一類帶奇異項的Schr?dinger-Poisson系統正解的唯一性

侯艾君，蒲 洋，廖家鋒，2*

（1.西華師范大學數學與信息學院，四川南充637002； 2.西華師范大學公共數學學院，四川南充637002）

1 前言及主要結論

考慮如下帶奇異項的 Schr?dinger-Poisson系統

其中，Ω?R3是一個有界開區域且具有光滑邊界?Ω，a，b≥0且a+b ＞ 0，m ＞ 0，λ ≥0，1 ＜ p≤6，0＜ γ ＜ 1為非零非負函數.6為Sobolev空間嵌入到Lp（Ω）（p∈[1，6]）的臨界Sobolev指數.是Kirchhoff型非局部項，故當 b＞0時，系統（1）又稱為奇異的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson 系統.記

和

當a=1，b=λ =0時，文獻[1]研究了系統（1），即

其中，η=±1，μ＞0.利用變分方法，當 η=1時，獲得了系統正解的存在唯一性；當η=-1且μ＞0充分小時，獲得了系統2個正解的存在性.文獻[2]研究 Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson 系統

其中，Ω?R3是一個有界開區域且具有光滑邊界?Ω，a，b≥0 且 a+b＞0，λ，μ∈R+=[0，+ ∞），f∈C（（0，+∞），R+）在 0 附近非增且有（即具有奇異性），g∈C（R+，R+），系數函數h為滿足一定條件的正函數，當f、g滿足一定的條件時，獲得該系統正解的存在性和唯一性.此外，文獻[3]還獲得了帶一般奇異項的 Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統的2個正解.其它有界區域上的 Schr?dinger-Poisson系統的可參見文獻[4-6].文獻[7-9]研究了系統（1）中單個方程的非局部問題.文獻[10-15]等對奇異Kirchhoff型問題進行了廣泛研究.

一個自然的問題：系統（1）是否也存在正解？本文利用變分方法和臨界點理論，證得系統（1）正解的存在唯一性，從而推廣了文獻[1]中定理1.1的結果.具體結論如下.

定理1假設 a，b≥0 且為非零非負函數，系統（1）都存在唯一的正解

注1一方面，定理1將文獻[1]的部分結果推廣至奇異的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統；另一方面，文獻[2]只對具有非局部項的奇異的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統進行了研究.定理1將文獻[2]的部分結果推廣到具有的奇異的 Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson 系統.

2 定理的證明

從而，系統（1）的解就等價于求問題（3）的解.

的最佳Sobolev常數.

首先，為了方便，根據文獻[1]的引理2.1，給出問題（2）解φu的如下重要性質.

命題1[1]1）；

2）φu≥0，且當 u＞0時，有 φu＞0；

3）對任意的 t∈R 且 t≠0，有 φtu=t2φu；

引理1假設 a，b≥0且為非零非負函數，則泛函 I在能達到極小值，即存在 u*∈，使得

證明不妨記首先，證明m*是有定義的.由H?lder不等式和（5）式得

根據命題1中的性質2）以及（6）和（7）式可得

這就意味著：m*＜0.接下來，證明在空間中m*是可達的.

根據m*的定義，存在一個極小化序列使得由 I（｜un｜）=I（un），不妨假設 un≥0在 Ω 中幾乎處處成立.顯然，｛un｝在中有界.從而存在一個子列（仍記為｛un｝）和u*≥0使得當n→∞時，有

令wn=un-u*，只需證明當n→∞時‖wn‖→0.根據文獻[12]中的（6）式，可得

進一步，由（8）式和 Brézis-Lieb 引理可得

一方面，1＜p＜6時，依據（8）、（9）式和命題1 中的性質5）以及范數的弱下半連續性，可得

這就意味著I（u*）=m*.另一方面，p=6時，依據（8）～（10）式和命題1中的性質5）以及范數的弱下半連續性，可得

這就得到I（u*）=m*.引理1證畢.

接下來給出定理1的證明.

定理1的證明事實上，只需證明為問題（3）的解，即是系統（1）的解.

首先，證明u*（x）＞0在Ω中幾乎處處成立.由，有

根據Lebesgue控制收斂定理，可得

對任意的x∈Ω，記

則

這就意味著：h（t）對一切的t＞0是非增的.進一步，對任意的x∈Ω，有，其中，當 u*（x）=0且 φ（x）＞0時，上式值可能是+∞.從而，根據單調收斂定理（Beppo-Levi定理），可得

這里可能取到+∞.再結合（12）式和命題1中的性質 6），在（11）式中讓 t→0+，可得

這就意味著u*（x）＞0在Ω中幾乎處處成立.

接下來，證明u*是問題（3）的解.即只需證明u*滿足（4）式.根據（13）式，只需證明（13）式對一切的都成立.定義η：[-δ，δ]→R 為η（t）：=I（u*+tu*），則 η 在 t=0 處達到極小值，這就意味著

當 ε→0+，有 meas Ω1→0，上式兩邊同時除以 ε，并令 ε→0+，可推得

因此，這個不等式對于-φ也成立，故u*是問題（3）的一個正解，且 I（u*）＜0.因此，（u*，φu*）是系統（1）的解.

最后，證系統（1）解的唯一性.即證明問題（3）解的唯一性.假設v*為問題（3）的另一個解.由（4）式可得

根據（15）和（16）式可得

其中

根據H?lder不等式，可得

由0＜γ＜1，p＞1，容易得到

因此

一方面，若 a＞0，再結合命題1中的性質8），由（17）式得到 a‖u*-v*‖2≤0.這就意味著‖u*-v*‖2=0，即u*=v*.另一方面，若 a=0，再結合命題1中的性質 8），由（17）式可得‖u*‖ =‖v*‖，且 J（u*，v*）=0.從而有

即 u*=v*.因此，（u*，φu*）是系統（1）的唯一解.定理1證畢.

致謝西華師范大學基本科研基金項目（15D006和16E014）和西華師范大學創新團隊科研基金項目（CXTD2018-8）對本文給予了資助，謹致謝意.