棒球擊球點問題

李 晨 陳玉松

(商丘工學院基礎部 河南 商丘 476000)

一、問題重述

棒球擊球時，球棒較寬的那部分有一個“最佳點”，使用該點擊打球時傳給球的力量是最大的。問題來了，這個位置為何不是擊球棒的最外端？從力學的角度分析，似乎用擊球棒的最外端擊球，球得到的力量是最大的，但結合實際經驗，這顯然是不對的。所以，本文要研究的問題如下：

其一：建立模型來解釋這一問題。其二：建立模型闡述不同材料(分木制和鋁制兩種情況)的擊球棒對這個“最佳點”的影響。

二、問題分析

“棒球擊球”是一個極具代表性的碰撞問題。本文目的是構建模型解釋“最佳點”為何不在球棒最外端。

我們首先需要明確的一個問題是“最佳點”的具體含義。擊球的過程中我們將力量能最大限度地轉移到球上的位置稱為擊球點的“最佳點”。由于力的轉移很難量化，而球初始速度卻可以測量。這樣，求“最佳擊球點”的問題就變成了求球的初始速度最大的擊球點問題。現有研究表明：碰撞瞬間手對棒施加的力對棒初始速度的影響并不大，所以可理想認為球棒是“自由端”。結合動量守恒定理、角動量守恒定理、恢復系數來研究碰撞位置與球初始速度的關系從而找到“最佳點”。

第二個問題，棒的材質之間的區別主要有：因密度和質量的不同所導致的轉動慣量的不同；因材料的不同所導致的恢復系數的不同；彈性系數的不同進而影響到擊球效果的不同。

三、模型假設

1.球在運動過程中不會出現偏轉、旋轉、掉落等事情的發生；

2.球、棒均視為剛體；

3.在擊球的過程中正好擊中球的中心，不存在側擊的情形；

4.擊打過程中忽略外部其他作用力(比如空氣等)；

5.擊球時,球的速度方向與球棒軸線正交；

6.球棒是“自由端”；

四、符號說明

e:恢復系數；C:重心位置；J:轉動慣性；M：棒球質量

五、模型的建立與求解

(一)球棒外形的抽象描述模型

木質的棒球球棒的規格一般為：棒長L=0.855m；棒重M=0.885kg；木質密度ρ=649kg/m3；木質楊氏模量E=1.814*1010N/m2；最大半徑r2=7cm；最小半徑r1=2.5cm。

以球棒做為一種旋轉體，沿軸線的截面如圖1所示：

圖 1

其中每一部分的長度x1、x2可由球棒的重量和重心的位置確定：

球棒重量：

(1)

根據質心的定義，質心兩側的球棒所承受的重力對重心力矩平衡：

Mgl=Mgr

(2)

由(1)(2)式，帶入數據得：x1=0.346，x2=0.642

這樣，棒球各部分的半徑長：r1=0.025，r2=0.070

棒球球棒的外形簡化模型的確定，使得不同的材質及材質不均勻的球棒轉動慣量的求解變得更方便。

(二)最佳擊球點的剛體動力學模型

力學模型如圖所示：

圖 2

各符號表示如：m1:球的質量，m2:球棒的質量，v1:球初速度，v2:球離開速度，u1:擊球前的質心速度，u2:擊球后的質心速度，w1:棒擊球前的角速度，w2:棒擊球后的角速度。

在碰撞瞬間，球與棒之間的作用力遠遠大于球的重力、棒的重力、手的支持力，因此，以球-棒整體為研究對象，y軸方向上的動量守恒：

m1v1+m2u1=m1v2+m1u2

(3)

u1=ω1(R+H)，u2=ω2(R+H)

(4)

恢復系數e是碰撞后相對遠離的速度與碰撞接觸點碰撞前相對接近的速度的比，即：

(5)

以身體的重心軸為軸建立以球-棒為系統的角動量守恒方程和以球棒的質心為軸建立以球-棒為系統的無外力矩，因此角動量是守恒的，即：

m1v1(S+R+H)+Jω1=m1v2(S+R+H)+Jω2

(6)

由(3)、(4)、(5)、(6)可得擊打后的球速表達式為：

計算得“最佳點”為距球棒手柄端點70cm處。

(三)球棒材料的不同對擊球效果的影響

金屬球棒與木質球棒的主要區別有：①不同的密度和質量導致轉動慣量的不同；②不同的材料導致恢復系數和彈性系數的不同。

利用力學的經典理論模型，假設前面的抽象模型與兩種球棒的外形相同，從轉動慣量和恢復系數的角度來研究兩種材質球棒的性能，建模結果顯示，用鋁棒擊球比用木棒更容易打出而且球飛得又高又遠。

六、結果分析

1.優點：(1)對球棒外形進行抽象簡化，使研究對象易于描述與建模。(2)利用理論力學、接觸力學、波動力學等多種理論對球-棒碰撞這一問題從外部表現到內部機理進行了多角度的分析。

2.不足之處：利用各分支學科的各個力學理論建立起來的模型是互相獨立的，但卻沒有分析各模型之間存在的關系。