非奇異H-矩陣的一組新判定法

陳 茜, 庹 清

(吉首大學數學與統計學院，湖南吉首 416000)

1 引言

非奇異H-矩陣的應用十分廣泛，其判定條件一直是國內外學者研究的熱點問題.黃廷祝、干泰彬等國內學者早期根據非奇異H-矩陣的定義和性質，綜合利用不等式的放縮技巧，給出了非奇異H-矩陣的一些充分判定條件[1-3]，推廣和改進了一些已有的結論[4].劉建州、庹清、謝清明等學者在前人工作的基礎上做出了更好的結果[5-7].近年來，以徐仲、陸全等人為主的學者們運用迭代細分的思想，改進和推廣了若干重要結果[8-10].

記Mn(C)(Mn(R))為n 階復(實)矩陣的集合.設A=(aij)∈Mn(C)，記

定義1[3]設A = (aij) ∈Mn(C)，若滿足|aii| ≥Λi(A)(i ∈N)，則稱A 是對角占優矩陣；若滿足|aii| ＞Λi(A)(i ∈N)，則稱A 是嚴格對角占優矩陣，記作A ∈D；若存在正對角陣X 使AX ∈D，則稱A 為廣義嚴格對角占優矩陣(非奇異H-矩陣)，記作A ∈.

由文獻[3]知，若N1= ?，則A /∈ ?D；若N0∪N2= ?，則顯然A ∈ ?D.故我們設N1?=?, N0∪N2?=?.由于H-矩陣的主對角元均非零，因此，文中所涉及矩陣的對角元均假設為非零.假定矩陣的每一行的非對角線元素的模和為正，本文在不混淆的情況下，簡記Λi=Λi(A).

定義2[3]設A=(aij)∈Mn(C)為不可約矩陣，若|aii|≥Λi(A)(i ∈N)，且其中至少有一個嚴格不等式成立，則A 為不可約對角占優矩陣.

定義3[3]設A = (aij) ∈Mn(C)，若|aii| ≥Λi(A)(i ∈N)，且其中至少有一個嚴格不等式成立，又對每個等式成立的下標i，都存在非零元素鏈aij1aj1j2···ajk?1jk?= 0，使得|ajkjk|＞Λjk(A)，則稱A 為具有非零元素鏈的對角占優矩陣.

引理1[4]設A=(aij)∈Mn(C)為不可約對角占優矩陣，則A ∈?D.

引理2[4]設A=(aij)∈Mn(C)為具有非零元素鏈對角占優矩陣，則A ∈?D.

2003 年，干泰彬、黃廷祝在文獻[1]中給出了如下結果：

定理1[1]設A=(aij)∈Mn(C)，若對任i ∈N0∪N2，有

則A 是非奇異H-矩陣.

2004 年，干泰彬、黃廷祝在文獻[2]中給出了如下改進結果：

定理2[2]設A=(aij)∈Mn(C)，若

則A 是非奇異H-矩陣.

2008年，庹清、朱礫、劉建州在文獻[5]中給出了進一步的改進結果：

定理3[5]設A=(aij)∈Mn(C)，若

其中

則A 是非奇異H-矩陣.

本文在以上工作的基礎上，改進文獻[5]中的主要結果和文獻[1-3]中的部分結果，我們將給出一組判定新條件，并用數值實例說明新條件判定范圍更廣泛.

2 主要結果

為了敘述方便，引入下列符號：由r, m, δ 的定義，可以得到0 ≤r ＜1, 0 ＜m ＜1, 0 ＜δ ＜1.

定理4設A ∈Mn(C)，若滿足

且對任意的i ∈N0，存在t ∈N1∪N2，使得ait?=0，則A 是非奇異H-矩陣.

證明 由0 ≤r ＜1, 0 ＜m ＜1, 0 ＜δ ＜1，根據r, Pi,r(A)的定義，對任意i ∈N1，有

即Pi,r(A)≤r|aii|, ?i ∈N1，則有

又由Pi,r(A)的定義，對任意i ∈N1，有

由h 的定義知，對任意i ∈N1，有0 ≤h ＜1，且

對任意i ∈N2，由(1)式，有

令

從而必有充分小的正數ε，使

構造正對角矩陣D=diag(d1,d2,··· ,dn)，記B=AD=(bij)，其中

對任意i ∈N0，存在t ∈N1∪N2，使得ait?=0.由0 ＜δ ＜1，對任意t ∈N2，

綜上所述，|bii|＞Λi(B)(?i ∈N)，即矩陣B 是嚴格對角占優矩陣，故矩陣A 是非奇異H-矩陣.

注1在定理4 中，由于對任意的i ∈N1, 0 ≤h ＜1，有

故定理4 的條件包含了文獻[5]中定理1 的條件，同時改進了文獻[1-3]中定理1 的條件.最后的數值例子也將說明這一點.

定理5設A ∈Mn(C)，A 不可約，若

且(4)中至少有一個以嚴格不等式成立，則矩陣A 是非奇異H-矩陣.

證明 類似定理4 的證明方法.由于A 是不可約的，故存在任一非空集K ?N, ?i ∈K, j ∈N/K，有|aij|不全為0.

構造正對角矩陣D=diag(d1,d2,··· ,dn)，記B=AD=(bij)，其中

對任意i ∈N2，由(4)式可知，Λi(B)≤|bii|顯然成立.對任意i ∈N0，因為對任t ∈N2，

所以|bii| ≥Λi(B), ?i ∈N.又由(4)中至少有一個以嚴格不等式成立，即存在一個i0∈N2，使得|bi0i0|＞Λi0(B).

由于矩陣A 不可約，則矩陣B=AD 不可約，由引理1 知，矩陣B 是不可約對角占優矩陣，即B 為非奇異H-矩陣，故矩陣A 是非奇異H-矩陣.

注2定理5 條件包含了文獻[5]中定理2 的條件，同時改進了文獻[1-3]中定理2 的條件.

類似定理5，利用引理2，有如下結論：

定理6設A ∈Mn(C)，若

且對任意的i ∈N ?K，存在非零元素鏈aii1,ai1i2,···aisi?，其中i ?= i1, i1?= i2,···is?=i?, i?∈K，則A 是非奇異H-矩陣.

3 數值實例

例1

判定矩陣A 是否為非奇異H-矩陣，其中N0= ?, N1= {3,4}, N2= {1,2}.通過計算可以知道不能用文獻[5]中定的理1 判定，同樣也不能用文獻[1-3]中的定理1 來判定.

易驗證AX ∈D，故矩陣A 確為非奇異H-矩陣.

例2

判定矩陣A 是否為非奇異H-矩陣，其中N0= {1}, N1= {4,5}, N2= {2,3}.通過計算可知不能用文獻[5]中的定理1 判定，也不能用文獻[1-3]中的定理1 來判定.

易驗證AX ∈D，可見矩陣A 確為非奇異H-矩陣.

例3 設

其中

判定矩陣A 是否為非奇異H-矩陣，其中N0=?, N1={21,··· ,80}, N2={1,··· ,20,81,··· ,100}，利用定理4 可判定矩陣A 是非奇異H-矩陣，即A ∈.其中，取正對角矩陣

X=diag(0.1304I, 0.6400I, 0.5600I, 0.6400I, 0.0909I),

易驗證AX ∈D，所以矩陣A 是非奇異H-矩陣.