無理數e的學術研究

張文 貴州民族大學

引言：無理數e的故事，這就要從古早時候說起了。至少在微積分發明之前半個世紀，就有人提到這個數，所以雖然它在微積分里常常出現，卻不是隨著微積分誕生的。那么是在怎樣的狀況下導致它出現的呢？這篇文章主要介紹關于無理數e的基本定義與存在性。

一、無理數e的定義

（一）e的極限定義

即數列{Xn}單調遞增，而{Yn}單調遞減；又對?n有：

2=X1≤Xn＜Yn＜Y1=4,

于是數列{Xn}與{Yn}都收斂，

這個“e”符號是由瑞士科學家歐拉在1727年引進的。

（二）e的收斂級數定義

易知Tn≤Sn，事實上Tn＜Sn(n＞2)

同事Tn單調增加，所以當n→∞時，Tn→T

設當n→∞時，Sn→S,所以S≥T

下證S≤T

設m＜n是一個固定的整數，Tn的前m+1項為

由于m＜n，所以A＜Tn

令n無限增長而m不變，A→Sm，T_n→T

所以Sm≤T，進而S≤T

所以S=T

而T=lim(n→∞)Tn=e,所以S=e

二、e的存在性與無理性證明

（一）e的存在性證明

證明極限

①當x＞0時，首先讓x取正整數，即x=n,n=1，2，3…若x≠0而(1+x)＞0有伯努利不等式(1+x)^n＞1+nx，這個不等式可有二項式定理推出，并且對-1＜x＜0時不等式任然成立，可由數學歸納法證明。因此，對伯努利不等式將x換成，便有

說明f(n)是隨n的增加而增加的，即f(n)是單調遞增數列，另一方面由二項定理知

說明f(n)是單調增加有界數列，f(n)的極限存在，用e表示，即

其次，對任意x＞0，必存在兩個相鄰的數m 和 m+1，使得m≤x＜m+1，因而

綜上（I）（II）（III）對于x＞1，x＜-1極限得到了證明。

（二）e的無理性證明

證明e是無理數的方法很多，這里只介紹一種簡單易懂的方法。

首先有：

那么2＜e＜3，就說明e不是一個整數。為了證明e是一個無理數，可用反證法假設e是一個有理數，那么就令，其中p、q均為正整數。由于e不是整數，故q≥2于是有：

顯然左邊的e×q!為整數，而等式左邊的第一項也為整數，故等式右邊第二項也為整數q≥2知q+1≥3。

因此

這與整數的性質矛盾，故e為無理數。