光杠桿鏡面和望遠鏡光軸初始不垂直度對放大率的影響

樊代和,魏 云,常相輝,劉其軍,賈欣燕

(1.西南交通大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 6111756;2.物理國家級實驗教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，四川 成都 611756)

楊氏模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量，是材料的固有屬性之一[1]. 在工程技術(shù)設(shè)計領(lǐng)域中，其是選定機械零件材料的重要參數(shù)之一. 國內(nèi)許多高校將楊氏彈性模量測量實驗作為課程的實驗項目之一. 因此，楊氏模量測量實驗方法的重要性和高校中培養(yǎng)學(xué)生實驗技能的重要性顯而易見.

圖1 常用靜態(tài)拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量實驗儀示意圖

在拉伸法測量金屬絲楊氏模量的實驗中，由于金屬絲受力后的伸長量ΔL非常小(通常在μm量級)，因而不容易被直接測得. 為此，實驗中常采光杠桿對此微小長度變化量進行測量. 光杠桿測量金屬絲受力后的微小長度變化量ΔL的原理如圖2所示，b表示光杠桿的長度，D表示光杠桿平面鏡到標尺的距離，金屬絲的原長為L. 受力時，金屬絲將伸長ΔL，導(dǎo)致光杠桿的平面將轉(zhuǎn)過角度α.

圖2 光杠桿測量微小長度變化量的原理圖

從圖2中可以看出，當(dāng)金屬絲不受力時，光杠桿的平面鏡處于豎直狀態(tài)，即平面鏡與望遠鏡的光軸是垂直的. 此時標尺上N0刻度可對準望遠鏡的叉絲中心水平線處. 當(dāng)金屬絲受力伸長ΔL后，由于光杠桿旋轉(zhuǎn)α角，則在固定望遠鏡位置的情況下，標尺的N1刻度處將對準望遠鏡的叉絲中心水平線處. 此時，根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出

ΔL=btanα,

(1)

ΔN=Dtan (2α).

(2)

在ΔL非常小(即α角非常小)的情況下，取近似tanα≈α，tan (2α)≈2α，則可以得到光杠桿對微小長度變化量的放大率為

(3)

式(3)表明，利用光杠桿將微小長度變化量放大γ倍到容易測量(通常為mm量級)的量級后，結(jié)合其他常量(金屬絲的原長L以及直徑d)測量，即可測出金屬絲的楊氏模量值.

值得注意的是，圖2所示的光杠桿測量微小伸長的原理，在金屬絲未受力時，光杠桿的鏡面與望遠鏡的光軸是垂直的. 而在實際的實驗儀器調(diào)節(jié)過程中，這一實驗條件未必能夠達到上述標準狀態(tài). 此時，如果直接用式(2)測量金屬絲受力后的微小長度變化量，則必然將對金屬絲楊氏模量值的測量帶來影響.

基于此，本文詳細分析了在利用靜態(tài)拉伸法測量鋼絲楊氏模量實驗中，光杠桿鏡面和望遠鏡光軸初始(即鋼絲未受力)時不垂直對光杠桿放大率造成的影響. 在此基礎(chǔ)之上，給出消除此影響對應(yīng)的實驗儀器調(diào)節(jié)建議.

2 光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始不垂直度對放大率的影響分析

如圖3所示，假設(shè)在鋼絲未受力時，光杠桿的鏡面與望遠鏡光軸有一定的夾角θ0. 此時，標尺的N0′刻度對準于望遠鏡目鏡筒的叉絲中心水平線處. 當(dāng)鋼絲受力伸長ΔL后，由于光杠桿的平面鏡轉(zhuǎn)過了角度α，則在固定望遠鏡位置的情況下，標尺的N1′刻度對準于望遠鏡目鏡筒的叉絲中心水平線處.

圖3 光杠桿鏡面初始時與豎直方向有夾角θ0時測量微小長度變化量原理圖

此時，根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系可以得出

Na=Dtan (2θ0),

(4)

Nb=Dtan (2θ0+2α).

(5)

最終，通過式(4)～(5)可以得出，鋼絲受力前后，從望遠鏡中觀察到標尺的變化量為

ΔN′=Nb-Na=D[tan (2θ0+2α)-tan (2θ0)].

(6)

(7)

(8)

此時，光杠桿的放大率可表示為

(9)

從式(9)可以看出，當(dāng)光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始不垂直時(即θ0≠0)，光杠桿的放大率顯然與傳統(tǒng)教材中描述的放大率[式(3)]不同，這一不同將直接影響到鋼絲受力時的真實伸長量ΔL的測量精度，進而影響到鋼絲楊氏模量的測量精度.

為了說明光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始不垂直度對光杠桿放大率造成的影響，采用實驗中的典型實驗參量值做進一步分析. 假設(shè)實驗測量一直徑為d=0.7 mm的圓柱體鋼絲的楊氏模量(E=2×1011N/m2)值. 選取鋼絲原長為L=0.7 m，光杠桿平面鏡到標尺的距離為D=1 m，光杠桿的長度為b=7 cm. 此時，當(dāng)用一質(zhì)量為M=1 kg砝碼對應(yīng)的重力(即F=9.8 N)對鋼絲進行拉伸時，可以計算得出對應(yīng)的伸長量為

(10)

式(10)表明，當(dāng)使用上述楊氏模量測量實驗的典型參量時，鋼絲受力后，光杠桿平面鏡的旋轉(zhuǎn)角度為α≈4.4′. 將上述D，b，α各值分別代入到式(3)和式(9)，可以得到γ′/γ隨θ0的變化關(guān)系如圖4所示.

圖4 γ′/γ隨θ0的變化關(guān)系圖

從圖4中可以看出，當(dāng)光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始為垂直狀態(tài)時(即θ0=0°)，γ′/γ=1，即傳統(tǒng)教材中關(guān)于光杠桿的放大率式(3)式是成立的. 但是，隨著光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始不垂直度的增大(即θ0的增大)，γ′/γ值將非線性地增大. 這也說明，當(dāng)θ0=0°時，傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率式(3)式并不能真實反映出鋼絲受力時的微小長度變化量ΔL值，需要進行修正. 特別地，從圖4中可以看出，當(dāng)θ0=10°時，γ′/γ≈1.12，也即，如此時仍用式(3)所描述的光杠桿放大率公式進行鋼絲微小長度變化量的測量，最終將會對鋼絲的楊氏模量值的測量結(jié)果帶來約12%的測量誤差.

3 對實驗儀器調(diào)節(jié)的建議

在利用靜態(tài)拉伸法測量鋼絲的楊氏模量的實驗儀器調(diào)節(jié)中，對應(yīng)于圖1所示的實驗儀器原理圖，通常的操作步驟為：

1)實驗準備. 調(diào)節(jié)望遠鏡T和光杠桿M鏡面中心位置等高，調(diào)節(jié)望遠鏡基本水平，光杠桿平面鏡面基本豎直.

2)粗調(diào). 在望遠鏡T對準光杠桿平面鏡的前提下，微調(diào)望遠鏡T的位置，使能從望遠鏡上方觀察到標尺的像.

3)細調(diào). 分別通過調(diào)節(jié)望遠鏡的目鏡調(diào)節(jié)滾輪和物鏡調(diào)節(jié)滾輪，使在望遠鏡目鏡中能夠觀察到叉絲水平線和標尺的像，并無視差存在. 此時，可以根據(jù)光杠桿測量微小長度變化量的原理，對鋼絲進行施力，并測量受力導(dǎo)致的微小長度變化量ΔL.

為了能夠克服如本文所述的光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始不垂直度對楊氏模量測量造成的影響[即直接用式(3)進行微小長度變化量的測量]，建議在上述通常的儀器操作步驟上，額外增加以下兩方面的調(diào)節(jié):

首先，在上述實驗準備階段，上下調(diào)節(jié)標尺S的位置，使其零刻度(通常位于標尺的中部)與望遠鏡的中心高度等高.

其次，在細調(diào)工作結(jié)束后，從望遠鏡中檢查叉絲中心水平線是否處于標尺的零刻度的±1.5 cm內(nèi). 如能達到此要求，則可進行鋼絲受力導(dǎo)致的微小長度變化量測量，此時可修正光杠桿鏡面與望遠鏡光軸初始不垂直時對光杠桿放大率帶來的影響. 如不能達到此要求，則需要重復(fù)進行實驗儀器操作步驟中的實驗準備工作，直至符合要求.

值得說明的是，如儀器調(diào)節(jié)過程中能達到上述±1.5 cm標準，則傳統(tǒng)教材中描述的光杠桿放大率公式[即式(3)]仍然適用. 這是因為，在此種情況下，仍然利用上述典型的光杠桿鏡面到標尺的距離參量D=1 m，可計算得出θ0≤0.86°，此時通過圖4可以得出γ′/γ=1.001. 也即，如儀器調(diào)節(jié)能達到上述±1.5 cm標準，則利用傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率式(3)進行微小長度變化量的計算，可將光杠桿鏡面初始不豎直對楊氏彈性模量測量造成的影響降低到1‰以內(nèi).

4 結(jié) 論

在拉伸法測量鋼絲楊氏模量的實驗中，結(jié)合光杠桿對微小長度變化量測量的放大原理，詳細分析了當(dāng)光杠桿平面鏡與望遠鏡光軸初始不垂直度對傳統(tǒng)教材中描述的光桿放大率造成的影響. 分析表明，隨著光杠桿平面鏡初始時與望遠鏡光軸之間的夾角θ0增大，光杠桿的實際放大率與傳統(tǒng)教材中描述的放大率相比，將非線性地增大，進而對楊氏模量的測量精度造成影響. 特別地，當(dāng)θ0=10°時，如利用傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率公式進行鋼絲微小長度變化量的測量，將會對鋼絲楊氏模量值的測量結(jié)果帶來高達12%的測量誤差. 為了能夠仍然利用傳統(tǒng)教材中表述較為簡單的光杠桿放大率公式，對實驗時的調(diào)節(jié)補充了2個方面的調(diào)節(jié)和檢查步驟，即如能調(diào)節(jié)使鋼絲未受力時，從望遠鏡中觀察到叉絲中心水平線處于標尺零刻度的±1.5 cm內(nèi)，則利用傳統(tǒng)教材中的光杠桿放大率公式進行鋼絲楊氏彈性模量測量，其影響將小于1‰.