淺議平面向量的運算

陳海平

摘要：向量是溝通代數、幾何、三角函數的一種工具，有著及其豐富的實際背景，它源于物理學概念與理論，又通過自身的演繹、發展，形成了自己一系列的科學體系。在初等數學中具有很重要的地位和作用。由于向量有別于數量，它既有大小又有方向，因此很多地方與數量不同，本文通過對平面向量的運算的探討，揭示向量與數量的區別與聯系。

關鍵詞：平面向量;運算法則;運算律

一、如何認識平面向量

1.理解概念：既有大小又有方向的量叫做向量。物理學中位移，速度，力等都是向量，在物理學中向量又叫做矢量。如果我們探討的向量都位于同一個平面內，則把這些向量叫平面向量。從向量的定義中看出，向量不同于數量的地方就是它含有“方向”這個要素。兩個向量不能比較大小，但它們的“模”可以比較大小（向量的大小叫做向量的模），兩個向量相等必須是模相等且方向相同。

2.認識運算：平面向量運算包括加法、減法、數乘運算、內積運算等。加法、減法是指兩個或多個向量之間可以進行加法、減法運算，運算要按照平行四邊形法則或三角形法則進行，其運算法則來源于物理學中共點力的合成定則。向量的加法、減法結果仍是一個向量，向量和實數不能進行加、減運算。向量的數乘運算是指向量可以與一個實數相乘，其結果仍然是一個向量。向量的內積是指兩個向量之間的一種乘積，結果是一個數量，因此，向量的內積又叫數量積、“點積”。這種乘積也源自物理學，比如物理學中“功”的定義。向量的乘法還有兩種：“外積或叉積或矢量積”與混合積。目前，在高中階段只要求了解平面向量的加法、減法、數乘、內積這幾種運算。

3.突出向量與數量的區別：從概念中就應該知道，向量是在數的基礎上加了方向這個要素，這樣一來向量比較大小就沒有任何意義了。數可以進行連加、連乘運算，向量也可以進行連加運算，但是沒有連乘，向量沒有任何意義，與雖然有意義，但是它們不相等，這與我們對實數乘法運算的認知是不是有很大差別？向量在幾何上是用一條有向線段表示的，它更像一個幾何概念，向量的加法遵循三角形法則或平行四邊形法則，向量的摸等于2，向量的摸等于3，那么向量的摸等于5嗎？當然不對。因此，學習向量時，必須注意它與數的區別。

4.牢牢抓住向量坐標的運算工具：平面向量的基本定理，給了我們向量的另一種表示法，它再次地把數和形完美地統一了起來。有了向量的坐標，就大大方便了我們探討向量的垂直與共線。同時為探究平面兩點間距離公式及中點坐標公式提供了方法。

二、平面向量的運算及運算律

1.平面向量的加法：平面向量的加法有兩種法則：三角形法則與平行四邊形法則，這兩種法則是等價的，它們的邏輯順序是先有平行四邊形法則，然后推出三角形法則。這是因為平行四邊形法則是由物理學實驗驗證的結論，然后結合自由向量的概念衍生出了三角形法則。（如圖）

由平行四邊形法則，容易得出向量加法的交換律：

三角形法則的使用條件是：兩個向量要首尾相接，即求向量時，的起點要接的終點，然后由的起點指向的終點的向量就是。 這樣一來，對于共線向量也可以按照三角形法則求和的方法求共線向量的和了，這說明三角形法則可以看作是平行四邊形法則的推廣，它適用于任意兩個向量的求和。

用三角形法則，可以非常方便地對多個向量連續求和，只需要讓這些向量保持首尾相接即可。

2.平面向量的減法：“減去一個向量，等于加上這個向量的相反向量”。通過相反向量，把向量的減法于加法統一成了一種運算，為向量的線性運算提供了方便。

3.平面向量的數乘運算：“實數與向量的乘積仍是一個向量，記作，叫做的數乘向量，這個向量的摸等于，方向：當時，與同向，當時，與反向，當時，就是零向量”。在規定了零向量與任何向量同向后，通過數乘向量，得出了“兩個向量與共線的充分必要條件”：存在唯一確定的實數，使（或）成立。它是后面“平面向量基本定理”的基礎。

5.平面向量的內積：我們把，及三個數的乘積叫做向量與的內積（這里符號表示向量與的夾角，范圍：，顯然有），記作，即。向量的內積源自物理學中“功”的定義，具有現實的指導意義。

內積的運算律：交換律;分配律;

特別需要強調，乘法（內積）結合律不成立，即一般地，想想與各自的含義，就不難理解。同樣的，消去律也不成立，即不能由，推出，因為可能不共線，即便它們共線，方向也可能相反。這與實數乘法的運算律有很大區別，學習中，如果不注意，往往由于知識的負遷移，容易把實數運算律搬到向量中來，產生不必要的錯誤。

對于交換律，由內積的定義，結合實數的運算律是很容易證明的，而分配律的證明就不太容易，需要用到向量的射影定理。

有了向量內積運算的分配律，我們在后面推導向量內積的坐標運算法則時就有了依據，使得向量和與向量和的內積也可以按照多項式乘法展開計算了。

三、平面向量的坐標及向量的坐標運算

1.平面向量基本定理：設與是平面內兩個不共線向量，則對于平面內任意一個向量，必存在唯一有序實數對，使得成立。

這個定理，根據前面定義的向量加法的平行四邊形法則，很容易得到證明，這里把證明留給讀者。

2.平面向量的坐標：設、分別是與x軸、y軸同方向的兩個單位向量，由平面向量基本定理知，平面內的任意一個向量，都存在唯一有序實數對，使得

以上對平面向量運算的探討，有助于學生對向量的認識和理解，當然，限于篇幅，有些地方過于簡單，僅供參考。