基于核心素養的初中數學解題研究
——以2019年哈爾濱市中考數學題為例

哈爾濱市第七十中學 王世強

解數學題時有何規律可循？解題時怎樣分析思考才能找到解題思路？怎樣從有限的“已知”（顯性條件）出發挖掘更多的“可知”（隱性條件），進而順理成章地走向“未知”結論？這是每一個與數學打交道的人都不自覺地去思考、求索的問題。

人們常說一千個人眼中就有一千個哈姆雷特，一千個人有一千種看待事物、分析問題的思想和方法，解題也是一樣。筆者旨在拋開人的主觀因素和個性化的思維特質，立足于《義務教育數學課程標準（2011版）》和數學學科核心素養等相關理論，從中汲取思想的營養，探尋數學解題的奧秘。

我們知道，高中階段的數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學模型、直觀想象、數學運算、數據分析六個方面。義務教育階段學生的數學核心素養也離不開八個核心關鍵詞：數感、符號意識、推理能力、模型思想、幾何直觀、空間想象、運算能力、數據分析。數學抽象主要表現為符號意識和數感，推理能力即邏輯推理，模型思想即數學模型，直觀想象體現的就是幾何直觀和空間想象。這六大核心素養（八個核心關鍵詞）既是培養學生的能力要素，又可以成為分析問題、解決問題時的思維方法和思維工具，對培養和提升學生的解題能力至關重要。

下面以哈爾濱市2019年中考數學第26題為例，談一下基于核心素養的解題思路。

已知：MN為⊙O直徑，OE為⊙O半徑，AB、CH是兩條弦，AB⊥OE于D，CH⊥MN于K，連接HN、HE，HE與MN交于P．（1）如圖1，若AB與CH交于點F，求證：∠HFB=2∠EHN；（2） 如圖 2，連接 ME、OA，OA 與 ME 交于 Q，若OA⊥ME，∠EON=4∠CHN，求證：MP=AB；（3）如圖 3，在（2）的條件下，連接OC、BC、AH，OC與EH交于G，AH與MN交于 R，連接 RG，若 HK：ME=2：3，求RG的長．

1.利用“數學模型（模型思想）”全面把握條件和結論信息，進行初步分析思考。

圖1

圖2

圖3

從哲學角度來說，定義、概念等“數學知識模型”是思維的基本單位。對數學題目初步的分析思考就是建立在對題目中所有條件信息和結論信息與相對應“數學知識模型”緊密聯結和深度聯想的基礎之上的，我們只有全面把握已知，深入理解與每一個已知相關聯的所有知識點，明確命題的本質，才能為后繼解題過程筑牢堅實的基礎。

解題實操經驗：借助對“信息點”的線性聯想，進行“信息點”與“知識點”的對接，完成對數學知識模型的建構性揭示。

①MN為直徑，OE為半徑.由直徑、半徑模型聯想到的知識點有直徑和半徑的定義和性質，還有直徑所對的圓周角是直角.②AB⊥OE，CH⊥MN ，OA⊥ME.由圓中半徑與弦垂直模型聯想到的知識點有垂徑定理.③∠HFB=2∠EHN，∠EON=4∠CHN.由圓中角模型聯想到的知識點有圓周角和圓心角的性質.④MP=AB.由兩條線段相等聯想它們分別等于其他哪條線段.⑤HK：ME=2：3.由比的數學模型聯想到引入參量,利用線段間數量關系盡可能多地表示其他線段.⑥求RG的長，根據“解題信息就近集中原則”聯想RG所在的圖形ΔORG,為解三角形模型做鋪墊.

2.利用“直觀想象（幾何直觀）”梳理基本圖形，為挖掘隱性條件提供框架支撐。

綜合題難想、難做，原因在于顯性條件數量有限，而隱性條件卻深藏不露。隱性條件是指題目中未明確表達而客觀存在的條件。這些條件常常巧妙地隱沒在題目和圖形之中，極易被學生忽視。隱性條件具有藏得深、數量多，若明若暗、不易識別的特點，所以學生常常感到無處下手、思路受阻而使解題陷入困境。此時全面挖掘隱含條件，為解題打開入口就成為問題解決的關鍵。如何挖掘？分兩步進行：第一步就是上面談到的借助“數學知識模型”對顯性條件進行初步淺層次直線性挖掘，第二步就是借助日常解題經驗中歸納梳理出的基本圖形（數學經驗模型）及其中蘊含的邊角數量關系進行深層次發散性挖掘。這是彰顯解題功力的核心環節。

除了數學知識外，每一種代數、幾何基本題型的解題方法和一般處理方式，及基本圖形中的邊角數量關系也可視為數學模型，即“數學經驗模型”。在解綜合題過程中，借助“直觀想象（幾何直觀）”對題目復雜圖形進行自由而靈活的“數學經驗模型”識別和拆解，進行思維方法的遷移和重組，都是有效的解題路徑。

古往今來的數學家都十分重視直覺思維的作用。迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺’。”當下的教學過程，教師過度強調證明過程的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生也片面地把解題成功歸于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，這恰恰是我們教育的失敗。加強直覺思維練習是提升解題能力的有效途徑。

解題實操經驗：借助題中“信息點”間的組合式聯想全面挖掘“數學經驗模型”。

①AB⊥OE，CH⊥MN兩個垂直組合式聯想發現“對角互補四邊形模型”（圖4），進而與條件∠HFB產生思維聯結，等量推導發現∠HFB=∠EON，進而第一問可證；②由∠EON=4∠CHN和第一問的結論∠HFB=2∠EHN組合式聯想得到“圓周角、圓心角模型”（圖5、6），發現∠PHC=∠CHN和∠HPN=∠HNP，挖掘出“等腰三角形HPN三線合一模型”和“八字雙等腰三角形模型MEP和HPN”（圖7），進而得到MP=ME；③由OA⊥ME和之前的垂直條件AB⊥OE組合式聯想發現“共疊合角∠AOE全等雙等腰三角形模型OME和OAB”（圖8），進而等量代換推出第二問結論MP=AB。

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

3.利用數學抽象（數感）發散式聯想，深度挖掘隱性條件，提升學生合情推理能力。

數感是學習數學必須培養和提升的一種重要的數學素養，它能將數與實際背景聯系起來，它使學生看到的“數學經驗模型”中的邊角之間有了特殊的數量關系，從而自然引入特殊數據深入表達這種特殊的數量關系，解題時這是一種主動、自覺或自動化地理解和運用數及運算的基本能力。

解題實操經驗：借助“數學經驗模型”中蘊藏的特殊數據深刻表達邊角數量關系。

圖9中蘊藏著鄰補角的角分線互相垂直基本圖形，聯想到特殊數據90度；進而聯想到圖10中蘊藏著互補的兩個圓周角45度和135度；依次聯想到圖11中的特殊數據，做135度的鄰補角45度。即延長CB，過點A做BC的垂線AS，構等腰直角三角形ABS，還有圖11中的特殊圖形等腰直角三角形RHK，得到RK=HK；由圖12中∠CON=2∠CHN=2∠CHP，tan∠COK，聯想到特殊數據=tan∠CHN=tan∠CHP。這些邊角間的特殊數據為后續挖掘新一輪的隱性條件搭建了溝通的橋梁。

圖10

圖11

4.利用數學抽象（符號意識）發散式聯想，深度挖掘隱性條件，提升學生合情推理能力。

挖掘隱性條件進行解題是一種極具創造性的思維活動。隱性條件是數學題目中的固有條件，它或以邏輯演化螺旋遞進的方式內隱于顯性條件之中，或以“數學經驗模型”為骨架得以依附。從某種意義上講，數學也是語言的藝術，在問題解決的過程中，往往需要借助文字語言、圖形語言和符號語言來對思維路徑進行刻畫。特別是利用符號語言（符號意識）對顯性條件進行邏輯推理等價變式，對“數學經驗模型”中的邊、角元素進行數量關系的全面深度刻畫和多元符號化表達，往往可以讓隱性條件在不經意間自然而然地顯露出來。

解題實操經驗：借助對題中“數學經驗模型”邊角數量關系的符號化表達，全面挖掘隱性條件。

圖12中，引入符號α表示∠CHN、∠CHP、∠CON、∠EMN，發現OC//ME和等腰三角形OGP；再應用HK：ME=2：3引入符號x表示線段，借助垂徑定理與等腰三角形HPN三線合一復合圖和M型全等圖，用符號x來表示所 有 能 夠 表 示 的 線 段 ：HK=4x=KC=OQ，ME=AB=6x，MQ=OK=3x，MO=OC=5x=OA=ON；然后再回到圖11中，借助四邊形 OABC中的四個條件 OA=OC=5x，AB=6x，BC=，∠ABC=135°解 四 邊 形 OABC。 方 法 為 看 到∠ABC=135°，自然想到鄰補角45°，外擴出等腰直角三角形ABS，繼續符號化表達,最后在直角三角形ACS中利用勾股定理列方程解出x=1,再借助，繼續符號化表達隱性條件線段PK=NK=2x=2，RO=OP=1=OG，所有可用x表示的線段自然全部求出。最后根據“條件就近集中突破”的解題原則，線段RG在ΔRGP中，具備RO=OP=1=OG,tan∠COK=，做垂直可輕松解ΔRGP，求得RG的值。

數學是一門科學，數學解題是一門藝術。通過數學解題教學和研究，讓學生親身去體會最原初的思維模式和最本真的思維路徑，感悟思維的無為發散與策略收斂，在真實的情境中培養解題能力，我們能夠培養出更多的藝術家，思維演繹的藝術家，而不是打造解題的工人和解題的機器。那種跳進題海盲目刷題的教學方式是對學生未來的幸福人生極大不負責任的行為，需要我們嚴厲的批判和無情的摒棄。實踐告訴我們，在《課程標準》的理念指引下，持續高揚“學科核心素養”的旗幟，用理論的航標指引解題教學的航程,學生必將會感受到豁然開朗、水到渠成的解題境界，也必然會體會到數學學習的美妙和數學解題的美妙。