W（0，1）的中心擴(kuò)張上的 Poisson結(jié)構(gòu)

黃忠銑

（武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300）

Poisson代數(shù)是指同時(shí)具有代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu)的一類(lèi)代數(shù)，其代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足Leibniz法則.Poisson代數(shù)自然產(chǎn)生于哈密頓力學(xué)，是量子群研究的中心.Poisson流形是具有Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)的流形.

Kubo[1]研究了特征零情形下有限維Poisson代數(shù)，在文獻(xiàn)[2]中確定了仿射Kac-Moody代數(shù)上的所有結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[3-5]先后研究李代數(shù)son（～CQ）、廣義 Kac-Moody李代數(shù)和李代數(shù) sln（～C）上的 Poisson 代數(shù)結(jié)構(gòu).姚裕豐[6]研究Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Piosson代數(shù)結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[7]研究了一類(lèi)擴(kuò)張仿射李代數(shù)上的非交換Poisson代數(shù).文獻(xiàn)[8]研究了仿射Kac-Moody代數(shù)上一般的非結(jié)合Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)問(wèn)題，得到一些新的結(jié)果.文獻(xiàn)[9]確定了李代數(shù) W（2，2）上的一般Poisson結(jié)構(gòu)，并改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]中的部分結(jié)果.文獻(xiàn)[10]討論了扭Heisenberg-Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[11]討論了一類(lèi)伽利略共形李代數(shù)上的非交換非結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

Vir（a，b）是Virasoro代數(shù)與其中間序列模半直積得到的代數(shù)[12].對(duì)任意固定的復(fù)數(shù) a、b，代數(shù)W（a，b）的基元素｛Ln，Wn｜n∈Z｝滿(mǎn)足：

實(shí)際上，W（a，b）代數(shù)是 W 和 Aa，b的半直積，其中 W是 Witt代數(shù)，Aa，b是 Witt代數(shù)上的中間系列模[13].Vir（a，b）是 W（a，b）的中心擴(kuò)張.特別當(dāng)（a，b）≠（0，1）時(shí)，Vir（a，b）是 W（a，b）的泛中心擴(kuò)張[14]，其中 Vir（0，0）是所謂的扭 Heisenberg-Virasoro 代數(shù)，Vir（0，-1）是無(wú)限維李代數(shù) W（2，2）[15].

本文研究 Vir（0，1）代數(shù)（即 W（0，1）的中心擴(kuò)張）上的Poisson結(jié)構(gòu)，得到其結(jié)構(gòu)是非平凡的，這有別于文獻(xiàn)[9-10]得到的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Z表示整數(shù)集，C表示復(fù)數(shù)域，所有的模（向量空間）都定義在C上.

定義1李代數(shù)W（0，1）作為C上的向量空間有一組基｛Ln，Wn｜n∈Z｝以及李運(yùn)算：

記 G=W（0，1），Gi是由｛Li，Wi｝所擴(kuò)張成的二維向量空間.G關(guān)于Cartan子代數(shù)H=CL0有分解

定義2[13]李代數(shù) Vir（0，1）作為 C 上的向量空間有一組基

且滿(mǎn)足：

定義3[6]Poisson代數(shù)（A，*，[-，-]）是域C上的向量空間A，同時(shí)具有結(jié)合代數(shù)乘法*和李代數(shù)乘法[-，-]，且滿(mǎn)足如下Leibniz法則

Poisson代數(shù)有結(jié)合的（若乘法*滿(mǎn)足結(jié)合律）和交換的（若乘法*滿(mǎn)足交換律）.文獻(xiàn)[2-6]主要研究了一些李代數(shù)上結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).本文從Vir（0，1）李代數(shù)上的一般Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)（非結(jié)合和非交換）入手，進(jìn)而得到此代數(shù)上的非結(jié)合和非交換的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

2 李代數(shù)W（0，1）上的Poisson結(jié)構(gòu)

引理2.1若在李代數(shù)G上存在一個(gè)代數(shù)乘積*，使得（G，*，[-，-]）成為一個(gè) Poisson代數(shù)，則有

證明?x∈Gi，y∈Gj，有

因此，對(duì)任意的 i，j∈Z，都有 Gi*Gj?Gi+j.

定理2.2李代數(shù)G=W（0，1）上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)具有：

證明 由引理2.1，易知 Gm*Gn∈CGm+n，由此可假設(shè)

1）求 am，n和 bm，n.由等式

得

在（1）式中取 n=k得

從而

因此

在（2）式中取 n=k，m=0，得 2nb0，n=-nbn，n，所以當(dāng) n≠0 時(shí)，2b0，n=-bn，n.在（2）式中取 m=k，n=0，得 2mbm，0=-mbm，m，所以當(dāng) m≠0 時(shí)，2bm，0=-bm，m.在（2）式中取 m=n=k，得 3mbm，m=0.在（2）式中取 n=0，m=0，得

因此，當(dāng) k≠0 時(shí)，b0，0=0，所以

在（2）式中令 m=0，從而

所以（-k）bk，n=0，因此，當(dāng) k≠0 時(shí)，bk，n=0.

綜上，bm，n=0，?m，n∈Z.所以

2）求 cm，n和 dm，n.由等式

推論2.1李代數(shù)W（0，1）上非結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)是平凡的.

3 李代數(shù) Vir（0，1）上的 Poisson 結(jié)構(gòu)

定理3.1李代數(shù)Vir（0，1）上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)具有如下形式：

其中，m，n∈Z，i，j=1，2，3.

證明1）對(duì)于 Lm*Wn，下面分2種情形討論.

情形1當(dāng)m+n≠0時(shí)，由定理2.2得Vir（0，1）上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足定理.

情形2當(dāng)m+n=0時(shí)，由引理2.1及定理2.2可假設(shè)：

推論3.1李代數(shù)Vir（0，1）上非結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)是非平凡的.