淺析線面積分的三個重要公式及其應用

楊付貴

摘 ?要：格林公式，高斯公式和斯托克斯公式是高等數學多元函數積分學中的三個重要的計算公式，在多元函數積分學中占有十分重要的地位，這三個重要的公式主要揭示了線面積分與重積分的內在聯系，并且有著極其廣泛的應用。本文主要闡述如何使用格林公式，高斯公式和斯托克斯公式，它們之間的區別與聯系，以及在高等數學中的一些應用。

關鍵詞：高斯公式;斯托克斯;曲線積分

一.三個重要的公式

1.格林公式

設閉區域D是由光滑或分段光滑的曲線L所圍成，函數 及 在D上具有一階連續偏導數，則有格林公式 其中 L是D的取正向的邊界曲線.

2.高斯公式

設空間閉區域 是由光滑或分片光滑曲面S所圍成的單連通區域（不含有洞的區域）， 在 上具有連續的偏導數，則有高斯公式

3.斯托克斯公式

二.三個重要公式的區別與聯系

在高等數學中，我們知道，我們把定積分的積分區間推廣到平面或空間上的某一區域，得到了重積分，再把定積分的積分區間推廣到平面或空間上的一條曲線或一片曲面，我們就得到了曲線積分和曲面積分，那么，重積分和曲線積分之間有無聯系呢？重積分和曲面積分

之間有無聯系呢？同樣，曲線積分和曲面積分之間有無聯系呢？

格林公式，高斯公式和斯托克斯公式的主要區別是：它們分別給出了重積分和曲線積分，重積分和曲面積分以及曲線積分和曲面積分之間的聯系。具體的說，格林公式揭示了在平面區域D上的二重積分與沿其D邊界L上的曲線積分的內在聯系，而高斯公式揭示了在空間區域 上的三重積分與其圍成 的光滑或分片光滑的邊界曲面S上的曲面積分的內在聯系。至于斯托克斯公式則是揭示了在空間曲面S上的曲面積分與其沿著S的光滑或分片光滑邊界閉曲線L的曲線積分的內在聯系。

這三個重要公式的主要聯系是：高斯公式和斯托克斯公式是格林公式的推廣，而格林公式是高斯公式和斯托克斯公式的特例。由于這三個重要公式揭示了曲線積分、曲面積分和重積分三者的關系，因此在解題中可依此三個重要公式將問題進行轉化，但務必需要注意轉化的條件。

參考文獻

[1] ?陳晉.王丹. 格林公式應用中有關問題的分析[J]. 高等函授學報（自然科學版），2012.09（66）.

[2] ?李波. 利用格林公式計算積分[J]. 重慶與世界，2011.07（92）.