙用

□邱清木

整體思想和方程思想是數學中兩種重要的思想方法，通常將兩者結合起來解決一些特殊問題，能收到事半功倍的效果.本文通過一些事例來展示它們的妙用.

一、在代入法解方程組中的妙用

例2購買鉛筆7支，作業本3個，圓珠筆1支共需10元；購買鉛筆10支，作業本4個，圓珠筆1支共需13元.問購買鉛筆11支，作業本5個，圓珠筆2支，共需多少元？

解析：設鉛筆、作業本、圓珠筆的單價分別為a元、b元、c元，則有需求11a+5b+2c的值.我們可以把11a+5b+2c用含7a+3b+c，10a+4b+c的式子來表示，即11a+5b+2c=3（7a+3b+c）-（10a+4b+c）=3×10-13=17.當然此題也可用含a的式子分別表示b、c的解，再代入求值.

二、在加減法解方程組中的妙用

例4有甲、乙、丙3種商品，某人若購買甲3件、乙7件，丙1件共需24元，若購買甲4件，乙10件，丙1件共需33元，則此人購買甲、乙、丙各1件共需多少元？

解析：可設購買甲、乙、丙每件商品分別需a元、b元、c元，則有.將方程組變形為由①×3-②×2得a+b+c=6.當然此題也可用含b的式子分別表示a、c的解，再代入a+b+c中，結果仍為6.

三、在換元法解方程組中的妙用

解析：這是一道分式方程組，且未知數有2個，因此很難解.觀察可設.故原方程組可變形為解得，.因此有利用“倒一倒”可變形為，解得

四、在解方程組中的其他妙用

例7某家商店的賬目記錄顯示：某天賣出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元.另一天，以同樣的價格賣出同樣的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元.這個記錄是否有誤？如果有誤，請說明理由.

由①×2得26x+14y=264，顯然與②式矛盾.故這個記錄有誤.

方程組的應用很廣泛，而解方程組是基礎.對一些特殊的、復雜的方程組（或求值），我們通過觀察、分析、類比，運用整體思想可以化繁為簡，收到奇妙的效果.