運用幾何畫板動態展示數學中的抽象定義

何洪英

摘要：將信息技術與數學課程深度融合是高中數學新課標提出的理念。為了進一步推動該理念的實現，文章主要介紹了利用幾何畫板軟件，對平面解析幾何中的抽象定義進行情境創設，從而讓數學課堂更生動、形象、直觀，有效提高學生的核心素養。

關鍵詞：新課標;數學;幾何畫板;深度融合

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）14-0226-02

中華人民共和國教育部制定的2017版《普通高中數學課程標準》的基本理念中提出：“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性。”要將信息技術與數學課程深度融合，就必須使用強大的計算機軟件輔助數學教學，雖然現在大家都提倡讓計算機走進教室，但很多中學老師對計算機軟件的認識和運用水平都跟不上，所以導致在中學數學教學中，計算機軟件輔助教學并沒有得到廣泛運用。

為此，本文主要介紹一款優秀的數學軟件——《幾何畫板》，在平面解析幾何教學中對抽象定義的動態演示，拋磚引玉，以實際案例使更多一線教師認識并學習相應的軟件，以更好實現信息技術與數學課程的深度融合。

1軟件介紹

《幾何畫板5.0》是最優秀的數學、物理教學軟件之一。幾何畫板操作簡單，具有強大的圖形和圖像功能，能構造出各種幾何圖形及解析幾何中的所有曲線，也能構造出任意函數的圖像，同時，它具有方便的動畫功能，能夠制作出平移、旋轉、縮放、反射等各種動畫，還能對動態的對象進行追蹤，并顯示追蹤的軌跡。

2在平面解析幾何中的具體應用

《普通高中數學課程標準》的課程內容指出“平面解析幾何的教學中，應引導學生經歷以下過程：首先，通過實例了解幾何圖形的背景，例如通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用;進而，結合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題，例如橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡等。“

在這里，橢圓的定義用文字描述非常的抽象，用傳統教學手段也不好演示橢圓的形成，為了更好地掌握橢圓的定義，可以利用幾何畫板創設情境、動態演示橢圓的形成過程，讓學生通過自主探究自己推出結論并深刻理解定義。

2.1橢圓的定義

橢圓定義：平面上到兩個定點的距離之和為定長（該定長大于兩點間的距離）的動點的軌跡。這兩個定點也稱為橢圓的焦點，焦點之間的距離叫作焦距。

要動態性展示動點的軌跡形成過程，可以使用《幾何畫板》的“追蹤”功能，具體實現方法如下。

（1）單擊[線段工具]，在畫板適當位置繪制出一條線段AB。單擊[點工具]，在線段AB上取一點c。如此點c即是線段AB上的點并只能在AB上運動，而不管如何運動，點C到兩個定點A、B的距離之和始終為定長（線段AB的長）。

（2）選中點A、點c，執行[構造]I[線段]，選中點c、點B，執行[構造]I[線段]，分別構造出線段Ac和線段CB。

（3）單擊[點工具]，在畫板適當位置任取一點D，選中點D和線段Ac，執行[構造]I[以圓心和半徑繪圓]命令，繪制一個圓D。

（4）單擊[點工具]，在畫板適當位置任取一點E，使DE的距離小于線段AB的長，選中點E和線段cB，執行[構造]l[以圓心和半徑繪圓]命令，繪制一個圓E。

說明：點D和點E即是兩個定點，使DE的距離小于線段AB的長，是為了滿足定義中的條件“定長大于兩點間的距離”。繪出的效果如圖1所示。

（5）選中兩個圓，執行[構造]I[交點]命令，構造出兩個圓的交點F和G，這樣兩個交點到定點D和E的距離之和等于線段AB的長。拖動點C在線段AB上運動，可以發現兩個圓的半徑隨之改變，但不論如何改變，兩個圓的交點F和G到定點D和E的距離之和始終等于定長（線段AB的長）。

至此就構造出了定義的前提條件：到兩個定點的距離之和等于定長的動點。后面只需再追蹤動點F和G，就可以看到滿足條件的動點的軌跡。

（6）選中點c，執行[編輯]I[操作類按鈕]I[動畫]命令，生成點C的動畫按鈕。

（7）選中點F和G，執行[顯示]I[追蹤交點]命令。

單擊“點c的動畫”按鈕，就可以展示出點c的運動，導致交點的運動，追蹤交點進而形成橢圓軌跡的動態過程，學生可以自主探索，如改變線段AB的長度，改變點D和E的位置，拖動改變點C的位置，在這個過程中學生自己就能得出結論并深刻理解橢圓的定義。

最終效果如圖2所示。

2.2拋物線的定義

拋物線定義：平面內到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡。

根據定義，首先應該在畫板上構造出一條定直線和一個定點。具體實現過程如下：

（1）構造定直線1。單擊[直線工具]，繪制一條豎直直線AB，選中點A和B，執行[顯示]I[隱藏點]命令隱藏點A和B。

（2）構造定點。單擊[點工具]，在適當位置繪制繪制點c。如圖3所示。

（3）到一個定點和一條定直線的距離相等的點肯定在定直線的任意垂線上，因此第三步構造定直線的任意垂線。單擊[點工具]在定直線上取一點D，選中點D和定直線，執行[構造]I[垂線]命令，構造出過點D的定直線的垂線k。因為點D是定直線上的點，可以在直線上任意運動，因此當點D在定直線上運動時，過點D的定直線的垂線即是定直線的任意垂線。

此時只需找出垂線上的一點到點D和到點C的距離相等，顯然這個點只可能在線段cD的垂直平分線上。

（4）選中點c和D，執行[構造]I[線段]命令，構造出線段cD。選中線段cD，執行[構造]I[中點]命令，構造出線段cD的中點E。

（5）選中線段cD和中點E，執行[構造]I[垂線]命令，構造出線段CD的垂直平分線i。

（6）單擊垂線k和垂直平分線j的交點位置做出兩條直線的交點F。顯然點F到定直線l和到定點c的距離相等（都等于線段CD的長）。而當點D在直線上運動時，點F的位置隨之改變，但始終保持到一個定點和一條定直線的距離相等，因此只需制作點D的動畫，追蹤點F的變化軌跡就完成了定義的情境設定。

（7）選中點D，執行[編輯]I[操作類按鈕]I[動畫]命令，生成點D的動畫按鈕。

（8）選中點F，執行[顯示]I[追蹤交點]命令。最終效果如圖4所示。

單擊“點D的動畫”按鈕，就可以展示出隨著點D運動，導致交點F運動而形成拋物線軌跡的動態過程。

通過上面兩個簡單實例，可以發現傳統手段不好解釋的一些數學定義，用《幾何畫板》軟件卻能輕松地模擬出具體情境，形象直觀，讓學生從對具體情境的探究中自己就能推出定義，自然就達到了深刻理解掌握定義的目的。

3結束語

在數學概念與理論的教學中，幾何畫板既能創設隋境又能讓學生主動參與，引導學生親歷知識的發生、發展過程，即數學模式的建構過程，使抽象、枯燥的數學概念變得直觀、形象，所以能有效地激發學生的學習興趣;同時在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，讓學生通過探索、反思、修改、完善，體驗數學發現和創造的歷程，培養他們的創新意識，并品嘗成功的快樂。

幾何畫板與課程整合應用于創設情境、自主探究、動態演示、概念教學、輔助解題和參數討論等方面。本文例談只是應用的某些方面，希望以此能讓更多老師了解和認識該軟件，以促進信息技術與數學課程的深度融合。