切比雪夫濾波器在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

李凡營　蔡杰

摘 要：針對振動電磁等強干擾條件下編碼器讀數(shù)易受噪聲影響的問題，本文從工程實際出發(fā)，提出了一種帶濾波的復(fù)合控制系統(tǒng)。首先，詳細分析了切比雪夫濾波器的特點，然后介紹了帶低通濾波器的復(fù)合控制系統(tǒng)原理，最后通過仿真證明了本方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：編碼器;復(fù)合控制;切比雪夫濾波器

中圖分類號：TH133.7文獻標識碼：A文章編號：1003-5168（2020）13-0048-03

Application of the Chebyshev Filter in Complex Control System

LI Fanying CAI Jie

（The 713th Institute of China Ship Industry Corporation CSIC，Zhengzhou Henan 450015）

Abstract： In view of the problem that the encoder reading was easily affected by noise under the condition of strong electromagnetic interference， this paper proposed a compound control system with filter based on the engineering practice. Firstly， the characteristics of Chebyshev filter were analyzed in detail， and then the principle of composite control system with low-pass filter was introduced. Finally， the correctness and effectiveness of this method were proved by simulation.

Keywords： encoder;complex control;Chebyshev filter

編碼器是把角位移或直線位移轉(zhuǎn)換成電信號的一種裝置。按照工作原理編碼器可分為增量式和絕對式兩類。增量式編碼器轉(zhuǎn)動時輸出脈沖，通過計數(shù)設(shè)備來知道其位置。絕對式編碼器旋轉(zhuǎn)一周過程中每個機械位置對應(yīng)于一個唯一絕對的編碼，所以其無須記憶，而且無須一直計數(shù)，控制器什么時候需要知道位置，什么時候就去讀取它的位置。失電后無須控制器記憶當前位置，待下次上電時直接讀取位置即可。絕對式編碼器的便利性與自身帶有的記憶性特征使其廣泛應(yīng)用于各種位置測量場合[1]。但是，在某些特定的情況下，編碼器讀數(shù)頭讀數(shù)易受到震動、電磁污染等環(huán)境干擾，從而使控制系統(tǒng)控制精度急劇下降。本文從消除環(huán)境干擾提高編碼器數(shù)據(jù)信噪比出發(fā)，提出在編碼器輸出數(shù)據(jù)后增加一高性能切比雪夫低通濾波器來提高系統(tǒng)的抗干擾性，并通過仿真驗證了該方法的正確性。

1 切比雪夫低通濾波器

切比雪夫濾波器的幅度特性是在一個頻帶內(nèi)（通帶或阻帶）具有等波紋特性。一種是在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶是單調(diào)的，稱為切比雪夫Ⅰ型;一種是在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。為了使高頻干擾的影響降到最低的同時獲得通帶內(nèi)信號的等波紋特性，研究者選用切比雪夫Ⅰ型低通濾波器。

切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：

其中，[ε]為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋大小，[ε]越大，通帶波紋也越大;[Ωc]為截止頻率;[ΩΩc]為[Ω]對[Ωc]的歸一化頻率，也是濾波器的某一衰減分貝處的通帶寬度;[TN]為切比雪夫多項式，定義如下：

將其展開成多項式的形式，可以得到以下的遞推公式：

定義通帶最大衰減（分貝）為：

其中在通帶內(nèi)：

將（7）和（8）帶入（6）可得：

阻帶截止頻率為[Ωst]，則當[Ω≥Ωst]時，有

其中，[A]為一常數(shù)。由于切比雪夫Ⅰ型濾波器在阻帶內(nèi)為單調(diào)下降，所以若用阻帶最小衰減[δ2]表示，則有

切比雪夫低通濾波器的幅度圖如圖1、圖2所示。

2 帶濾波的復(fù)合控制系統(tǒng)

在控制系統(tǒng)中，為了照顧系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不可能過分照顧快速跟隨性能。為了使穩(wěn)定性與跟隨性都達到比較好的性能，往往從給定的信號直接引出開環(huán)的前饋控制和閉環(huán)的反饋控制一起構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)，但是，在加入前饋時，由于求取速度與加速度時會引入微分環(huán)節(jié)，導(dǎo)致前饋中引入了過多的高頻分量，而編碼器數(shù)據(jù)帶來的噪聲影響會進一步降低整個控制系統(tǒng)的精度及穩(wěn)定性，這往往給整個控制系統(tǒng)帶來很強的負面影響。本文中在編碼器反饋回路中加入一高性能低通濾波器來濾除高頻雜波分量，原理如圖3所示。

其中，[G1（s）]為系統(tǒng)前饋分量;[G2（s）]為系統(tǒng)函數(shù);[C（s）]為系統(tǒng)控制器;[H（s）]為系統(tǒng)增加的濾波器。試驗中設(shè)計濾波器通帶內(nèi)增益為1。

3 仿真及參數(shù)設(shè)計

本試驗中數(shù)據(jù)采集率為5 ms，故系統(tǒng)工作頻率為200 Hz。本試驗設(shè)定濾波器的截止頻率為[Ωc=400] Hz，通帶最大波紋[δ1=0.1] dB，截止頻率為[Ωst=1] kHz，阻帶最小衰減[δ2=15] dB。將以上四個指標經(jīng)MATLAB設(shè)計[2-3]后得到濾波器的歸一化傳遞函數(shù)為：

將[sΩc]替代濾波器歸一化傳遞函數(shù)中的[s]對濾波器進行反歸一化求解，整理后得到濾波器的最終傳遞函數(shù)為：

其中

濾波器的幅頻特性曲線如圖4所示。

本試驗中選用控制系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：

對[G2（s）]求取其倒數(shù)中的速度分量，省略加速度及其高階分量，得到前饋速度為：

控制器選經(jīng)典PID控制[4]，其中[P]=0.45，[I]=9，控制器的傳輸函數(shù)為：

4 仿真結(jié)果及分析

本試驗中輸入信號為幅值為1，頻率為0.32 Hz的正弦波信號，外加均方根為0.05的高斯白噪聲。其仿真結(jié)果如圖5至圖7所示。

從圖5、圖6及圖7可以看出，在相同PID參數(shù)時，傳統(tǒng)PID控制下系統(tǒng)跟隨正弦信號的快速性和前饋控制相比要差很多，且加入濾波器后較傳統(tǒng)復(fù)合控制相比，帶切比雪夫濾波的PID復(fù)合控制系統(tǒng)收斂速度幾乎不變。但是，傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)穩(wěn)定段的誤差最大幅值為0.319，復(fù)合控制下系統(tǒng)跟隨輸入信號的最大誤差為0.002 7。在速度前饋信號上增加一切比雪夫濾波器后，系統(tǒng)跟隨輸入信號穩(wěn)定后的最大誤差幅值為0.000 32，與傳統(tǒng)直接前饋相比，復(fù)合控制精度幾乎提高了一個數(shù)量級。這充分證明了該方式的有效性與正確性。

參考文獻：

[1]馬凈，王峰，李曉光，等.編碼器原理及應(yīng)用[J].中國儀器儀表，2002（5）：43-45.

[2]賈寶富，王一凡，羅正祥.廣義切比雪夫線性相位濾波器設(shè)計[J].電子科技大學(xué)學(xué)報，2008（3）：389-392.

[3]趙金.微弱信號在數(shù)字信號處理器上的檢測與實現(xiàn)[J].電子測試，2008（3）：75-78，82.

[4]劉金琨.先進PID控制及其MATLAB仿真[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.

收稿日期：2020-04-12

作者簡介：李凡營（1988—），男，碩士，研究方向：火控解算與伺服系統(tǒng)。