呼吸型裂紋梁的非線性振動

王天宇,楊 驍

(上海大學土木工程系,上海200444)

梁類結構是土木工程及機械工程中的一類重要構件,在其服役中由于荷載及環(huán)境因素的作用,梁構件不可避免地會出現(xiàn)裂紋,導致其力學性能發(fā)生變化、承載能力降低和使用壽命縮短.在動力荷載作用下,裂紋梁呈現(xiàn)復雜的力學行為,且分析較為困難和繁瑣,因此研究裂紋梁的動力特性及其動力響應的簡化計算方法具有重要的理論意義和應用價值[1-3].

梁裂紋的宏觀模型主要包括開裂紋模型[2,4-6]和呼吸裂紋模型[7-9].為了簡化分析和計算,在對裂紋梁進行動靜力分析時,通常采用開裂紋模型,即假定裂紋始終處于張開狀態(tài),其數(shù)學處理較為簡單.然而,這一模型忽略了裂紋開閉狀態(tài)引起的非線性效應,導致難以準確把握裂紋梁的力學性能以及識別裂紋損傷程度的不準確性[9-10].

呼吸裂紋模型不僅考慮了在梁彎曲變形過程中裂紋的張開-閉合狀態(tài),而且考慮了裂紋狀態(tài)的非線性效應,更加符合裂紋的實際情況.部分學者基于斷裂力學的基本理論,通過有限元方法數(shù)值模擬了梁中呼吸裂紋梁的開閉合效應[9-12].將裂紋的開閉合視作有限元模型中的局部接觸問題,Andreausa等[11]建立了裂紋梁的平面應力有限元模型,研究了在簡諧荷載作用下呼吸裂紋的非線性共振現(xiàn)象;胡家順等[9]對Andreausa模型進行了改進,研究了裂紋深度與位置對裂紋梁非線性共振現(xiàn)象的影響.雖然此類有限元模型可以較好地模擬裂紋梁振動的非線性特性,但建模過程較為復雜,計算時間較長,故其實際應用受到了一定的限制.為此,一些學者開始試圖建立呼吸裂紋的簡化分析模型.Cheng等[13]將呼吸裂紋等效為一個瞬變剛度的等效扭轉彈簧,將懸臂梁簡化為變剛度彈簧-質點體系,研究了裂紋懸臂梁在簡諧荷載作用下的非線性動力特性;Rezaee等[14]對此模型進行了改進,假設呼吸裂紋的剛度與裂紋處振幅相關,研究了懸臂梁自由振動的非線性特性,并通過實驗驗證了模型的合理性.然而,實際上裂紋開閉狀態(tài)與裂紋處的轉角(彎矩)直接相關,因此這一模型在物理機理上存在缺陷,僅適用于呼吸型裂紋懸臂梁的計算分析.此外,Chondros等[15]、Wang等[16]、楊海燕等[17]基于研究問題的特殊性,建立了呼吸裂紋的不同簡化模型.這些簡化模型雖然大大減小了裂紋梁動力響應計算的復雜性,但由于其未能全面刻畫呼吸裂紋的本質特性,故導致未能準確反映裂紋梁的動力響應特性.

本工作考慮裂紋開閉狀態(tài)及其過渡特征,將裂紋等效為瞬變剛度扭轉彈簧,建立了以裂紋處彎矩(轉角)刻畫裂紋狀態(tài)的新呼吸裂紋模型.利用Delta函數(shù),給出了呼吸裂紋梁的等效抗彎剛度,建立了裂紋Euler-Bernoulli梁動力響應的控制方程,得到了具有任意條呼吸裂紋Euler-Bernoulli梁振動模態(tài)的統(tǒng)一顯示表達式,數(shù)值研究了裂紋開閉狀態(tài)對呼吸裂紋梁瞬時頻率的影響.在此基礎上,本工作提出了一種利用振型疊加法近似計算呼吸裂紋梁的動力響應方法,該方法相對于平面有限元法可有效降低計算量.通過具體算例結果與已有結果的對比,驗證了本模型的合理性,揭示了裂紋的開閉狀態(tài)等非線性效應對裂紋梁動力響應的影響.

1 呼吸型裂紋模型

相關研究[11-12,17-18]表明:在動靜力荷載作用下,裂紋梁的裂紋夾角與截面彎矩的關系可分為如圖1所示的3個階段:

(1)當裂紋處于完全張開狀態(tài)時,其彎矩與裂紋夾角為線性關系,其直線斜率較小;

(2)當裂紋處于完全閉合狀態(tài)時,其彎矩與裂紋夾角為線性關系,但其直線斜率較大;

(3)當裂紋處于開閉過渡狀態(tài)時,其彎矩與裂紋夾角為非線性光滑曲線.

可見,在將裂紋等效為無質量的扭轉彈簧時,裂紋的等效扭轉彈簧剛度K與裂紋狀態(tài)有關.采用材料力學的符號,對于下表面裂紋有K(θ)=M′(θ);對于上表面裂紋,則有K(θ)= ?M′(θ).

圖1 裂紋處彎矩與裂紋夾角改變量關系Fig.1 Relation between the variation of crack angle and the moment in the crack

如果在裂紋完全張開時的等效彈簧剛度為Ko,則對應的裂紋夾角和彎矩分別為θo和Mo,而裂紋完全閉合時的等效彈簧剛度為Kc,對應的裂紋夾角和彎矩分別為θc和Mc.對于裂紋的開閉過渡狀態(tài),相比于已有的開閉裂紋等效彈簧模型[19-20],這里假定裂紋開閉過渡狀態(tài)的M=M(θ)為θ的2次多項式,即裂紋等效彈簧剛度K為夾角改變量θ的一次多項式.于是,裂紋等效彈簧剛度K可表為

式中:α為裂紋位置參數(shù),當裂紋位于下表面時,有α=1;當裂紋位于上表面時,有α=?1,且

式(2)中,令θ(M)=θo,θ(M)=θc,由此可確定裂紋臨界彎矩Mo和Mc分別為

2 呼吸型裂紋梁振動分析

2.1 任意呼吸型裂紋數(shù)目梁的等效抗彎剛度

考慮長和高分別為L和h,抗彎剛度為(EI)0,在x=xi(i=1,2,···,N)處存在深度為di呼吸型裂紋的Euler-Bernoulli梁承受橫向載荷q(x,t)的作用,且0

式中:δ(x)為廣義Delta函數(shù).

圖2 Euler-Bernoulli裂紋梁Fig.2 Euler-Bernoulli cracked beam

當裂紋i處于完全張開及完全閉合2種狀態(tài)時,其等效扭轉彈簧剛度Koi和Kci可分別表示為[13,23]

式中:ν為材料的泊松比;A1為與材料性能有關的參數(shù);函數(shù)J(s)可表為[13,23]

如果認為裂紋閉合后裂紋效應消失,則可令A1→+∞.

2.2 呼吸型裂紋梁的瞬時頻率和瞬時模態(tài)

Euler-Bernoulli裂紋梁的振動控制方程為

式中:w(x,t)為裂紋梁的撓度;ρA為其線質量密度;c為阻尼系數(shù).

對于無阻尼自由振動,則有

在振動過程中,由于裂紋處彎矩M隨時間變化,進而導致裂紋的等效彈簧剛度也隨時間變化,因此方程式(9)為非線性變系數(shù)偏微分方程,通常無法求得其解析解,需要采用近似方法進行求解.

這里,近似地認為裂紋的等效彈簧剛度在小時間區(qū)間[t,t+?t]內為一常數(shù),其中?t為小時間步長.此時,方程式(9)近似為常系數(shù)線性偏微分方程,可利用分離變量法求解,令

式中:ωt為t時刻裂紋梁的瞬時自振頻率;?t(x)為對應的瞬時振動模態(tài).

將式(10)代入方程式(9),得到t時刻裂紋Euler-Bernoulli梁振動模態(tài)方程

方程式(11)的解可表為[23]

式中:Ci(i=1,2,···,4)為待定常數(shù);βt為由t時刻瞬時自振頻率ωt確定的特征參數(shù),且

而x=xi處裂紋梁橫截面的彎矩振幅可表示為

通常在每一瞬時t,可利用梁的4個邊界條件,得到待定常數(shù)Ci(i=1,2,···,4)滿足的線性方程

系數(shù)矩陣[A]的行列式為0,即

給出確定裂紋梁瞬時自振頻率的特征方程,求解此特征方程可得到時刻t的瞬時自振頻率及相應的振動模態(tài)表達式.

2.3 呼吸型裂紋梁動力響應的近似計算

基于文獻[20]的思想,考慮時間序列{ti=ti?1+?t,i=1,2,···},并假設在時間區(qū)間[ti,ti+?t]內,裂紋j的等效彈簧剛度為Kj=≡Kj(ti),由于定常等效彈簧剛度裂紋梁的模態(tài)滿足正交性[24],因此在得到裂紋梁瞬時自振頻率ωti(i=1,2,···)和瞬時模態(tài)(j=1,2,···,M)后,在時間區(qū)間[ti,ti+?t]內可運用模態(tài)疊加法分析裂紋梁的瞬時動力響應,可將

代入方程式(9),利用裂紋梁振動模態(tài)的正交性條件

可得如下動力控制方程:

式中:

利用初始條件求解方程式(20)后,由式(18)可得時間區(qū)間[ti,ti+?t]內裂紋梁的動力響應.同時根據(jù)式(15)計算得到ti+1=ti+?t時刻x=xr處裂紋的彎矩為

根據(jù)ti+1時刻裂紋梁裂紋處的彎矩,代入式(1)和(2)可以得到ti+1時刻裂紋的等效彈簧剛度,從而可計算裂紋梁在[ti+1,ti+1+?t]內的動力響應,最終得到呼吸型裂紋梁的近似動力響應.

3 數(shù)值算例

為了驗證本工作所建立的呼吸型裂紋模型和計算方法的合理性和適用性,采用文獻[20]與[25]中的2個數(shù)值算例進行驗證.

3.1 簡支單裂紋梁的自由振動響應

如圖3所示,文獻[21]中給出了一根單裂紋鋁制簡支梁,梁長L=235 mm,橫截面尺寸b×h=7 mm×23 mm,楊氏模量為E=72 GPa,材料密度為2 800 kg/m3,在給定初始條件

后,可進行簡支單裂紋梁的自由振動分析.

圖3 單裂紋簡支梁自由振動Fig.3 Free vibration with single breathing crack

計算時,各振型的阻尼比?i均取0.02,呼吸裂紋參數(shù)θo=0.01 rad,θc= ?0.01 rad,Ko/Kc=2.73[21],取前5階振型進行疊加,時間步長?t=0.01 s.圖4給出了裂紋深度d1/h分別為0.2,0.4,裂紋所在位置ξ1=x1/L分別為0.2,0.4時,呼吸裂紋梁的跨中位移時程曲線,并與文獻[25]基于攝動法的計算結果進行了對比.可見,由于阻尼的存在,裂紋梁的自由振動振幅不斷減小,最后梁逐漸達到靜止狀態(tài).當不考慮因裂紋呼吸效應增強而引起的梁阻尼的增大時,由圖4(a),(b),(d)和(e)的計算結果可見,振幅速度的降低與裂紋的深度及裂紋位置有關.當裂紋深度較小時,裂紋對于梁整體剛度的影響較小,裂紋梁振幅衰減較快;當裂紋深度較大時,裂紋梁柔度增大,裂紋梁振幅衰減較慢.同樣,由于深度的裂紋其所在位置的不同,對裂紋梁整體剛度的影響也不同.對于單裂紋簡支梁而言,裂紋越靠近跨中,裂紋對梁整體剛度的降低效應就越顯著,裂紋梁自由振動的振幅衰減速度降低;反之,當裂紋越靠近支座,裂紋對梁整體剛度的降低效應越不顯著,裂紋梁自由振動振幅衰減較快.如果認為由于裂紋深度的增加而引起的阻尼比增大幅度為20%,即認為當裂紋深度d/h=0.4時,阻尼比?i取0.024.對比圖4(c),(f)和(b),(e)可見,考慮阻尼比變化與不考慮阻尼比變化時所得的結論不一致,裂紋深度越深時,裂紋梁自由振動的振幅衰減越快.

圖5給出了當裂紋位置ξ1為0.2,0.4,裂紋深度d1/h分別為0.2及0.4時,含呼吸裂紋簡支梁自由振動過程中1階瞬時頻率與振動時間的關系.從圖5可見,由于裂紋開閉狀態(tài)的變化,裂紋梁的瞬時自振頻率在振動過程中不斷變化,并介于完全開裂紋梁與完全閉合裂紋梁的1階自振頻率之間,隨著振動的衰減,瞬時自振頻率的變化幅值不斷減小,最后收斂于某一常數(shù),這一常數(shù)接近于文獻[24-25]提出的呼吸裂紋梁近似固有頻率(見式(25)).隨著裂紋深度的加深及裂紋位置的變化,裂紋的收斂頻率(即最后收斂的常數(shù))發(fā)生變化.當裂紋深度越大裂紋越靠近跨中時,裂紋梁的收斂頻率越小,這一變化規(guī)律與開裂紋梁固有頻率的變化規(guī)律是一致的,但收斂頻率的減小幅度則顯著小于開裂紋梁固有頻率的減小幅度.當利用固有頻率作為識別指標進行裂紋損傷的識別時,這一現(xiàn)象可能會導致裂紋的損傷程度的低估.

圖4 單裂紋簡支梁自由振動跨中位移時程曲線Fig.4 Time-displacement relation at mid span of free vibration of simply-support beam with single crack

圖5 單裂紋簡支梁自由振動1階瞬時頻率與時間關系Fig.5 Time-first order instantaneous frequency relation of free vibration of simply-support beam with single crack

式中:ωo為裂紋張開時的固有頻率;ωc為裂紋閉合時的固有頻率.

表1給出了本工作的裂紋梁自振收斂頻率與文獻[24-25]近似固有頻率的比較,可見二者吻合良好,這從某種意義上說明了本方法的可靠性.

在圖4給出的呼吸裂紋梁自由振動的跨中位移時程曲線的基礎上,利用離散傅里葉變換給出了當裂紋位置ξ1=0.2、裂紋深度d1/h分別為0.2,0.4時,裂紋梁自由振動的頻率響應曲線(見圖6).可見,相較于開裂紋和無裂紋梁,呼吸裂紋梁的頻響曲線峰值介于開裂紋梁與無裂紋梁之間.此外,呼吸裂紋梁的頻響曲線出現(xiàn)多個峰值,顯示了一定的非線性;裂紋深度越深,由呼吸效應所引起的非線性越明顯,這一結論與文獻[25]所得結論是相同的.

表1 呼吸型裂紋梁自由振動收斂頻率與近似頻率的比較Table 1 Comparison of convergent frequency and approximate frequency of beam with breathing crack Hz

圖6 單裂紋簡支梁自由振動頻率響應曲線Fig.6 Frequency response curves of free vibration of simply-support beam with single crack

3.2 懸臂雙裂紋梁在簡諧荷載下的動力響應

考慮如圖7所示的雙裂紋梁懸臂受簡諧荷載作用模型,其梁長L=0.3 m,梁的寬度b和高度h均為0.02 m.彈性E=2.06 GPa,泊松比為0.3,密度為7 850 kg/m3.裂紋的位置ξi=xi/L及深度di/h(i=1,2)參數(shù)見表2.在梁自由端受一個荷載F(t)=0.4sin(?t)kN,梁的初始條件為w(x,0)=0,˙w(x,0)=0.

圖8給出了當?=2時,呼吸裂紋梁自由端的位移時程曲線,而圖9給出了2種工況下裂紋1、裂紋2等效彈簧剛度隨時間的變化.可見,在簡諧荷載作用下裂紋梁周期振動,在振動過程中由于外力及慣性力的存在導致裂紋處的彎矩不斷變化,裂紋出現(xiàn)呼吸效應.如圖8和9所示,當裂紋參數(shù)處于工況1時,裂紋1位于梁下表面,在前半個振動周期內,裂紋在彎矩作用下逐漸閉合,裂紋2逐漸張開,后半個周期內裂紋2由張開狀態(tài)逐漸轉為閉合,裂紋1逐漸張開.在前半個周期內,梁的剛度較大,振幅較小;后半個周期梁的整體剛度較小振幅相應增大.當裂紋參數(shù)處于工況2時,裂紋1位于梁上表面,在前半個周期內,裂紋逐漸張開,后半個周期內逐漸閉合;裂紋2位于梁下表面,在前半個周期內裂紋逐漸閉合,后半個周期內逐漸張開,梁整體剛度變化趨勢與工況1相反,振幅在前半個周期內較大,后半個周期較小.由于文獻[20]未考慮裂紋位于梁上下表面的區(qū)別,故計算結果與本模型的結果有一定偏差,當裂紋參數(shù)處于工況2時,由于主要裂紋(即深度較深的裂紋)的開閉合順序與文獻[20]相反,故這一偏差更加顯著,由此說明上下裂紋的不同對梁動力響應有顯著的影響.

圖7 雙裂紋懸臂梁受簡諧荷載作用Fig.7 Cantilever beam with double breathing cracks subjected to harmonic load

表2 懸臂梁裂紋參數(shù)Table 2 Crack parameters of cantilever beam

圖8 ?=/2時簡諧荷載作用下雙裂紋懸臂梁自由端的位移時程曲線Fig.8 Time-displacement relations at free end of cantilever beam with two cracks subjectedto harmonic load when ?=/2

圖9 2種工況下雙裂紋懸臂梁簡諧荷載作用下裂紋等效彈簧剛度隨時間的變化Fig.9 Time-spring stiffness relation of cantilever beam with two cracks subjected to harmonic load in two working conditions

圖10 雙裂紋懸臂梁在簡諧荷載作用下振動頻譜曲線Fig.10 Spectrum of cantilever beam with double cracks subjected to harmonic load

4 結論

本工作基于Euler-Bernoulli梁模型,研究了含任意數(shù)目呼吸裂紋梁的動力響應.通過梁裂紋在外部荷載作用下的彎矩-轉角方程,給出利用裂紋彎矩刻畫裂紋開閉狀態(tài)的一種新的瞬變剛度扭轉彈簧模型.在此基礎上,基于傳統(tǒng)的振型疊加法,建立了一種呼吸裂紋梁動力響應的計算方法.數(shù)值分析了給定初始位移的單裂紋簡支梁自由振動響應及雙裂紋懸臂梁在簡諧荷載作用下的動力響應,得到了如下結論:

(1)本工作所建立的考慮裂紋開閉過渡狀態(tài)的等效瞬變剛度扭轉彈簧模型,可較好地描述梁振動過程中上下表面裂紋的開閉合過程,且比平面或空間的有限單元法相對簡單,具有一定的實用價值;

(2)在呼吸裂紋梁自由振動的過程中,裂紋梁的瞬時頻率不斷在開裂紋梁與閉合裂紋梁的自振頻率間震蕩,最后趨于某一常數(shù),這一常數(shù)可以認為是呼吸裂紋梁的近似固有頻率;

(3)在簡諧荷載作用下梁中裂紋發(fā)生周期性的開閉合,開閉合的順序與裂紋在上表面或下表面有關,裂紋的開閉狀態(tài)以及裂紋所處的上下表面位置對裂紋梁的動力響應有顯著影響.