產出為Cobb-Dauglas函數的Holmstrom-Milgrom委托代理模型

劉敬偉 田戊戌 王振濤

摘 要 Holmstrom-Milgrom模型是在委托代理理論一般化模型的基礎上提出的一個簡化模型，引入代理人的能力水平，將產出函數從一維的線性函數擴展到二維的非線性Cobb-Dauglas生產函數，分析求解了新的模型.與原模型相比，新的最優解中代理人的努力程度有所提高，風險成本有所降低，委托人的期望收益有所改善.

關鍵詞 Cobb-Dauglas函數; 委托代理理論; Holmstrom-Milgrom模型; 帕累托改進

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Abstract Holmstrom-Milgrom model is a simplified model based on the generalized model of principal-agent theory. By introducing the ability level of agent， the output function is extended from one-dimensional linear function to two-dimensional nonlinear Cobb-Douglas production function， and the new model is analyzed and solved. Compared with the original model， in the new optimal solution， the agent's effort is increased， the risk cost is reduced， and the expected return of the principal is improved.

Key words Cobb-Dauglas function;principal-agent theory; holmstrom-milgrom model;pareto-improvement

1 引 言

委托代理理論興起于20世紀60年代末70年代初（Wilson，1969; Ross，1973; Mirrlees，1974），是伴隨著現代企業理論的發展而產生的.委托代理理論是研究不對稱信息環境中的經濟行為的理論.不對稱信息是指在經濟活動中某些參與人擁有但另一些參與人不擁有的信息.通常稱擁有信息的一方為代理人，另外一方為委托人.同時，委托人和代理人又有各自獨立的自身利益要求.由于委托人與代理人之間的信息不對稱以及利益不完全一致，委托人希望代理人按照委托人的利益選擇行動，但委托人無法觀測到代理人采取的行動是否是符合委托人意愿的行動，也就是說委托人面臨代理人的道德風險問題.委托人能夠觀測到的是一些相關變量，這些相關變量是由代理人的行動和其他外生的隨機因素共同決定的.因此委托代理理論的核心問題就是在信息不對稱的條件下，委托人如何根據能夠觀測到的信息設計最優的激勵合同，以促使代理人選擇對委托人和代理人都最有利的行動，在代理人效用最大化的同時，實現委托人的利益最大化.目前，委托代理理論在道德風險、逆向選擇、信號傳遞與信息甄別等方面取得了較大的進展，對于現實制度設計具有越來越強的解釋力和指導作用.

委托代理模型就是刻畫這種委托代理關系的一類數學模型，Rose（1973） [1]用狀態空間模型化方法給出.隨后，Mirrless（1976） [2]用分布函數參數化方法和一階條件法建立了標準的委托代理模型，但該模型并不能保證得到全局最優解.鑒于此，Grossman和Hart（1983） [3]提出了成本收益法，該方法避免了一階條件法的困境，但其假定前提卻比一階條件法更嚴格，因此該方法并不常用.后來，Rogerson（1985） [4]推導出了保證一階條件法有效的兩個條件：代理人的行為結果的分布函數必須滿足單調似然率（MLR）條件和凸性（CDF）條件.雖然在現實經濟中并不是所有的分布函數都能滿足這兩個條件，但它們是對一階條件法的進一步改進和完善，因而使得該方法被后來的文獻不斷引用.然而，被普遍引用的也是最著名的委托代理模型是由Holmstrom和Milgrom（1987） [5]提出的被稱之為委托代理的Holmstrom-Milgrom模型.該模型是在委托代理的一般化數學模型的基礎上，出于簡化分析的目的而提出的一個簡化模型.國內學者如張維迎（1996） [6]、蒲勇健（2010） [7]在應用委托代理模型進行相關問題的分析時，大多也采用Holmstrom-Milgrom模型.

但是，Holmstrom-Milgrom模型在分析一般的委托代理關系時，出于簡化分析的目的，采用的產出函數是線性的生產函數，并且僅考慮了代理人的努力程度對最優合約的影響，沒有考慮代理人的能力水平等其他因素的影響.眾所周知，目前最有代表性的生產函數是Cobb-Dauglas生產函數，該函數根據投入要素的多少來測算具體的產出，不僅參數估計比較簡單，而且符合要素邊際效益遞減規律和規模效益遞減、不變或遞增的不同情況.因此，采用Cobb-Dauglas函數作為Holmstrom-Milgrom模型的產出函數，并在考慮代理人努力程度的同時，引入代理人的能力水平這一影響因素，進一步深入分析Holmstrom-Milgrom模型是有較大價值的.Cobb-Dauglas函數是綜合刻畫勞動和資本兩種生產要素共同發生作用下的產出規律.這里，用代理人的努力程度來替換勞動，用代理人的能力水平來替換資本

由于能力水平是由代理人投入學習、資產、時間等形成的，比較類似于資本，所以這個替換是合理的.

2 模型假設

為了分析和比較的方便，文獻普遍引用的標準Holmstrom-Milgrom模型中的符號及其含義保持不變，因模型需要而增加的符號及其含義一并予以注明.

6 結 論

基于Cobb-Dauglas生產函數，運用數理分析方法，在Holmstrom-Milgrom委托代理模型中植入代理項目以及代理人的能力水平等因素，重新推導和分析了這一經典的委托代理模型.通過分析，得出如下結論.

與標準模型中的一維線性產出函數相比，二維非線性的Cobb-Dauglas生產函數包含了更多的信息，如代理項目和代理人的能力水平等，因而更符合現實，具有更強的解釋力.并且，無論是在信息對稱的條件下還是在信息不對稱的條件下，代理項目的特性以及代理人的能力水平都與委托人的最優期望收益存在正相關關系.因此，在委托代理關系中，考慮這些因素的影響是有意義的.

基于Cobb-Dauglas生產函數構建的Holmstrom-Milgrom委托代理模型，并不改變標準Holmstrom-Milgrom委托代理模型的基礎結論，即在信息不對稱條件下，代理人的努力程度低于信息對稱條件下的努力程度，并且，與信息對稱條件下代理人取得固定收入而不分享產出剩余相比，在信息不對稱條件下代理人要分享一定的產出剩余.

重要的是，與標準的Holmstrom-Milgrom委托代理模型相比較，基于Cobb-Dauglas生產函數的Holmstrom-Milgrom委托代理模型，無論是對稱信息還是非對稱信息的條件下，代理人的努力程度均有所提高，而在非對稱信息條件下，代理人分享的產出份額與標準模型相比有所減少，這是因為在信息不對稱時，風險規避的代理人通過減少分享的產出份額來降低風險成本.

參考文獻

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