一類隨機(jī)偏微分方程有限維約化的逼近

楊 敏，陳光淦*，李 琴

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066； 2.四川師范大學(xué)可視化計算與虛擬現(xiàn)實四川省重點實驗室，四川成都610066）

隨機(jī)不變流形為隨機(jī)偏微分方程驅(qū)動的動力系統(tǒng)提供了一個幾何結(jié)構(gòu)刻畫.Duan等[1-2]證明了一類隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)不變流形的存在性與光滑性.無窮維狀態(tài)空間使得方程解的研究工作非常復(fù)雜.Wang 等[3]和 Roberts[4]證明了不變流形若是幾乎處處漸近完備的，則可將無窮維系統(tǒng)約化到有限維.

Acquistapace等[5]證明了處處連續(xù)處處不可微的W（t）可由處處連續(xù)且可微的Φε（t）逼近，其中Φε（t）的定義見第2 節(jié).Jiang 等[6]證明了帶光滑噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定流形可近似帶不光滑噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定流形.Wang等[7]應(yīng)用Wong-Zakai逼近理論證明原系統(tǒng)可由簡化的隨機(jī)系統(tǒng)去逼近.

考慮一類帶乘性高斯白噪聲驅(qū)動的隨機(jī)發(fā)展方程

其中A、W、F 將在第 2節(jié)給出，“?”是 Stratonovich意義下的乘積，且系統(tǒng)（1）通常乘積意義下的形式為

本文研究由處處連續(xù)處處可微的Φε（t）驅(qū)動的隨機(jī)發(fā)展方程

證明了系統(tǒng)（3）的有限維約化收斂到系統(tǒng)（1）的有限維約化.

1 預(yù)備知識

令空間H是一個實值可分的Hilbert空間，其范數(shù)為｜·｜，內(nèi)積為〈·〉，線性算子A是H上C0半群｛etA｝的生成元.W（t）是標(biāo)準(zhǔn)的實值布朗運(yùn)動，F(xiàn)是H上的非線性函數(shù)滿足 F（0）=0和Lipschitz條件

其中LF＞0是Lipschitz常數(shù).

假定σ（A）為算子A的譜，令

其中σc是一個有限的集合，且

在空間H上做一個A不變分解，使得分別限制在 Hc和 Hs空間上的算子 Ac=A｜Hc和 As=A｜Hs，且滿足

這里 H=Hc⊕Hs，Hc是一個有限維空間，且｛etAc｝是Hc上的解半群.假定存在常數(shù)α、β滿足0≤α＜β，使得

給定完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P），在Ω上定義映射流 θ=｛θt｝t∈R：R ×Ω→Ω.如果映射｛θt｝t∈R滿足條件：

（i）θ0=id，

（ii）對任意的 s，t∈R，有 θtθs=θt+s，

則稱（Ω，F(xiàn)，P，θ）為測度動力系統(tǒng)[1].

如果映射

是（B（R）×F×B（H），F(xiàn)）-可測，且滿足

（i）φ（0，ω，x）=x，

（ii）φ（t+s，ω）=φ（t，θsω，φ（s，ω）），s，t∈R，ω∈Ω，x∈H，

則稱測度動力系統(tǒng)θ和φ構(gòu)成的二元組（θ，φ）為隨機(jī)動力系統(tǒng).

考慮Langevin方程

定義

引理1.1[5]設(shè) W（t）是 R 上的布朗運(yùn)動.任給一個時間 T ＞0，則當(dāng) ε→0 時，Φε（t）→W（t）在[0，T]上是幾乎處處一致的.

引進(jìn)變換 T（ω，x）=xe-εzε（ω），系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為

其中

顯然函數(shù)G和F有相同的Lipschitz常數(shù)LF.

引理1.2[1]假設(shè) vε是系統(tǒng)（7）的解，那么

是系統(tǒng)（1）的解，其中T-1是T的逆變換，且

定義1.1假設(shè)M（ω）是隨機(jī)動力系統(tǒng)φ（t，ω）的不變流形.如果對任意的 x∈H存在 y∈M（ω），使得

對幾乎所有的ω∈Ω成立，那么稱不變流形M（ω）是幾乎處處漸近完備的，其中D（ω）是一個正的隨機(jī)變量，k是一個正常數(shù).

定義1.2給定一個正的隨機(jī)變量δ，定義隨機(jī)集合

則 Cδ（ω）（ω）=｛v：（v，ω）∈Cδ｝被稱作隨機(jī)錐，這里投射算子 Πc：H→Hc，Πs=I- Πc：H→Hs，且 I是恒等算子.

定義1.3對于一個隨機(jī)錐 Cδ（ω）（ω），如果存在一個隨機(jī)變量≤δ，使得對幾乎所有的ω∈Ω都滿足

那么這個隨機(jī)動力系統(tǒng)φ（t，ω）被稱為有錐不變性，其中

下面給出本文一些所用符號說明.記φ（t，ω）、φε（t，ω）分別為系統(tǒng)（7）和（3）在空間（Ω，F(xiàn)，P，θ）上的隨機(jī)動力系統(tǒng)，且

其中符號 Υ 代表｛u，vε，Xε，U，V，Y｝中任意元素.這里Πc、Πs如定義1.2中所給的投射算子.

2 有限維約化

假設(shè) vε和 Xε分別為系統(tǒng)（7）和（3）的解，其初值分別為任給 η∈（-β，-α），定義2個Banach空間

其范數(shù)為

以及

其范數(shù)為

引理2.1[2，6]如果 LF滿足條件

那么隨機(jī)系統(tǒng)（7）和（3）分別有Lipschitz不變流形

進(jìn)一步，取值于 Hs的 Lipschitz連續(xù)映射 hvε和 hXε滿足

命題2.1[3]（i）如果（12）式成立，那么存在一個正的隨機(jī)變量D（ω）和一個正常數(shù)k，使得對于隨機(jī)系統(tǒng)（7）的任意解 vε（t，θ-tω），都存在一個軌道 V（t，θ-tω）∈Mvε（ω）滿足

注2.1由引理1.2，系統(tǒng)（1）的軌道u=（uc，us）可約化到有限維空間Hc上且滿足

其中

進(jìn)一步，軌道 U=（uc，hu（uc））被稱為系統(tǒng)（1）依賴于不變流形 Mu（ω）=｛ξ+hu（ξ）｜ξ∈Hc｝的解.

由文獻(xiàn)[3]，如果給定最終時間 Tf＞0，則在t∈[0，Tf]時，系統(tǒng)（7）分別限制在空間 Hc和 Hs的解為

其中

同理可得系統(tǒng)（3）分別限制在空間Hc和Hs的解為

其中

引理2.2[1]若（12）式成立，則對任意的 Tf＞0，（19）式有唯一解且（20）式有唯一解進(jìn)一步，對任意 t≥0，有

引理2.3[1，3]（i）如果（12）式成立，那么系統(tǒng)（3）的隨機(jī)動力系統(tǒng) φε（t，ω）具有錐不變性.

（ii）如果存在 t0＞0，使得任意的 x，y∈H，φε（t0，ω）x- φε（t0，ω）y?Cδ（θt0ω），那么

其中，D（ω）是緩增的隨機(jī)變量，

命題2.2（i）如果（12）式成立，那么存在一個正的隨機(jī)變量D（ω）和一個正常數(shù)k，使得對于隨機(jī)系統(tǒng)（3）的任意解 Xε（t，θ-tω）都存在一個軌道 Y（t，θ-tω）∈MXε（ω）滿足

證明任給ω∈Ω，討論系統(tǒng)（3）的解

有

其中β+η＞0，且記

根據(jù)錐不變性有

因此，對幾乎所有的ω∈Ω，S（ω）是Rn空間上的一個有界集.選一個序列τm→∞使得

其中Y（ω）是可測的.令

且滿足初值

則 Y（t，θ-tω）∈MXε（ω），且

即 MXε（ω）幾乎處處漸近完備，（21）式得證.

由（i）可知 Y（t，θ-tω）∈MXε（ω），且 MXε（ω）幾乎處處漸近完備，由文獻(xiàn)[3]的方法，則可約化到有限維空間 Hc上，且，命題2.2 得證.

3 有限維上的逼近

引理3.1假設(shè)是系統(tǒng)（7）和系統(tǒng)（1）的有限維約化，則對幾乎所有ω∈Ω有

證明由引理1.2，有，且當(dāng) ε→0 時，則此時

引理3.1得證.

引理3.2假設(shè)是系統(tǒng)（7）和系統(tǒng)（3）的有限維約化，則對幾乎所有ω∈Ω有

證明由（19）～ （20）式和 Φε（t）的定義，則對任意的 t∈[0，Tf]有

定理3.1假設(shè)是系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（1）的有限維約化，則對幾乎所有ω∈Ω有

由引理3.1和3.2，定理3.1顯然成立.

致謝四川師范大學(xué)2019年研究生優(yōu)秀論文培育項目（201903-10）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.